Началом истории развития теории динамического хаоса принято считать 1961 год, связывая с работами профессора Массачусетского технологического института Эдварда Лоренца. В своей лаборатории ученый, моделируя погоду, пришел к выводу, что малое отклонение в начальных условиях может привести к существенным отличиям в конечном результате, данный эффект, когда незначительное отклонение приводит к изменениям в огромных масштабах, назван Лоренцом «Эффект бабочки[1]» [1]. Этот эффект оказался очень важным как для погодных систем, так и для всякой хаотической системы. Погода — общее поведение всех молекул, которые входят в атмосферу Земли. Невозможно получить точные данные всех факторов оказывающих влияние на систему (влияние оказывают экспериментальные шумы, фоновые шумы и неточности приборов измерений), именно поэтому предсказать погоду, так же как и поведение любой хаотической системы (биологические популяции, общество как социально экономическая система и т. д.) не представляется возможным. Проблема не в недостатке информации, а в особенностях функционирования хаотических систем.
Нелинейные системы всегда играли важную роль при изучении различных природных явлений, однако в последние десятилетия теория хаотических систем получила стремительное развитие. Основной причиной возросшего интереса является появление мощных и относительно недорогих вычислительных машин. До появления недорогих ЭВМ моделирование систем нелинейных уравнений могли заниматься только ученые, имевшие доступ к мощным ресурсам вычислительной техники. Поскольку основными методами анализа нелинейных явлений, являются методы численного моделирования, то в настоящее время моделированием динамических систем может заниматься любой человек, имеющий персональный компьютер [2, с 8–41]. Теория динамических систем имеет обширную область применения:
- защита информации: скрытая передача информации на каналах с хаотической несущей [3, с. 130–133], стеганографическая и криптографическая защита электронных документов [4, с. 51–54; 5, с. 44–48] и др.
- экономика: применения методов нелинейной динамики в качестве инструментов антикризисного управления [6, с. 58–67], в банковском деле [7] и т. д.;
- медицина: исследование дыхательной системы [8, с. 61–63], повышение информативности тилт-теста у пациентов с синкопальным синдромом [9, с.6] и др.,
- физика: расчет и оптимизации импульсных источников питания [10, с. 88–106], радиотехнические устройства со структурно устойчивым гиперболическим хаосом [11, с. 98–115] и т. д.
Отдельно хотелось бы остановиться на работах группы авторов: Ю. В. Андреев, А. С. Дмитриев, Д. А. Куминов и др., которые в своих работах [12, с. 101–108; 13, с. 494–499; 14, с. 21–28; 15, с. 114–123] рассматривают роль динамического хаоса в процессах обработки информации в нелинейных системах. Эта группа авторов выдвигают гипотезу о существовании общих принципов обработки информации в системах со сложной динамикой не зависящих от реализации самих систем. На ее основе рассматривают возможность построения относительно простых математических структур (одномерные и многомерные отображения специального вида.), реализующих различные процессы обработки информации с использованием детерминированного хаоса. Особый интерес представляет теоретическое и практическое обоснование принципиально новых систем обработки информации — универсальных хаотических процессоров [16, с. 50–79]. Приведем иллюстрацию принципа записи информации на предельных циклах одномерных динамических систем– слова «хаос». В качестве алфавита возьмем подмножество кириллицы: А={а,б,в,г,д,е,ж,з,и,к,л,м,о,п,р,м,т,у,ф,х}, длина алфавита N=20. Разделим фоновое пространство — единичный отрезок I= [0,1] на N отрезков длиной 0,1 и каждому из них поставим в соответствие букву — элемент алфавита (рис.1). Попадание фазовой траектории на тот или иной отрезок будем интерпретировать как появление на выходе динамической системы соответствующего элемента алфавита.
Рис.1. Функция отображения слова «хаос»
Далее для слова «хаос», представляющего собой некий информационный блок, построим цикл γ3={x1, x2, x3, x4}={0,925; 0,025; 0,625; 0,775}. Каждая точка этого цикла однозначно связана с одним из элементов информационного блока, и представляет собой центр соответствующего региона 
, где 
— порядковый номер элемента блока 
в алфавите. После того как в одномерном фазовом пространстве построен цикл, отвечающий записанному информационному блоку, на плоскости 
отложим точки вида 
: (0,975; 0,025), (0,025; 0,625), (0,625; 0,775), (0,775; 0,925). Через каждую из них проведем отрезок с наклоном s=0,5, доходящий до границ региона. Эти информативные отрезки обеспечивают устойчивость цикла. Соединим концы информативных участков между собой и с концами отрезка [0, 1] прямыми линиями. На этом синтез функции одномерного отображения завершен.
В рамках предлагаемых нами исследований были созданы методы распознавания, сжатия и восстановления изображений, осуществляемого с применением дискретных хаотических отображений для преобразования объектов распознавания и сжатия. Используя оригинальную форму представления изображений, отраженной на рисунке 2, появилась возможность осуществлять поиск информации на множестве данных графического типа, прибегая к анализу всего изображения лишь в редких случаях, когда необходимо распознать несколько изображений имеющих незначительные отличия. Как показали результаты эксперимента, в большинстве случаев, достаточно проанализировать 30–35 % от исходного размера изображения [16, c. 105–107]. Вместе с тем разработанный метод лег в основу создания алгоритма сжатия [17], позволяющего удалить часть изображения (без заметной потери качества, можно удалить от 3 до 10 % исходного изображения в зависимости от его фактуры).
Рис. 2. Исходное и преобразованное изображение.
Резюме.
Существует большой массив прикладных задач, в которых применение теории динамических систем более целесообразно, чем применение консервативных методов, поскольку природа явлений существующих вокруг нас — хаотична. Мы можем обнаружить хаос повсюду вокруг нас: простой маятник, фондовый рынок, солнечная система, погода, обработка изображений, биологические системы, человеческий организм и так далее. Хаотические системы не являются случайными, хотя они и могут казаться таковыми. Динамические системы чрезвычайно чувствительны к начальным условиям, а это означает, что очень незначительные изменения в начальной точке может привести к абсолютно разным результатам. Это делает систему непредсказуемой. Хаотические процессы никогда не повторяют своих значений, но в них всегда присутствует порядок. Большинство систем, которые наблюдаются в мире, являются исключениями из господствующей теории классической физики. Только поняв природу хаотических явлений, открывается возможность получать принципиально новые результаты и важные открытия.
Литература:
1. Глейк Дж. «Хаос: создание новой науки» / Пер. с англ. М. Нахмасона, Е.Барашковой. — СПб.: Амфора, 2001. — 398 с.
2. Паркер Т. С., Чжуа Л. О., Введение в теорию хаотических систем для инженеров. // ТИИЭРт.75, № 8.
3. Кожанов А. О., Применение методов нелинейной динамики для скрытой передачи данных. // Известия Южного федерального университета, 2009, № 2.
4. Тарасов А. А., Гордиенко В. В., Довгаль В. М., Применение теории хаотических систем в стеганографической защите конфиденциальной информации. // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2010, № 6.
5. Довгаль В. М., Тарасов А. А., Криптографическая защита электронных документов на основе сети Фейстеля с применением детерминированных хаотических отображений. // Известия Юго-Западного государственного университета, 2010, № 1.
6. Петров Л. Ф., Методы нелинейной динамики как инструменты управления экономической эффективностью. // Эффективное антикризисное управление, 2011, № 2.
7. Теория хаоса в банке: сборник научных статей / под ред. С. Е. Метелёва. — Омск: Изд-во Омского института (филиала) РГТЭУ, 2011. — 173с.
8. Степанова Д. И., Аушева Ф. И., Добрынина И. Ю., Сулейменова Р. А., Оценка параметров аттракторов вектора состояния дыхательных функций с разными нозологическими единицами. // Информатика и системы управления. Амурский государственный университет. 2009, № 4.
9. Богачев М. И., Кириенков И. С., Нифонтов Е. М., Пыко С. А., Оценка результатов Тилт-теста с применением теории детерминированного хаоса. // Вестник аритмологии. ЗАО «Институт кардиологической техники». 2004, № 35.
10. Антипов О. И., Неганов В. А., Исследование динамических характеристики детерминированного ахоса импульсивных стабилизаторов напряжения. // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики. 2006, № 4.
11. Кузнецов С. П. Схемы электронных устройств с гиперболическим хаосом и моделирование их динамики в программной среде Multisim. Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2001, т. 19, № 5.
12. Дмитриев В. А. Запись и восстановление информации в одномерных динамических системах. — Радиотехника и электроника. 1991, т. 36, № 1.
13. Dmitriev A. S., Panas A. L., and Starkov S. O. Storing and recognition information based on stable cycles of one-dimensional maps. — Phys. Lett. A., 1991, vol.155.
14. Andreev Yu.V., Dmitriev A. S. and Starkov S. O. Information processing in 1-D systems with chaos. — IEEE Transaction on circuit and systems, 1997, vol. 44.
15. Андреев Ю. В., Бельский Ю. Л., Дмитриев А. С. Запись и восстановление информации с использованием устойчивых циклов двумерных и многомерных отображений. — Радиотехника и электроника, 1994, т.39.
16. Aндреев Ю. В., Дмитриев А. С., Куминов Д. А. Хаотические процессоры // Успехи современной радиоэлектроники — М.: 1997 — N 10.
17. Галахов Д. И., Гора С. Ю., Гордиенко В. В., Довгаль В.М Алгоритм ассоциативного поиска изображений на основе хаотических последовательностей. Известия Юго-Западного государственного университета № 3 (36). Курск, 2011.
18. Гора С. Ю., Довгаль В. М. Метод и инструментальные средства решения задачи сжатия изображений с использованием механизмов хаотической динамики // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. № 4–2. Курск 2012. — № гос. регистрации 0421200068\0202. — 4с. http://scientific-notes.ru/pdf/028–005.pdf
[1] Разность значений в начальной точке двух кривых, в погодной модели Лоренца, была настолько мала, что ее можно сравнить с влиянием взмаха крыльев бабочки на атмосферу. Это классический пример хаоса, как небольшие изменения приводят к большим переменам. Говоря с позиций метафоры, это означает, что взмах крыльев бабочки в Гонконге может привести к торнадо в Техасе.
