Интегрирование уравнений динамики твердого тела

При конструировании, создании и последующей эксплуатации систем различного назначения важнейшими вопросами являются исследование условий устойчивости их движения для обеспечения безопасности. Натурное воспроизведение неустойчивых режимов движения связано с большим риском.

Альтернативой является использование математических моделей для описания указанных систем.

Предметом исследования в статье являются математические модели динамики твердого тела в форме уравнений Гамильтона и численные методы их интегрирования, применительно к описанию транспортных, авиационных, космических систем.

Для численного интегрирования уравнений Гамильтона [1] использован канонический метод, в основе которого лежит принцип консервативных возмущений. Согласно этому принципу все вычислительные процессы численного интегрирования уравнений движения должны соответствовать малому консервативному возмущению. Такой подход приводит к значительному повышению достоверности и информативности результатов компьютерного эксперимента. Следуя результатам канонической теории возмущений КолмогороваАрнольдаМозера [2], малые консервативные возмущения не могут нарушать устойчивость консервативной системы при ее движении вблизи положения равновесия.

Неустойчивость консервативно возмущенной системы, воспроизводимая в процессе компьютерного эксперимента, всегда определяет неустойчивость исходной системы. Имеется реальная возможность использования результатов указанной теории в исследовании динамики твердого тела, в частности для определения условий устойчивости летательных аппаратов.

Запишем исходную систему уравнений Гамильтона для невозмущенного движения твердого тела:

где функция Гамильтона, обобщенные импульсы и координаты.

Связь между исходной и консервативно возмущенной системой осуществляется бесконечно малыми каноническими преобразованиями.
Этому соответствуют алгоритмы численного интегрирования, обеспечивающие консервативность возмущения в форме импульс – координата (2) и координата – импульс (3):

где шаг интегрирования.

На основе использования алгоритмов (2), (3) построены компьютерные модели, воспроизводящие движение твердого тела в условиях свободного вращения в потенциальном поле.

Представим физическую модель объекта как свободное вращение твердого тела вокруг точки, относительно неподвижной системы координат , а в качестве углов выберем навигационные углы поворота относительно оси крена, тангажа и курса (рисунок 1).

Рис. 1. Навигационные углы вращения летательного аппарата

Для записи кинематических формул летательного аппарата необходимо определить проекции угловой скорости на оси подвижной системы координат , выразив их через углы поворота и их производные .

Получим выражение проекций угловых скоростей твердого тела на оси подвижной системы координат [3]:

Если главные моменты инерции твердого тела отнесены к осям системы , то кинетическая энергия вращения выразится квадратичной формой вида:

где главные моменты инерции.

Схема построения функции Гамильтона, заключается в преобразовании производных функции навигационных углов в обобщенные импульсы .

Используя выражения для преобразования координат, запишем кинетическую энергию твердого тела в случае свободного вращения:

где значения коэффициентов квадратичной формы имеют вид:

Определим проекции кинетического момента (обобщенные импульсы) через производные функций углов поворота и разрешим полученную систему, используя формулу Крамера:

где определители системы (9),  алгебраические дополнения.

Подставляя выражения производных функций углов поворота (10) в функцию кинетической энергии (7), получим функцию Гамильтона для случая свободного вращения:

В динамические уравнения Гамильтона входят частные производные функций Гамильтона по импульсам и координатам и представляют собой достаточно громоздкие выражения, поэтому предварительно следует определить соответствующие частные производные всех промежуточных выражений. При создании и тестировании компьютерных программ эти промежуточные выражения удобно представить как упорядоченную систему функций (банк функций) в табличном виде [4].

Алгоритм интегрирования может быть представлен в виде следующей схеме (рисунке 2).

Рис. 2. Схема формирования системы функций и алгоритма

Разработанная схема обобщает построение алгоритмов для различных видов углов поворота и систем координат.

Фазовые траектории для случая свободного вращения летательного аппарата изображены на рисунке 3.

Рис. 3. Фазовые траектории свободного вращения

Воспроизводимое компьютером движение соответствует движению исходной системы в условиях действия консервативных возмущений. Действительно консервативные возмущения, вызванные процессом счета, не нарушают исходную устойчивость движения [5].

При движении в потенциальном поле к функции Гамильтона добавим потенциальную энергию . Фазовые траектории при длительных временах наблюдений описывают устойчивые колебаниям относительно трех осей и представлены на рисунке 4.

Рис. 4. Фазовые траектории движения в потенциальном поле

Консервативные возмущения, вызванные процессом счета, не нарушают устойчивость режима движения твердого тела, то есть движение осуществляется в окрестности точки минимума потенциальной энергии.

Под устойчивым режимом движения будем понимать способность объекта сколь угодно долго оставаться в фиксированной окрестности невозмущенной фазовой траектории при действии на него малых возмущающих факторов.

При движении с диссипацией энергии к первому уравнению системы (1) добавим диссипативную составляющую . На рисунке 5 представлены фазовые траектории в виде асимптотически сходящейся спирали.

Рис. 5. Фазовые траектории движения в потенциальном поле

под действием диссипативных сил

Математическая модель движения твердого тела [5] построенная на основе, фундаментальных положений аналитической динамики, позволяет исследовать его поведение в условиях свободного вращение, под действием консервативных и диссипативных сил. Алгоритмы численного интегрирования уравнений Гамильтона, устойчивы к накоплению погрешности во времени, повышают точность решения и быстродействие, что подтверждается малой относительной величиной изменения гамильтониана и наименьшим числом используемых арифметических операций. Программный комплекс моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата [6] использован для сравнительной характеристики устойчивости движения твердого тела по методу Эйлера и по каноническому методу.

Литература:

1. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Каноническое интегрирование динамических систем. Екатеринбург-Ижевск: Изд-во Института экономики УрО РАН, 2006. – 198 с.

2. Мозер Ю. КАМ – тория и проблема устойчивости. – Ижевск: ИРТ, 2001. – 448 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1977. – 832 с.

4. Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Селиванов К.М., Ермолаева Е.В. Канонические преобразования фазового пространства в динамике твердого тела // Вестник ИжГТУ. – 2009. − №4. − С. 190−195.

5. Селиванов К.М. Канонический метод интегрирования в исследовании движения твердого тела // Интеллектуальные системы в производстве. 2010. – № 1. – С. 67–76.

6. Якимович Б.А., Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Ермолаева Е.В., Селиванов К.М. Программно-методический комплекс моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата // Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики: сб. науч. тр. XII Международной научно-практической конференции. – М.: МГУПИ, 2009. – С. 193–197.