Решение задачи Коши для уравнения продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения методом понижения порядка
Отправьте статью сегодня! Электронный вариант журнала выйдет 14 августа,печатный экземпляр отправим18 августа.

Решение задачи Коши для уравнения продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения методом понижения порядка

В данной статье представлен новый метод решения задачи Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами, зависящего от двух переменных, и решение задачи Коши для уравнения продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения методом понижения порядка.
Поделиться в социальных сетях
42 просмотра
Библиографическое описание

Пономаренко, А. Н. Решение задачи Коши для уравнения продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения методом понижения порядка / А. Н. Пономаренко. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 23 (313). — С. 10-15. — URL: https://moluch.ru/archive/313/71058/ (дата обращения: 05.08.2021).



В данной статье представлен новый метод решения задачи Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами, зависящего от двух переменных, и решение задачи Коши для уравнения продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения методом понижения порядка.

Здесь и далее: , — функции двух переменных, , ,, , , , , — частные производные, и вообще, для любой функции будем полагать , . Символ будет означать, что из предыдущего уравнения получаем следующее.

1.Метод решения задачи Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами, зависящего от двух переменных.

Данная задача Коши имеет вид [1]:

, , , (1)

, , (2)

где — функция, имеющая первую производную, , — вещественные числа, не равные нулю, — вещественное число.

Ход метода.

С одной стороны, из (1) следует

. (3)

Умножим (3) на . Получим

. (4)

Так как , и , то (4) можно представить в виде

. (5)

Положим в (5): .Тогда (5) будет иметь вид , или

. (6)

Пусть — произвольное решение (6). Тогда, очевидно, будет удовлетворять уравнению (1), то есть

. (7)

С другой стороны, из (1) следует

. (8)

Умножим (8) на . Получим

. (9)

Так как , и , то (9) можно представить в виде

. (10)

Положим в (10): .Тогда (10) будет иметь вид , или

. (11)

Пусть — произвольное решение (11). Тогда, очевидно, будет удовлетворять уравнению (1), то есть

. (12)

Далее, поскольку уравнения (6) и (11) идентичны, то и их решение относительно , или , будет одинаковым. Тогда, в данном случае, можно положить

. (13)

Сопоставляя (7) и (12), с учетом (13), находим систему из двух уравнений:

, (14)

. (15)

Приравнивая (14) и (15), находим, что в нашем случае будет выполнятся , откуда получаем равенство , из которого следует

. (16)

Очевидно, , где – произвольная постоянная, будет решением уравнения (6), равно как и решением уравнения (11). В силу произвольности , можно положить , где — произвольная дифференцируемая функция. Таким образом, имеем

. (17)

В силу полученного равенства (16), в решении (17) можно заменить на , и решение (17) будет иметь вид

. (18)

Поскольку функция — произвольная и дифференцируемая, то далее она может быть определена из условия (2). Подставим (18) в (7). Тогда получим

. (19)

Применяя к (19) начальное условие (2), найдем окончательное решение задачи Коши (1), (2) в виде

. (20)

2. Решение задачи Коши для уравнения продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения методом понижения порядка.

Задача Коши для данного уравнения имеет вид [1], [2]:

, , , (21)

, , (22)

, , (23)

где для функций , существует первая и вторая производная, — вещественное число, не равное нулю.

Ход метода.

Уравнение (21) можно представить в виде , и далее, полагая функцию непрерывной по обеим переменным во всей области определения, в виде , откуда далее, представим его в виде

. (24)

Положим в (24):

. (25)

Тогда (24) будет иметь вид

. (26)

Уравнение (26) есть уравнение вида (1) при , , . Согласно формуле (19), его решением будет

, (27)

где — произвольная функция, имеющая первую и вторую производную, далее подлежащая определению из начальных условий (22), (23). Подставляя найденное решение для из (27) в уравнение (25), находим, что решение уравнения (21) свелось к решению уравнения вида

. (28)

Таким образом, решение уравнения второго порядка (21) свелось к решению уравнения, подобного уравнению первого порядка вида (1), но с ненулевой правой частью. Далее выполним ряд следующих преобразований

, (29)

, (30)

. (31)

Так как

, (32)

то подставляя (32) в (31) находим

. (33)

Подставляя (30) и (33) в (29) находим

. (34)

Далее, подставляя (34) в (28) находим

. (35)

С уравнением (35) проведем следующие очевидные преобразования

,

,

,

. (36)

Уравнение (36) есть частный случай уравнения (1) при , , , если его рассматривать относительно функции . Выполняя в уравнении (36) замену

, (37)

представим его в виде

. (38)

Исходя из решения (20) задачи Коши (1), (2), решение уравнения (38) имеет вид

, (39)

где — произвольная функция, имеющая первую и вторую производную, в дальнейшем подлежащая определению из начальных условий (22), (23). Таким образом, приравнивая (37) и (39) находим, что

. (40)

Очевидно, что уравнение (21) будет равносильно уравнению , и проведя аналогичные рассуждения, заменив на , получим еще одно решение, подобное (40):

, (41)

так как интеграл слева в (40), при замене на , остается прежним. Складывая (40) и (41), получим

. (42)

Из (42) элементарными преобразованиями получаем

. (43)

Применяя начальные условия (22), (23) к решению (43), найдем окончательное решение задачи Коши (21)-(23) в виде

.

Литература:

  1. С. Фарлоу. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров,издательство «Высшая школа», Москва, (1985) — 384 с.

2. Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. Уравнения в частных производных математической физики, издательство «Высшая школа», Москва, (1970) — 712 с.

Похожие статьи
Шарипова Мохинур Алмос кизи
Решение смешанной задачи для волнового уравнения приближенными методами
Математика
2018
Парканова Светлана Ивановна
Линейные уравнения
Теория образования и обучения, дидактика
2016
Меражова Шахло Бердиевна
Решение методом продолжения задач математической физики в полуограниченных областях
Математика
2016
Фазылова Лейла Сабитовна
Численная реализация разностного метода решения одной задачи для уравнения эллиптического типа
Информационные технологии
2015
Расулов Тулкин Хусенович
Об одном методе решения линейных интегральных уравнений
Математика
2015
Усков Владимир Игоревич
Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка
Математика
2019
Атамуратов Андрей Жиенбаевич
Численный метод решения уравнения колебаний балки при разных типах граничных условий
Математика
2014
Шенмаер Ирина Владимировна
Периодические решения разностного уравнения третьего порядка
Математика
2016
Расулов Тулкин Хусенович
О методе решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных высшего порядка с запаздывающим аргументом
Математика
2015
публикация
№23 (313) июнь 2020 г.
дата публикации
июнь 2020 г.
рубрика
Математика
язык статьи
Русский
Опубликована
Похожие статьи
Шарипова Мохинур Алмос кизи
Решение смешанной задачи для волнового уравнения приближенными методами
Математика
2018
Парканова Светлана Ивановна
Линейные уравнения
Теория образования и обучения, дидактика
2016
Меражова Шахло Бердиевна
Решение методом продолжения задач математической физики в полуограниченных областях
Математика
2016
Фазылова Лейла Сабитовна
Численная реализация разностного метода решения одной задачи для уравнения эллиптического типа
Информационные технологии
2015
Расулов Тулкин Хусенович
Об одном методе решения линейных интегральных уравнений
Математика
2015
Усков Владимир Игоревич
Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка
Математика
2019
Атамуратов Андрей Жиенбаевич
Численный метод решения уравнения колебаний балки при разных типах граничных условий
Математика
2014
Шенмаер Ирина Владимировна
Периодические решения разностного уравнения третьего порядка
Математика
2016
Расулов Тулкин Хусенович
О методе решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям в частных производных высшего порядка с запаздывающим аргументом
Математика
2015