Нечеткие множества

Пусть Х универсальное множество, элементы которого обозначены через х. Принадлежность элементов в множестве А из Х часто рассматривается как характеристическая функция из Х в {0,1}, т. е.

(1.1)

Множество {0,1} называется множеством оценок.

Если предположить, что не множество {0,1}, а действительный интервал [0,1] является множеством оценок, тогда А будет нечетким множеством. В таком случае будет называться функцией принадлежности. Чем больше близко к 1. тем больше х принадлежит А [1].

Нечеткое множество А может характеризоваться множеством пар

(1.2)

В общем случае, нечетким множеством называется совокупность пар вида , где (иногда — структура типа решетки).

Нечеткое множество может быть конечным и бесконечным. Когда Х-конечное множество, т. е. , тогда нечеткое множество на Х определяется следующим образом:

. (1.3)

Когда Х — бесконечное, тогда

(1.4)

Пример. Нечеткое множество А представлено в следующем виде:

A=0.1/1+0.3/2+0.5/3+0.7/4+0.8/5+0.9/6+0.95/7+1.0/8+0.97/9+

+0.9/10+0.8/11+0.7/12+0.5/13+0.3/14+0.1/15.

Тогда классическая версия этого множества имеет вид:

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} или

A=1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+

+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15.

Графическое изображение нечеткого множества А приведено на рис. 1.

Рис.1. Нечеткое множество

Нечеткое множество может быть представлено в аналитической форме.

Пример.

А= «действительное число близкое к 8»:

.

Нечеткое множество данного типа, т. е. когда функция принадлежности его является обычной (crisp) функцией или степени принадлежности являются обычными числами, называется нечетким множеством 1-го типа. Функция принадлежности нечеткого множества сама может быть нечетким множеством. Тогда нечеткое множество типа 2 определяется как [2,3]

.

Нечетким множеством типа m называется нечеткое множество в Х, у которого значениями функции принадлежности является нечеткое множество типа m-1.

В [4,5] рассмотрен другой тип нечетких множеств. Когда значение функции принадлежности является случайной переменной. В этом случае вероятностное множество А в Х определяется характеристической функцией

,

где — является — измеряемой функцией для каждого фиксированного .

Имеются и другие расширения нечетких множеств. Если , , для которого условия

,

удовлетворяются, то называют максимальным или минимальным значением функции принадлежности

(1.5)

Если существует , удовлетворяющего условиям данным выше, то можно рассмотреть следующую задачу: найти последовательность из Х таких, что

или (1.6)

.

inf и sup означают наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю границы, соответственно.

Два нечетких множества А и В равны, если их функции принадлежности равны, т. е. если

. (1.7)

Литература:

1. Fu H. C., Shann J. J. A fuzzy neural network for knowledge learning // Int. J. Neural Syst.- 1994.- V.5, N.1.- P.13–22.
2. Масалович А. И. От нейрона к нейрокомпьютеру // Журнал доктора Добба.-1992.- N.1.- С.20–24.
3. Stefanuk V. L. Expert systems and its applications // The lectures of Union's orkshop on the main problems of artificial intillegence and intellectual systems. Part 2, Minsk, 1990.- P.36–55.