О моделировании дискретно-непрерывных процессов

Во многих процессах различных наук (медицина, физика, биология, физиология питания и др.) построение моделей по статистическим данным представляет серьезный интерес. В рамках данной статьи интерес представляет построение моделей дискретно-непрерывных процессов.

Проблема идентификации или моделирования – одна из актуальных в кибернетике не сегодняшний день. Формулировка задачи идентификации весьма разнообразна и зависит от априорной информации [1].

Задача идентификации разделена на две задачи: задача идентификации в «узком» смысле и задача идентификации в «широком» смысле. Идентификация в «широком» смысле отличается тем, что априорной информации меньше и она более расплывчата. Наиболее развита идентификация в «узком» смысле [1].

Процесс идентификации складывается из двух взаимосвязанных этапов: идентификации структуры модели и идентификации параметров в моделях выбранной структуры. При построении структуры модели используется априорная информация об объекте. Для каждого класса объектов формируются банки структур с сопутствующей информацией [1].

Существуют 3 уровня априорной информации о предполагаемом процессе:

-          Байесов уровень, при котором информация об объекте может быть как полной (максимально возможной), когда точно заданы модель объекта, статистические характеристики наблюдений и возможных помех, так и неполной, когда вероятностные характеристики наблюдений, помех и вид модели известны с точностью до набора параметров;

-          уровень параметрической неопределенности, при котором неизвестны законы распределения измерений и помех, а структура модели задана с точностью до набора параметров. Присутствуют выборки статистически независимых наблюдений переменных объекта;

-          уровень непараметрической неопределенности когда неизвестны ни законы распределения помех и измерений, ни структура модели. Известны некоторые качественные характеристики объекта: например, объект статический или динамический, однозначны или нет связи между его переменными и т.п. Имеются выборки статистически независимых наблюдений переменных объекта.

На практике часто мы имеем следующий уровень априорной информации об объекте: неизвестна параметризованная структура модели объекта, но известны некоторые качественные свойства объекта. В таком случае целесообразно использовать методы непараметрической теории идентификации (в широком смысле), которые являются более универсальными, т.к. используют только исходную статистическую выборку входных и выходных значений и некоторые описательные характеристики объектов (статический или динамический объект и т.д.) [5]

Рассмотрим задачу идентификации дискретно-непрерывных процессов к которым можем отнести следующий процесс (рис. 1). Процесс относится к классу дискретно-непрерывных, так как сам процесс непрерывен, но данные фиксируются в дискретные промежутки времени.

 

Рисунок 1. Схема процесса в теории моделирования и идентификации

Где:      - вектор входных управляемых переменных,  - вектор входных неуправляемых переменных,  - вектор выходных переменных,  - случайные возмущения, действующие на объект с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией. К этому классу значений можно отнести физические возможности и недостатки экспериментатора, погрешности оборудования и др., , ,  - случайные помехи измерений соответствующих переменных процесса с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией,  - непрерывное время, , ,  - каналы связи, соответствующие различным переменным, включающие в себя средства контроля, приборы для измерения наблюдаемых переменных, , ,  - измерения переменных процесса через интервал времени ,  - контролируется через существенно больший интервал времени , [3]

Рассматривая данный процесс с точки зрения априорной информации Байесова уровня, получаем:

Так как ведется моделирование случайного процесса, то в работе был принят нормальный закон распределения двумерной случайной величины:

Подставляя формулу распределение в первоначальное выражение, получаем:

Таким образом, мы смоделировали описываемый выше процесс. Однако, при отсутствии некоторой априорной информации может быть применен другой способ моделирования.

Уравнение идентификации в «узком» смысле будет иметь вид:

Где: - система линейно-независимых функций, -коэффициент.

Данное уравнение возможно использовать применяя метод наименьших квадратов (МНК).

Особым режимом идентификации параметров моделей является адаптивный режим. При этом непрерывно по мере поступления измерений входов и выходов объекта перестраиваются параметры, используется рекуррентный алгоритм.

Дифференцируя уравнение критерия по  получаем:

 где - некий произвольно выбираемый коэффициент.

Таким образом, с появлением новых данных выборки, имеется возможность дополнять модель, делая ее более точной и адекватной изучаемому процессу.

В общем виде метод наименьших квадратов может быть описан следующим образом. Дана выборка {,} j = 1,…S. Она представляет пары () одновременно измеренных в количественной шкале значений исследуемых величин. Зависимость y от x будем искать в виде разложения в ряд. Где: - система линейно-независимых функций. -коэффициент. Необходимо выяснить, существует ли связь между х и у, и исследовать эту связь.

Введем квадратичный критерий:

Для отыскания наилучших значений параметров или коэффициентов  продифференцируем W() по , при N=3 получаем систему линейных уравнений относительно :

Решаем ее относительно , при наличии выборки в общем виде:

при К=1,2,…N

В качестве приближения неизвестной функции у=f(x), на основании априорной информации предлагается параметрическая структура вида .

Обозначим класс аппроксимирующих функций через , где a - неизвестный вектор коэффициентов, а меру уклонения определим как выпуклую функцию разности (f(x)-, т.е.  =. Поскольку показанные вектора случайны, то и мера уклонения случайна. Поэтому в качестве меры уклонения естественно принять критерий

R(a) = M{F(y-f(х, a))}.

Задача отыскания наилучшего сводится к минимизации по .

В работе представлены 2 вида моделей, относящихся к уровню параметрической неопределенности априорной информации. Это следует из того, что, во-первых, оба моделируемых процесса (накопление токсинов как продуктов деятельности патогенных микроорганизмов при хранении продукта и накопление канцерогенных веществ в жире при длительном нагревании) имеют статистические экспериментальные данные. Во-вторых, анализируя эти данные, представляется возможным предположить структуру их модели. Параметры моделей находятся, используя МНК и аппроксимируя имеющиеся статистические данные. Оба процесса касаются производства продукции питания.

Первый процесс связан с накоплением вредных токсичных веществ в продукте питания в связи с размножением в продукте патогенных микроорганизмов. Соответственно, количество токсичных веществ пропорционально количеству патогенных микроорганизмов в продукте. А количество патогенных микроорганизмов, в свою очередь, пропорционально времени хранения продукта или его ингредиентов в условиях, благоприятных для размножения патогенных микроорганизмов (температура выше +5 градусов). В данной работе процесс размножения патогенных микроорганизмов был смоделирован на практическом примере размножения бактерий E. Coli, S. Aureus и Salmonella на питательной среде (мясной фарш) в условиях комнатной температуры и влажности. Замеры производились через каждые 3 часа после момента обсеменения питательной среды в течении 24 часов. Данные заносились в соответствующую таблицу.

Аппроксимация данных процесса накопления вредных веществ в результате деятельности патогенных организмов. После решения соответствующей системы из двух уравнений методом МНК, получаем значения а и b:

Зависимость y от x имеет вид:

Подставляя в полученную формулу х,  находим оценку :

№п/п	1	2	3	4	5	6	7	8
Х	3	6	9	12	15	18	21	24
	11,52	45,72	160,92	454,32	1062	2158,9	3958,9	6714,7

Для наглядности построим экспериментальный график и наложим на него график, полученный в результате аппроксимации экспериментальных данных по МНК (рис. 2):

Аппроксимация процесса накопления вредных веществ в результате увеличения количества канцерогенов при длительном нагреве масла [6]. Примем зависимость y от x в несколько видов, используя кусочную аппроксимацию графика накопления вредных веществ в продукте питания ПБО при жарке:

1.) Примем зависимость y от x в виде . при

Рисунок 2. График накопления вредных веществ в результате деятельности патогенных микроорганизмов

Где:     Х – время (час)

            Y (верхний) – количество бактерий (шт), экспериментальные данные

            Y (нижний) – аппроксимированные значения

2.) Примем зависимость y от x в виде . при

После решения соответствующей системы уравнений методом МНК, получаем значения: а = 0,128, b = - 0,352.

Зависимость y от x имеет вид:

Подставим в найденное уравнение х и найдем :

№ п/п	1	2	3	4
Х	4	6	8	10
	1,7	4,26	7,8	12,45

3.)Логически анализируя третий сегмент экспериментального графика примем зависимость y от x в виде:

Подставим в найденное уравнение х и найдем :

№ п/п	1	2	3	4
Х	10	12	14	16
	12,5	14,2	15,4	16,5

Для наглядности построим экспериментальный график и наложим на него график, полученный в результате аппроксимации экспериментальных данных по МНК (рис. 3):

Рисунок 3. График накопления вредных веществ как следствие накопления канцерогенов в технологической среде (масле) при длительном нагреве

Где:     X – время нагрева (часы)

            Y – экспериментальное количество канцерогенов

            Y1 – аппроксимация первой части экспериментального графика

            Y2 – аппроксимация второй части экспериментального графика

            Y3 – аппроксимация третьей части экспериментального графика

Данные модели призваны показать наглядность накопления вредных для человеческого организма веществ, в процессе приготовления пищи, в частности продукции предприятий быстрого обслуживания. Ставится цель повлиять на уточнение имеющихся в РФ норм СЭС по контролю за качеством продукции питания, с помощью разработки соответствующих рекомендаций. То есть, ввести дополнительные контролирующие этапы в процесс приготовления, обязать ответственных лиц протоколировать все необходимые для проверки опасные и ключевые моменты технологии приготовления и контроля качества поступающей на предприятие ПБО продукции и ее использования. Это позволит строже контролировать качество выпускаемой продукции, а в случае возникновения претензий со стороны потребителя, отследить ответственного за допущенную ошибку.

 

Литература

1.                      Медведев, А.В. Анализ данных в задаче идентификации // Компьютерный анализ данных и моделирование: Сборник научных статей Международной конференции. Том 2. Минск, 1995. С. 201-206.

2.                      Медведев, А.В. Элементы теории непараметрических систем управления // Актуальные проблемы информатики, прикладной математики и механики. Часть 3. Информатика. Новосибирск-Красноярк: Изд-во СО РАН, 1996, 87-112.

3.                      Гутшмидт, В.А. Непараметрическое моделирование стохастических систем // В.А. Гутшмидт, Я.И. Демченко, М.В. Кураченко, Е.С. Терентьева, А.В. Фаустов. Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения. Сборник научных статей Международной научной конференции. Минск, 2008. С. 66-73.

4.                      Катковник В.Я Непараметрическая идентификация и сглаживание данных / В.Я. Катковник М.: Наука, 1985. 427с.

5.                      Demchenko Ya. I., Medvedev A.V. Some non-parametric estimation in identification problems for stochastic systems/Ya. I. Demchenko, A.V. Medvedev// Probability theory, random processes, mathematical statistics and applications. Proceedings of the International Scientific Conference. Minsk, 2010. P.

6.                       Изучение окисления растительных масел при высокотемпературном нагреве во фритюре и разработка способов повышения их стабильности. Автореферат на соискание уч. степени канд. тех. Наук Журавлевой Людмилы Николаевны. Специальность 05.18.06 – Технология жиров, эфирных масел и парфюмерно-косметических продуктов. Санкт-Петербург – 2009.