Применение Mathcad для исследования странных аттракторов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 28 сентября, печатный экземпляр отправим 2 октября.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Богданов М. Р., Гульчак Н. Е., Горячих Н. С. Применение Mathcad для исследования странных аттракторов // Молодой ученый. — 2018. — №20. — С. 93-96. — URL https://moluch.ru/archive/206/50346/ (дата обращения: 18.09.2019).



Данная статья посвящена вопросам применения математического программного обеспечения Mathcad для визуализации и интуитивного понимания странных аттракторов. Рассмотрев вкратце теорию и историю изучения фракталов и аттракторов, авторы останавливаются на их исследовании и моделировании на примере странного аттрактора Лоренса при вводных данных σ, b, r, y.

Вопрос понимания странных аттракторов являлся достаточно сложным, однако после появления современных вычислительных программных обеспечений вопрос создания визуализированного изображения был решён.

Аттра́ктор от англ. attract — привлекать, притягивать — множества, к которым приближаются точки при последовательных итерациях отображения. Притягивающая неподвижная точка (например, в задаче о маятнике с трением) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью) являются простейшими вариантами аттрактора, однако бывают и гораздо более сложные примеры.

Когда динамика параметров является хаотичной, то фрактал имеет фрактальную структуру и называется странным. Флорисом Такенсом и Дэвидом Рюэлем впервые ввели это определение. Объектом их исследования был аттрактор, возникший в результате неоднократных бифуркаций системы потока жидкости. Дифферинцируемость аттракторов возможно в нескольких направлениях, однако существуют исключения,например, пыль Кантора.

При поддержке инвариантных случайных вероятностных мер типа Синай-Рюэля-Боуэн странные аттракторы становится возможным найти в присутствии шума, если они размещены в оной.

Примерами странных аттракторов являются: дважды прокрученный в себя аттрактор, аттрактор Хенона, аттрактор Лоренца и аттрактор Росслера.

Эдвард Лоренц тоже свой вклад внёс в 1963 году после доказательства того, что простейшая система, состоящая из трех нелинейных дифференциальных уравнений, может привести к траекториям хаотического характера. Спустя несколько десятилетий работы Лоренца стали общим достоянием. Он стал первооткрывателем одного из примеров детерминированного хаоса в диссипативных системах. Хаотическое поведение позже было выявлено при расширении их размерности в множестве элементарных моделей биологических систем, решения которых колебательные, в том числе в моделях взаимодействия видов, моделях гликолиза и клеточного цикла, моделях ферментативного катализа и других. Именно на примере аттрактора Лоренца основано наше исследование.

Параметры, используемые в данной статье:

– отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности σ=10

– нормированное число Рэлея r=27

– коэффициент, содержащий информацию о геометрии конвективной ячейки b=

После ввода данных и подстановки в MathCad:

По полученному множеству решений создано визуализированное изображение:

https://psv4.userapi.com/c816524/u86074805/docs/408edd789b91/F-KPQgl-Cj4chb.jpg?extra=4WgOioCN9SEYVkKG6zX5P-A0S0_A0oBEPDNI3kWdfy1pmnBP4A3a-noNo-LOCC-xJYqyXlDUt8GGnpc1_lEACPKaJFhFsI29blqd_RgWs5XOhbs_3JgJ4aoT3i7hEruHwB9fZ-z9fmHDlQ

Рис. 1. Странный аттрактор Лоренца 1

https://pp.userapi.com/c841423/v841423638/449ca/hXXvoIg_agU.jpg

Рис. 2. Трёхмерное представление аттрактора 1

Литература:

  1. P. M. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. — 352 с.
  2. Ильяшенко Ю. С. Аттракторы и их фрактальная размерность. — М.: МЦНМО, 2005. — 16 с
  3. А. П. Кузнецов, А. В. Савин, Ю. В. Седова Бифуркация Богданова — Такенса: от непрерывной к дискретной модели Изв. вузов «ПНД», т. 17, № 6, 2009 УДК 517.9
Основные термины (генерируются автоматически): аттрактор, визуализированное изображение, странный аттрактор.


Похожие статьи

Идеи цели и целеполагания в синергетике | Статья в журнале...

Примерами странных аттракторов являются: дважды прокрученный в себя аттрактор, аттрактор Хенона, аттрактор Лоренца и аттрактор Росслера. Эдвард Лоренц тоже свой вклад внёс в 1963 году после доказательства того, что простейшая система...

Исследование хаотических процессов с помощью Blender

И имеет странные аттракторы — сложно устроенные множества, демонстрирующие все

Отличаясь последней строчкой задающей скорость. Таким образом, мы визуализировали с помощью Blender математическую модель, представленную выведенными формулами.

К вопросу о применении и перспективах использования...

Рис. 2. Исходное и преобразованное изображение. Резюме. Существует большой массив прикладных задач, в которых применение теории динамических систем более целесообразно, чем применение

Применение Mathcad для исследования странных аттракторов.

Элементы учебно-педагогического дискурса как открытой...

Периодический аттрактор следует некой траектории в направлении заданного значения, траектория объекта может изменяться [4, URL].

Эти области называются хаотическими, или странными аттракторами.

Разработка средств компьютерной визуализации для научных...

Фактически любая хаотическая система может быть легко смоделирована — рынок акций обеспечивает тенденции, которые могут быть проанализированы с использованием "странного аттрактора" намного легче, чем с применением стандартных явных уравнений.

О генерации магнитных полей 2d конвективными течениями...

Ключевые слова: электронная магнитная гидродинамика, конвекция Рэлея-Бенара, генерация магнитных полей, уравнения Лоренца, странный аттрактор.

Аттракторно-интерференционный механизм паронимического...

Рис. 1. Схематическое изображение аттракторно-интерференционного механизма паронимического смешения. Оказываясь под влиянием аттрактора, т. е. ассоциаций и мысленных представлений, искомый пароним может подвергнуться интерференционному (от...

Моделирование сложных систем

Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве. Для установившихся колебаний, соответствующих динамическому хаосу, Д. Рюэль и Ф. Такенс в 1971 году предложили название — странный аттрактор.

Аппаратная реализация искусственных нейронных сетей. Часть 1

...это включает в себя настройку весов для обеспечения действий желаемых отзывов в качестве местных аттракторов (возбудителей).

Искусственный нейрон процессорный элемент) — основой любой нейронной сети (ИНС). Рис. 1. Изображение искусственного нейрона в виде...

Похожие статьи

Идеи цели и целеполагания в синергетике | Статья в журнале...

Примерами странных аттракторов являются: дважды прокрученный в себя аттрактор, аттрактор Хенона, аттрактор Лоренца и аттрактор Росслера. Эдвард Лоренц тоже свой вклад внёс в 1963 году после доказательства того, что простейшая система...

Исследование хаотических процессов с помощью Blender

И имеет странные аттракторы — сложно устроенные множества, демонстрирующие все

Отличаясь последней строчкой задающей скорость. Таким образом, мы визуализировали с помощью Blender математическую модель, представленную выведенными формулами.

К вопросу о применении и перспективах использования...

Рис. 2. Исходное и преобразованное изображение. Резюме. Существует большой массив прикладных задач, в которых применение теории динамических систем более целесообразно, чем применение

Применение Mathcad для исследования странных аттракторов.

Элементы учебно-педагогического дискурса как открытой...

Периодический аттрактор следует некой траектории в направлении заданного значения, траектория объекта может изменяться [4, URL].

Эти области называются хаотическими, или странными аттракторами.

Разработка средств компьютерной визуализации для научных...

Фактически любая хаотическая система может быть легко смоделирована — рынок акций обеспечивает тенденции, которые могут быть проанализированы с использованием "странного аттрактора" намного легче, чем с применением стандартных явных уравнений.

О генерации магнитных полей 2d конвективными течениями...

Ключевые слова: электронная магнитная гидродинамика, конвекция Рэлея-Бенара, генерация магнитных полей, уравнения Лоренца, странный аттрактор.

Аттракторно-интерференционный механизм паронимического...

Рис. 1. Схематическое изображение аттракторно-интерференционного механизма паронимического смешения. Оказываясь под влиянием аттрактора, т. е. ассоциаций и мысленных представлений, искомый пароним может подвергнуться интерференционному (от...

Моделирование сложных систем

Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве. Для установившихся колебаний, соответствующих динамическому хаосу, Д. Рюэль и Ф. Такенс в 1971 году предложили название — странный аттрактор.

Аппаратная реализация искусственных нейронных сетей. Часть 1

...это включает в себя настройку весов для обеспечения действий желаемых отзывов в качестве местных аттракторов (возбудителей).

Искусственный нейрон процессорный элемент) — основой любой нейронной сети (ИНС). Рис. 1. Изображение искусственного нейрона в виде...

Задать вопрос