Применение кода Фибоначчи в динамике фрактальных систем | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: , ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №7 (18) июль 2010 г.

Статья просмотрена: 175 раз

Библиографическое описание:

Данг Н. Т., Герлейн О., Во Т. К. Применение кода Фибоначчи в динамике фрактальных систем // Молодой ученый. — 2010. — №7. — С. 12-15. — URL https://moluch.ru/archive/18/1803/ (дата обращения: 19.08.2018).

Основным мотивом к выбору темы явилось изучение причинно–следственных отношений в сложной системе «хаос – порядок» и тем более поиск их эвентуальных связей с "золотым" сечением, которое лежит в основе фибоначчиевой модели, представляют большой познавательный интерес. В этом аспекте заслуживает внимания, например, исследование ассиметричной симметрии между хаосом и порядком в круговороте энергии по правилу гармонической пропорции.

Цель данной работы имеет два аспекта. Первый - логически обосновать важную роль числа Фибоначчи в математике и различных областях человеческой деятельности. Второй аспект- применение кода Фибоначчи в динамике фрактальных систем.

Фракталом же называется структура, состоящая из частей, подобных целому. Согласно другому определению, фрактал представляет собой геометрический объект с дробной (нецелой) размерностью. Кроме того, фрактал всегда возникает в результате бесконечной последовательности однотипных геометрических операций по его построению, т.е. является следствием предельного перехода, что роднит его с золотым сечением, которое тоже представляет собой предел бесконечного числового ряда, составленного из отношений соседних чисел Фибоначчи. Наконец, размерность фрактала, как правило, является иррациональным числом (как и золотое сечение) [1].

Размерность снежинки Коха и губки Менгера выражает через золотое сечение:

Мы видели, что размерности многих классических фракталов с той или иной степенью точности могут быть выражены через золотое сечение. Таким образом, можно высказать осторожное предположение о тесной взаимосвязи размерности большинства фрактальных множеств и золотого сечения.

В работе было показано, что для идеальной нелинейной динамической системы  аддитивная рекурсия ее двух предшествующих состояний

при сколь угодно малом значении  за конечное число шагов  выводит систему из равновесия и приводит к бифуркации (рис. 1).

Рис. 1Бифуркация (расслоение) решений нелинейной динамической модели:

 

Изложенное позволяет высказать гипотезу, что такая система является прообразом образования космоса или кодом Вселенной, в основе которого лежит аддитивная рекурсия с "золотой" пропорцией [2].

В этой работе были исследованы динамика Ф-отображения и уникальные инвариантные   плотность  и функция распределения Ф-отображения.

Первым задачу об исследовании отображения [3]:

     (1)

с произвольным вещественным параметром  (далее мы ограничимся случаем ) поставил, видимо, А. Реньи. Здесь при записи отображения введена индикаторная функция:

Внутри указанного промежутка она равна единице, а за его пределами равна нулю; вариация обозначений для индикаторной функции удобна при проведении операций с этой функцией.

В. А. Рохлин доказал, что подобное отображение является точным эндоморфизмом, т. е. перемешивающим эргодическим отображением. Это очень важный общий результат, стимулирующий детальное исследование (1). Интересно выяснить, что же происходит с характеристиками отображения (инвариантной плотностью, собственными функциями и собственными числами оператора Перрона-Фробениуса, автокорреляционной функцией орбит отображения и т. д.) при изменении параметра .

В качестве отображения с конкретным значением параметра  Мори (вслед за Реньи и Рохлиным) рассмотрел хаотическое отображение (оно так и было названо — «-отображение»), параметр которого равен одному из иррациональных чисел Фидия,

                                                      (2)

причем. Инвариантная плотность является кусочно-постоянной (двухступенчатой) функцией:

                    (3)

Соответствующая  кусочно-линейная   функция   распределения   имеет терпит излом в точке :               

                (4)

Вид отображения (1) с коэффициентом (2) — Ф - отображения — показан на рис. 2. Графики дифференциального и интегрального законов распределения (3) и (4) представлены на рис. 3.

 

 

Рис. 2. Отображение Реньи с коэффициентом, равным  золотому сечению (Ф-отображение)

Рис. 3. Инвариантные   плотность (сплошные линии)  и функция распределения   Ф - отображения  (точка разрыва — 1/Ф).

В работе рассмотрено и обосновано появление золотой пропорции в динамических фракталах, связанное с переходом системы в устойчивое состояние и золотая пропорция – это код устойчивости фрактальной структуры.

В работе рассмотрены бифуркация в нелинейной динамической модели на основе золотого сечения. Показана чувствительность рассматриваемой динамической системы  к малому изменению начальных условий и продемонстрирован на компьютерной модели процесс бифуркации нелинейной динамической модели. Рассмотрены уникальность стохастических характеристик Ф – отображения (Реньи) в виде плотности в форме двух ступенек.

 

Литература:

  1. Шипицын Е.В., Попков В.В. “Двойственность и золотое сечение в теории фракталов и хаоса”. // Вестник Международного института А. Богданова. 2001. № (6).
  2. С.Л. Василенко, Бифуркации в нелинейной динамической модели на основе «золотого» сечения // «Академия Тринитаризма». М., Эл № 77-6567, публ.15232, 14.04.2009.
  3. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Аналитические модели детерминированного хаоса. – М.: Физматлит, 2007. - 328 с. – ISBN 978-5-9221-0879-9.
Основные термины (генерируются автоматически): золотое сечение, нелинейная динамическая модель, фрактал, Ф - отображения, индикаторная функция, инвариантная плотность, золотая пропорция, аддитивная рекурсия.


Похожие статьи

К понятию о Золотом сечении

Ключевые слова: золотое сечение, золотые пропорции, научный феномен.

Золотое сечение вскульптуре. Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

Построение волатильности по заданной плотности...

При выводе формулы Дюпире утверждается, что функция представляет собой плотность

по формуле Дюпире (3) стоимость опциона и плотность связаны соотношением.

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу заданной площади.

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

Чем более нелинейна модель и больше доверительная вероятность (меньше уровень значимости α, больше квантиль Fα), тем

m — число параметров функции-модели; n — число точек регрессии; step0, step — начальный и рабочий шаг исходного многогранника (симплекса)

Исследование множественного рождения частиц...

Из дифракционной модели следует, что полное сечение рассматриваемого процесса

Действительно, сечение при больших множественностях выражается соотношением ( ).

Абдурахимов А. У., Мадаминов Х. М., Зиёитдинов Ж. Н. Электрон и дельта-функция Дирака...

Методология моделирования динамики валютного курса

Предложены показатели инвариантных индексов меновой ценности валюты (аддитивный и мультипликативный), которые

Исходные данные в модели предварительно сглаживаются с помощью полинома Чебышева. В качестве нелинейной функции регрессии (индикаторной...

О непараметрическом оценивании взаимно неоднозначных...

Рассматривается задача восстановления функции по наблюдениям, когда исследуемый процесс описывается взаимно

Обычно плотности вероятности случайных факторов, действующих на объект и в каналах измерения переменных, предполагаются нормальными и аддитивными.

Применение принципов золотого сечения в размерах кирпича...

Древние ремесленники, а впоследствии и математики (возможно, первые ремесленники и были первыми математиками) обнаружили, что строение человеческой фигуры, кисти руки, подчиняется золотой пропорции.

Разработка модуля прогнозирования продаж и оптимизации...

Каждая независимая переменная вносит аддитивный вклад в результирующее значение с некоторым весом

Приравняем к нулю частные производные функции по коэффициентам b0, b1, b2.

Таким образом, были рассмотрены графические отображения нескольких моделей...

Принципы золотой пропорции тела человека

«Золотое сечение», или «золотая пропорция», на протяжении многих столетий находятся под пристальным вниманием специалистов различного профиля — математиков [6]

На это он указывал в изданной в 1936 году в Москве книге «Динамическая симметрия в архитектуре».

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

К понятию о Золотом сечении

Ключевые слова: золотое сечение, золотые пропорции, научный феномен.

Золотое сечение вскульптуре. Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

Построение волатильности по заданной плотности...

При выводе формулы Дюпире утверждается, что функция представляет собой плотность

по формуле Дюпире (3) стоимость опциона и плотность связаны соотношением.

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу заданной площади.

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

Чем более нелинейна модель и больше доверительная вероятность (меньше уровень значимости α, больше квантиль Fα), тем

m — число параметров функции-модели; n — число точек регрессии; step0, step — начальный и рабочий шаг исходного многогранника (симплекса)

Исследование множественного рождения частиц...

Из дифракционной модели следует, что полное сечение рассматриваемого процесса

Действительно, сечение при больших множественностях выражается соотношением ( ).

Абдурахимов А. У., Мадаминов Х. М., Зиёитдинов Ж. Н. Электрон и дельта-функция Дирака...

Методология моделирования динамики валютного курса

Предложены показатели инвариантных индексов меновой ценности валюты (аддитивный и мультипликативный), которые

Исходные данные в модели предварительно сглаживаются с помощью полинома Чебышева. В качестве нелинейной функции регрессии (индикаторной...

О непараметрическом оценивании взаимно неоднозначных...

Рассматривается задача восстановления функции по наблюдениям, когда исследуемый процесс описывается взаимно

Обычно плотности вероятности случайных факторов, действующих на объект и в каналах измерения переменных, предполагаются нормальными и аддитивными.

Применение принципов золотого сечения в размерах кирпича...

Древние ремесленники, а впоследствии и математики (возможно, первые ремесленники и были первыми математиками) обнаружили, что строение человеческой фигуры, кисти руки, подчиняется золотой пропорции.

Разработка модуля прогнозирования продаж и оптимизации...

Каждая независимая переменная вносит аддитивный вклад в результирующее значение с некоторым весом

Приравняем к нулю частные производные функции по коэффициентам b0, b1, b2.

Таким образом, были рассмотрены графические отображения нескольких моделей...

Принципы золотой пропорции тела человека

«Золотое сечение», или «золотая пропорция», на протяжении многих столетий находятся под пристальным вниманием специалистов различного профиля — математиков [6]

На это он указывал в изданной в 1936 году в Москве книге «Динамическая симметрия в архитектуре».

Задать вопрос