Потенциальная и кинетическая энергия волновых явлений в упругом теле при наличии горизонтального дефекта



Рассмотрим упрощенную математическую модель краевой задачи [1, с.1]. Потенциальная энергия деформации включения записывается в виде

, (1)

где

(2)

Подставим в (1) выражения (2) и осуществим интегрирование по

. Тогда для получим следующее выражение:

Теперь предположим, что величины получают приращения , . Линейная часть приращения потенциальной энергии деформации может быть представлена в виде:

.

Здесь

,

,

,

,

,

,

.

Интегрированием по частям приведем выражение для к виду:

(3)

Аппроксимируем теперь аналогичным образом кинетическую энергию включения

.

В соответствии с соотношениями

,

имеем

.

Осуществляя интегрирование по , получим

.

Отсюда следует, что при приращениях , , , кинетическая энергия получает приращение, линейная часть которого равно

(4)

Пусть t >0. Тогда

Теперь для нахождения условий на включении, которая интерпретируется как линия 0 , применим принцип Гамильтона. Будем полагать, что включение представляет собой линию, и имеет конечную потенциальную и кинетические энергии, которые проанализированы выше. Обозначим их теперь через П ₁ ,Т ₁ , и через П,Т обозначим потенциальную и кинетическую энергии основного тела Например:

.

Выражения для

имеет вид:

Отметим формулу Грина

Здесь — вектор напряжения на контуре .

Разделим область так, как показано на рис.1.

Рис. 1

Тогда, согласно формуле Грина:

(5)

Здесь учтено, что при пересечении контуров L1 и L2 не претерпевает разрыва (в отличие от линии АВ) и что в формуле Грина следует рассматривать криволинейный интеграл в положительном направлении (как указано на рис. 1).

Согласно принципа Гамильтона для любого t>0 должно выполняться вариационное равенство

(6)

Сюда надо подставить выражение для согласно (5), согласно (3), согласно (4), а также . Если взять с носителем в произвольной области W, не пересекающейся с АВ и , то отсюда будут следовать дифференциальные уравнения движения, которые известны. В силу этих уравнений и граничных условий на после подстановки указанных выражений в (6) исчезнут интегралы по и . Таким образом, из (6) следует, что для произвольной векторной функции должно выполняться равенство:

(7)

В выражениях под следует понимать орт внешней нормали к границе области (рис. 1). Очевидно в этом случае направление совпадает с направлением оси

. Поэтому

(8)

Здесь и предельные значения снизу компонент тензора напряжений и . С другой стороны, при рассмотрении следует понимать внешнюю нормаль к границе области , направленную противоположно оси

. Поэтому

(9)

С учетом (8), (9) из (7) вытекает, что вдоль линии АВ должны выполняться четыре уравнения

,

,

,

.

В конечных точках А и В должны выполняться естественные граничные условия

.

Литература:

1. Международный научный журнал «Молодой ученый» № 2 (501), 12 январь 2024 г., URL:https://moluch.ru/archive/501/110161/.
2. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. — М.: Физматгиз, 1963. — 472 с.
3. Механика деформируемых твердых тел: Направления развития. Сб. статей: Пер. с англ. В. В. Шлимака/Под ред. Г. С. Шапиро — М.: Мир, 1983.