Применение методов нелинейного программирования к решению экстремальных геометрических задач

Разнообразные задачи геометрии на экстремум площади и объема при заданных ограничениях решались с глубокой древности. Классическая изопериметрическая задача состоит в определении кривой заданной длины, ограничивающей максимальную площадь. К экстремальным задачам геометрии относятся задача Архимеда, в которой требуется среди шаровых сегментов, имеющих заданную площадь поверхности, найти сегмент максимального объема; задача Зенодора, в которой среди n-угольников, имеющих заданный периметр, необходимо найти n-угольник наибольшей площади; задача о геодезической кривой наименьшей длины, лежащей на заданной поверхности, и многие другие. Решение экстремальных геометрических задач важно не только с теоретической, но и практической точки зрения. Такие задачи возникают при  раскрое и упаковке промышленных материалов, при размещении грузов на палубах судов и многих  других. Рассматриваемые задачи могут быть формализованы и исследованы как задачи оптимального управления [5]. Целью данной работы является разработка численных методов и алгоритмов оптимизации для решения задачи о построении выпуклой пространственной фигуры вращения максимальной площади поверхности при заданных ограничениях на ее ширину.

Плоскость 

назовем опорной плоскостью выпуклого множества  в направлении n, функцию - опорной функцией фигуры .

Введем сферические координаты в трехмерном евклидовом пространстве . Тогда  , .

Положим

,  , ,

и назовем эту функцию опорной функцией фигуры .   

Определим ширину выпуклой пространственной фигуры  в направлении n:

Диаметром выпуклой фигуры  назовем

.

Толщина выпуклой фигуры  определяется равенством

.

Опорная функция овала в  почти всюду на множестве  удовлетворяет дифференциальному уравнению:

где - радиус кривизны границы овала в точке касания P опорной прямой, соответствующей направлению .

Опорная функция выпуклой замкнутой регулярной фигуры в  почти всюду на множестве  удовлетворяет неравенству:

Площадь поверхности выпуклой пространственной фигуры определяется выражением:

Опорная функция рассматриваемых фигур удовлетворяет граничным условиям:

Требуется найти выпуклую фигуру вращения, имеющую максимальную площадь поверхности при заданных ограничениях на ее ширину.  Поиск фигур осуществляется в классе выпуклых тел вращения с опорной функцией  . Обозначим через  значение опорной функции фигуры в направлении t.

Для фигуры вращения формула (4) имеет вид:

ограничения на ширину:

условия выпуклости:

В заданных направлениях  накладываются дополнительные ограничения на ширину:

где параметры ,  удовлетворяют условиям:

Не ограничивая общности рассмотрения, положим  в направлении толщины искомой фигуры:

Пусть далее - ширина в направлении t: ,, .

Задача (6)-(11) формализуется как задача оптимального управления с фазовыми и промежуточными ограничениями:

С использованием метода проекции градиента [6] построено решение задачи при выборе параметров: =0,8, q=500 и дополнительном ограничении . Результаты численных расчетов приведены на рис.1-5 и в табл.1.

Литература:

1.                  Andreeva E.A., Klötzler R. Zur analytischen Lösung geometrischer Optimierungsaufgaben mittels Dualität bei Steuerungstheorie // ZAMM. 1984, (64). Teil I. P. 35-44; Teil II. P. 147-153.

2.                  Андреева Е.А., Цветкова Е.Г., Савичева Ю.А.   Решение экстремальных задач геометрии двойственным методом: Учеб. пособие. - Тверь: ТвГУ, 2007.- 180 с.

3.                  Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел.- Берлин, 1934.

4.                  Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

5.                  Кутателадзе С.С., Рубинов А.М. Двойственность Минковского и её приложения.– Новосибирск: Наука, 1976.

6.                  Трифонов А.Г. Постановка задачи оптимизации и численные методы ее решения, М., Дело, 2002.