Решение задачи Коши для уравнения продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения методом понижения порядка | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 18 июля, печатный экземпляр отправим 22 июля.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №23 (313) июнь 2020 г.

Дата публикации: 04.06.2020

Статья просмотрена: 23 раза

Библиографическое описание:

Пономаренко, А. Н. Решение задачи Коши для уравнения продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения методом понижения порядка / А. Н. Пономаренко. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 23 (313). — С. 10-15. — URL: https://moluch.ru/archive/313/71058/ (дата обращения: 07.07.2020).



В данной статье представлен новый метод решения задачи Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами, зависящего от двух переменных, и решение задачи Коши для уравнения продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения методом понижения порядка.

Здесь и далее: , — функции двух переменных, , ,, , , , , — частные производные, и вообще, для любой функции будем полагать , . Символ будет означать, что из предыдущего уравнения получаем следующее.

1.Метод решения задачи Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами, зависящего от двух переменных.

Данная задача Коши имеет вид [1]:

, , , (1)

, , (2)

где — функция, имеющая первую производную, , — вещественные числа, не равные нулю, — вещественное число.

Ход метода.

С одной стороны, из (1) следует

. (3)

Умножим (3) на . Получим

. (4)

Так как , и , то (4) можно представить в виде

. (5)

Положим в (5): .Тогда (5) будет иметь вид , или

. (6)

Пусть — произвольное решение (6). Тогда, очевидно, будет удовлетворять уравнению (1), то есть

. (7)

С другой стороны, из (1) следует

. (8)

Умножим (8) на . Получим

. (9)

Так как , и , то (9) можно представить в виде

. (10)

Положим в (10): .Тогда (10) будет иметь вид , или

. (11)

Пусть — произвольное решение (11). Тогда, очевидно, будет удовлетворять уравнению (1), то есть

. (12)

Далее, поскольку уравнения (6) и (11) идентичны, то и их решение относительно , или , будет одинаковым. Тогда, в данном случае, можно положить

. (13)

Сопоставляя (7) и (12), с учетом (13), находим систему из двух уравнений:

, (14)

. (15)

Приравнивая (14) и (15), находим, что в нашем случае будет выполнятся , откуда получаем равенство , из которого следует

. (16)

Очевидно, , где – произвольная постоянная, будет решением уравнения (6), равно как и решением уравнения (11). В силу произвольности , можно положить , где — произвольная дифференцируемая функция. Таким образом, имеем

. (17)

В силу полученного равенства (16), в решении (17) можно заменить на , и решение (17) будет иметь вид

. (18)

Поскольку функция — произвольная и дифференцируемая, то далее она может быть определена из условия (2). Подставим (18) в (7). Тогда получим

. (19)

Применяя к (19) начальное условие (2), найдем окончательное решение задачи Коши (1), (2) в виде

. (20)

2. Решение задачи Коши для уравнения продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения методом понижения порядка.

Задача Коши для данного уравнения имеет вид [1], [2]:

, , , (21)

, , (22)

, , (23)

где для функций , существует первая и вторая производная, — вещественное число, не равное нулю.

Ход метода.

Уравнение (21) можно представить в виде , и далее, полагая функцию непрерывной по обеим переменным во всей области определения, в виде , откуда далее, представим его в виде

. (24)

Положим в (24):

. (25)

Тогда (24) будет иметь вид

. (26)

Уравнение (26) есть уравнение вида (1) при , , . Согласно формуле (19), его решением будет

, (27)

где — произвольная функция, имеющая первую и вторую производную, далее подлежащая определению из начальных условий (22), (23). Подставляя найденное решение для из (27) в уравнение (25), находим, что решение уравнения (21) свелось к решению уравнения вида

. (28)

Таким образом, решение уравнения второго порядка (21) свелось к решению уравнения, подобного уравнению первого порядка вида (1), но с ненулевой правой частью. Далее выполним ряд следующих преобразований

, (29)

, (30)

. (31)

Так как

, (32)

то подставляя (32) в (31) находим

. (33)

Подставляя (30) и (33) в (29) находим

. (34)

Далее, подставляя (34) в (28) находим

. (35)

С уравнением (35) проведем следующие очевидные преобразования

,

,

,

. (36)

Уравнение (36) есть частный случай уравнения (1) при , , , если его рассматривать относительно функции . Выполняя в уравнении (36) замену

, (37)

представим его в виде

. (38)

Исходя из решения (20) задачи Коши (1), (2), решение уравнения (38) имеет вид

, (39)

где — произвольная функция, имеющая первую и вторую производную, в дальнейшем подлежащая определению из начальных условий (22), (23). Таким образом, приравнивая (37) и (39) находим, что

. (40)

Очевидно, что уравнение (21) будет равносильно уравнению , и проведя аналогичные рассуждения, заменив на , получим еще одно решение, подобное (40):

, (41)

так как интеграл слева в (40), при замене на , остается прежним. Складывая (40) и (41), получим

. (42)

Из (42) элементарными преобразованиями получаем

. (43)

Применяя начальные условия (22), (23) к решению (43), найдем окончательное решение задачи Коши (21)-(23) в виде

.

Литература:

  1. С. Фарлоу. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров,издательство «Высшая школа», Москва, (1985) — 384 с.

2. Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. Уравнения в частных производных математической физики, издательство «Высшая школа», Москва, (1970) — 712 с.

Основные термины (генерируются автоматически): решение уравнения, вид, уравнение, решение задачи, Кош, произвольное решение, произвольная функция, однородный стержень, линейное уравнение, вещественное число.


Похожие статьи

Решение смешанной задачи для волнового уравнения...

В этой работе приближенно решена смешанная задача для волнового уравнения методом разделения переменных, методом вариационных итераций и методом разложения Адомиана. Все эти методы обеспечивает последовательность функций...

Линейные уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений. При решении уравнений используют свойства: Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится равносильное уравнение. Если обе части уравнения...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая задача; смешанная задача.

Общее решение этого уравнения имеет следующий вид

Задача Коши: Найти решение уравнение (2) в области , удовлетворяющее начальные условия

Численная реализация разностного метода решения одной...

В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Эти задачи являются стационарными, так как в них отсутствует временная переменная. В них требуется найти решение уравнения в частных производных в данной...

Об одном методе решения линейных интегральных уравнений

В этой статье изложен метод решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка с запаздывающим аргументом.

Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка

Известно решение ЛРС с конкретными неоднородностями вида , где — некоторый многочлен от [3]. Но в случае произвольных неоднородностей общего решения ЛРС, по-видимому, нет. В настоящей работе эта задача решена. Полученный результат иллюстрируется примерами с...

Численный метод решения уравнения колебаний балки при...

Рассматривается задача численного решения уравнения колебаний балки при разных типах граничных условий. Для этого был разработан новый численный подход к решению этой задачи, который, несмотря на недостаток в производительности по сравнению с численным методом...

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Введение ипостановка задачи. Исследованиеасимптотического поведения решений линейного разностного уравнения третьего порядка.

Общее решение уравнения (1) имеет вид . Очевидно, что в общем случае все решения уравнения (1) являются предельными 2-циклами...

О методе решения линейных интегральных уравнений...

Их определение означает нахождение решение задачи. Процесс решения дифференциальных уравнений высших порядков рассмотрим на примерах.

Тогда решение примет вид: (9). В этом решение и произвольные функции производные высших порядков которых существуют.

Похожие статьи

Решение смешанной задачи для волнового уравнения...

В этой работе приближенно решена смешанная задача для волнового уравнения методом разделения переменных, методом вариационных итераций и методом разложения Адомиана. Все эти методы обеспечивает последовательность функций...

Линейные уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений. При решении уравнений используют свойства: Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится равносильное уравнение. Если обе части уравнения...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Для дифференциальных уравнений различают три типа задач: задача Коши; краевая задача; смешанная задача.

Общее решение этого уравнения имеет следующий вид

Задача Коши: Найти решение уравнение (2) в области , удовлетворяющее начальные условия

Численная реализация разностного метода решения одной...

В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Эти задачи являются стационарными, так как в них отсутствует временная переменная. В них требуется найти решение уравнения в частных производных в данной...

Об одном методе решения линейных интегральных уравнений

В этой статье изложен метод решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка с запаздывающим аргументом.

Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка

Известно решение ЛРС с конкретными неоднородностями вида , где — некоторый многочлен от [3]. Но в случае произвольных неоднородностей общего решения ЛРС, по-видимому, нет. В настоящей работе эта задача решена. Полученный результат иллюстрируется примерами с...

Численный метод решения уравнения колебаний балки при...

Рассматривается задача численного решения уравнения колебаний балки при разных типах граничных условий. Для этого был разработан новый численный подход к решению этой задачи, который, несмотря на недостаток в производительности по сравнению с численным методом...

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Введение ипостановка задачи. Исследованиеасимптотического поведения решений линейного разностного уравнения третьего порядка.

Общее решение уравнения (1) имеет вид . Очевидно, что в общем случае все решения уравнения (1) являются предельными 2-циклами...

О методе решения линейных интегральных уравнений...

Их определение означает нахождение решение задачи. Процесс решения дифференциальных уравнений высших порядков рассмотрим на примерах.

Тогда решение примет вид: (9). В этом решение и произвольные функции производные высших порядков которых существуют.

Задать вопрос