О понятии нечеткого интеграла

Введение понятия нечеткого интеграла связано со стремлением к разработке в нечеткой математике аналогов, используемых в статистике и теории вероятностей понятий среднего и математического ожидания. Поскольку указанные понятия базируются на свойстве аддитивности вероятностной меры, а нечеткие меры более широкий класс мер, разработка указанных аналогов привела к построению принципиально новой математической конструкции [2].

Нечеткий интеграл от функции h : X → [0, 1] на множестве AX по нечеткой мере g определяется как

h(x)g = (αg ( A ∩ H_α)), (1)

где H_α={x | h(x)≥α}.

Нечеткий интеграл принято также называть нечетким ожиданием или FEV (fuzzy expected value).

Нечеткий интеграл от функции h : X → [0,1] на нечетком множестве A={x, μ_A(x)} по нечеткой мере g определяется как [3]

h(x)g =(μ _A (x)  h( x))g (2)

Отметим основные свойства нечетких интегралов.

Пусть a[0,1], (E, FX ) и h: X → [0,1].

 1. .

 2. .

 3. .

 4. .

 5. .

 6. .

Можно показать, что понятие нечеткого интеграла сходно с понятием интеграла Лебега. Для этого рассмотрим разбиение множества X на непересекающиеся подмножества (рис.1):, , i ≠ j, i=1,2,…,n.

 Рис. 1. Построение ступенчатой функции

 Пусть - ступенчатая возрастающая функция (h:X → [0,1]), где

α_i [0,1], E_i  X , f_Ei - характеристическая функция обычного множества E_i, т. е. f_Ei (x) = 1, если xE_i, f_Ei (x) = 0, x ∉ E_i. Пусть l есть мера Лебега. Интеграл Лебега от функции h по множеству A определяется как

, (3)

где i = {1, 2, 3 .... n}; α₁ ≤ α₂ ≤ α₃ ≤ ... α_n.

Введем множества F_i = , i=1,2,…, n. Тогда h(x) может быть представлена в виде . В этом случае нечеткий интеграл по аналогии с интегралом Лебега может быть определен в виде:

. (4)

Сопоставляя (3) и (4), можно обнаружить сходство между данными интегралами: операции сложения и умножения для интеграла (3) заменены операциями max и min соответственно для (4) [1].

Оба интеграла – лебегов и нечеткий – можно сравнить, используя вероятностную меру. Если (X, B, Р) – вероятностное пространство, а h: X → [0,1] есть B-измеримая функция, то имеем, что

. (5)

Сравнительно легко осуществлять расчет нечеткого интеграла в случае конечного множества X и соответственно конечного числа α, для которых требуется определить g(H_α). Для этого необходимо воспользоваться следующим утверждением.

Если функция h(x) принимает n+1 значение α_i, то соответственно множество значений g(H_αi), отличных от 0 и 1, состоит из n элементов. В последовательности из 2n+1 элементов, составленной из элементов {α_i} и {g(H_αi)}, расположенных в порядке возрастания, значение срединного n+1 элемента равно значению FEV(h).

На рис. 2 приведен пример графической интерпретации нахождения значения нечеткого интеграла для X = R [2]:

FEV(h)=, где H_α={x | h(x)≥α}.

 

 Рис. 2. Графическая интерпретация нечеткого интеграла

Для описания различных видов неопределенности в теории нечетких мер используется общее понятие "степень нечеткости". В общем случае оно включает в себя "степень важности", "степень уверенности" и как отдельный случай - "степень принадлежности" в теории нечетких множеств. Нечеткая мера, таким образом, может интерпретироваться различными способами в зависимости от конкретного применения.

Определение нечеткого множества, фиксирующего степень принадлежности элемента хХ подмножеству АF(X), где F(Х) - множество всех нечетких подмножеств Х, может быть представлено с использованием нечеткого интеграла следующим образом [3].

Пусть необходимо оценить степень принадлежности некоторого элемента  множеству . Очевидно, что для пустого множества эта степень принадлежности равна 0, а для равна 1, т.е. степень принадлежности для будет больше, чем для , если . Если степень принадлежности  равна g(x₀,E), а вместе E задано нечеткое подмножество , то .

Это говорит о том, что степень нечеткости суждения “” равна степени принадлежности  нечеткому подмножеству . Таким образом, понятие степени нечеткости в теории нечетких мер включает в себя понятие степени принадлежности теории нечетких множеств.

Для непрерывного пространства X=R вычисление нечеткого интеграла может быть упрощено и сведено к нахождению значения на монограмме (или таблице).

Пусть выполняется условие:

{x|h(x)≥α_i}=F_αi.

В этом случае справедливо следующее. Если f(x) – плотность нечеткой меры, значение нечеткого интеграла от h(x) по нечеткой мере равно значению , для которого справедливо:

, , (6)

где

.

Правая часть (6) зависит только от значений α и λ и может быть получена заранее в числовом виде в форме таблицы или графика. Левая часть (6) представляет собой отношение области, определяемой уровневым множеством H_α, ко всей области определения функции плотности нечеткой меры f(x).

Использование (6), таким образом, может облегчить организацию вычисления нечеткого интеграла [1].

В качестве примеров рассмотрим вычисления нечеткого интеграла для конечных множеств в случаях g_λ- и g_v-мep.

Пусть задано пятиэлементное множество X={х_i}, i{1, 2, 3, 4, 5}. Каждому элементу х_iX соответствуют значения нечетких плотнос­тей g_i из табл.1.

 Таблица 1

 

Согласно условию нормировки для g_i-меры получаем λ=0,25. Зна­чение нечеткого интеграла , где , Θ_α={i|h(x_i)≥α},, принимает значение S=0,4379.

Для g_v-мepы из условия нормировки можно получить

При этом значение нечеткого интеграла для g_v -меры S = 0,448 [2].

 

Литература

Бочарников В.П. Fuzzy-технология: Математические основы. Практика моделирования в экономике. Санкт-Петер6ург: «Наука» РАН, 2001.- 328 с.

Павлов А.Н., Соколов Б.В. Принятие решений в условиях нечеткой информации. ГУАП- СПб., 2006 - 72 с.

Яхъяева Г.Э. Нечеткие множества и нейронные сети.– М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008.- 320 с.