Введение эллиптических координат



Задачи о дифракции волн упругих телах, содержащих дефекты, представляют значительный интерес. В данной статье описан метод, связанный с применением аппарата специальных функций Матье и она является продолжением работы [1, с. 121]. Он применим для широкого класса задач, в которых можно считать, что дефект имеет эллиптическую форму.

Как известно, цилиндрические эллиптические координаты вводятся с помощью соотношений

Координаты линиями является софокусные эллипсы и гиперболы, уравнения которых в декартовых координатах имеют вид (рис. 1):

Рис. 1. Семейство координатных линий

Параметр , в принципе, может быть произвольным, однако его целесообразно выбрать равным половине расстояния между фокусами эллипса . Тогда эллипс включается в однопараметрическое семейство координатных линий . Нетрудно убедиться, что на кривой эллиптическая координата принимает значение

Таким образом, эллипс при отображении переходит в прямоугольник

Отметим предельные случаи: если , то указанный прямоугольник переходит в полуполосу . Если же , то указанный прямоугольник вырождается в отрезок . Преобразуем к эллиптическим координатам уравнения Гельмгольца, пользуясь [2, с. 211].

Преобразуем к эллиптическом координатам известные потенциалы и представим их в виде

Здесь

и имеют вид

Функции и представляют собой решения уравнения Гельмгольца

Согласно получаем

Перейдем к формулировке граничных условий, вытекающих из . Введем в рассмотрение ковариантные компонента и вектора перемещений в криволинейной системе координат . Если то эти величины определяются следующим образом:

Контрвариантные компоненты и вектора равны [3, стр. 91]:

Здесь

-инвариант метрического тензора .

Для выбранной системы координат имеем [3, с. 123]:

Таким образом

Отсюда вытекает, что

следовательно

Искомый вектор перемещения выражается через и в области и соответственно (рис. 2)

Рис. 2. Образы

, , областей , , при отображении

Используя мы получим, что первые два граничных условия, вытекающие из имеют вид

при .

Рассмотрим вектор напряжения в произвольном точке контура . Он может быть представлен в виде , где -векторы местного координатного базиса, -вектор нормали. Так как

является координатной линией , то вектор касателен к . Поэтому .

Следовательно .

Это приводит к следующим условиям

при

. При этом должны быть выражены через a и -соответственно через и .

Таким образом, рассматриваемая краевая задача состоит в нахождении функций удовлетворяющих уравнениям в областях

соответственно.

Кроме того должны выполнены условия периодичности

и условия ограниченности искомых функций при . Фигурирующие в граничных условиях функции являются известными и задаются выражениями .

Литература:

1. Международный научный журнал «Символ науки» (ISSN 2410–700X) № 11–2/2023.
2. Бейтмин Г., Эрдейи А. Высшие транцендентные функции. Функции Ляме и Матье. -Москва: Наука, 1967.
3. Блох В. И. Теория упругости. -Харьков: издательство ХГУ, 1964.