Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка

Рассматривается неоднородное линейное рекуррентное соотношение (ЛРС) второго порядка с постоянными коэффициентами и произвольной неоднородностью. Выводится аналитическая формула общего члена этого соотношения. Результат иллюстрируется примерами.

Ключевые слова: линейные рекуррентные соотношения, неоднородные, второй порядок, решение, дифференцирование, определитель, второй порядок.

Введение

Рассматривается ЛРС второго порядка

(1)

где a,b,c — заданные постоянные, , — заданная последовательность, определенная при каждом .

Рекуррентным соотношением задается модель, описывающая развитие популяции [1]; модель, описывающая распределение государством денежной массы по денежным агрегатам [2] и т. д.

Известно решение ЛРС с конкретными неоднородностями вида , где — некоторый многочлен от [3]. Но в случае произвольных неоднородностей общего решения ЛРС, по-видимому, нет.

В настоящей работе эта задача решена. Полученный результат иллюстрируется примерами с конкретными значениями коэффициентов и неоднородности.

1. Дифференцирование определителя

Теорема 1. Пусть

,

где , некоторые непрерывно дифференцируемые достаточное количество раз функции.

Тогда имеет место следующая формула

где — биноминальный коэффициент.

Замечание 1. Отметим, что при этот результат общеизвестен [4].

Доказательство. Докажем утверждение методом математической индукции по n. Действительно, при это утверждение верно. Пусть оно верно для . Тогда для имеем:

В первой сумме выделим слагаемое с , а во второй сумме заменим и выделим слагаемое с :

Второе и третье слагаемые внесем под одну сумму; в силу тождества [5]

получим в ней

что и требовалось доказать.

2. Решение ЛРС

Перейдем к решению ЛРС (1).

Пусть — некоторые достаточное количество раз непрерывно дифференцируемые в точке функции.

Вводится функционал , определяемый формулой:

Нетрудно видеть, что для него справедливы следующие теоремы.

Теорема 2. Для любых постоянных и функций справедливо свойство:

Теорема 3. Для любых функций справедлив аналог формулы Лейбница:

Рассматривается дифференциальное уравнение

(2)

с некоторой непрерывно дифференцируемой в точке функцией . Продифференцируем его n раз:

и возьмем

(3)

В силу единственности производной, сравнивая (3) и (1), имеем:

что влечет взаимно однозначное соответствие между y и , определяемое формулами:

(5)

Решение однородного уравнения для уравнения (2) раскладывается по базису [6]:

Метод вариации произвольных постоянных приводит к решению

где

(6)

в обозначении ‒ вронскиан, построенный по функциям .

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Решение ЛРС (1) представимо в виде

где — решение однородного ЛРС.

Вычислим слагаемые этого решения. Применив утверждение теоремы 1, получим решение однородного ЛРС:

(8)

Для вычисления продифференцируем n раз функцию , определяемую формулой (6); применим для этого утверждение теоремы 1 и сгруппируем слагаемые по производным функции :

Тогда, применив функционал , и учитывая (5), имеем:

(9)

Таким образом, с применением равенства (4), утверждений теорем 2 и 4, получен следующий результат.

Теорема 5. Общее решение ЛРС (1) равно (7), где определяется формулой (8), а ‒ формулой (9).

3. Базисная система последовательностей для ЛРС (1).

Рассмотрим характеристическое уравнение

Пусть — его корни, — его дискриминант.

Выпишем базисные функции:

1) при уравнение имеет различные корни; базисные функции таковы:

2) при уравнение имеет корень и базисные функции

3) при оно имеет два комплексно сопряженных корня

; при этом базисные функции равны

По аналогии с базисной системой функций введем следующее понятие.

отличен от нуля.

Базисные последовательности для ЛРС (1) определяются по формулам:

.

В каждом случае, применив утверждение теоремы 3, имеем:

1) при ; (10)

2) при , ;

3) при ,

,

где mod обозначается остаток от деления, ‒ целая часть числа .

Остальные случаи проверяются аналогично.

4. Примеры

Пример 1. Решить ЛРС

1) Характеристическое уравнение

имеет корни

2) Базисная система последовательностей для этого ЛРС такова:

4) Формула (9) дает выражение для неоднородной части решения:

Общее решение ЛРС, в силу теоремы 5, — это .

Замечание 2. Если в сумме верхний предел меньше нижнего, то слагаемые суммы полагают равными нулю.

Сделаем проверку. Взяв в ЛРС, к примеру, , получим верное тождество:

Пример 2. Решить ЛРС

1) Характеристическое уравнение

имеет корень

2) Базисная система последовательностей для этого ЛРС такова:

3) Однородная часть решения ЛРС равна

4) Формула (9) дает выражение для неоднородной части решения:

Сделаем проверку. Взяв в ЛРС, к примеру, , получим верное тождество:

Литература:

1. Неверова Г. П., Абакумов А. И., Фрисман Е. Я. Режимы динамики лимитированной структурированной популяции при избирательном промысле // Математическая биология и биоинформатика. 2017. ‒ Т. 12, № 2. ‒ С. 327–342.
2. Денежная масса и её структура [электронный ресурс]. ‒ Режим доступа: https://studopedia.ru/19_286070_denezhnaya-massa-i-ee-struktura.html (дата обращения: 03.10.2019).
3. Воронин В. П., Поспелов А. Д. Дополнительные главы дискретной математики. — М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, 2002. — 129 с.
4. Вронскиан [электронный ресурс]. — Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/ Вронскиан (дата обращения: 12.10.2019).
5. Биноминальный коэффициент [электронный ресурс]. — Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Биноминальный_коэффициент (дата обращения: 18.09.2019).
6. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:Наука, 1974. — 331 с.