Решение смешанной задачи для волнового уравнения приближенными методами | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Несмотря на коронавирус, электронный вариант журнала выйдет 13 июня.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Решение смешанной задачи для волнового уравнения приближенными методами / М. А. Шарипова, А. Х. Мустафоева, Б. Б. Ортиков [и др.]. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 27 (213). — С. 4-8. — URL: https://moluch.ru/archive/213/51984/ (дата обращения: 30.05.2020).



В этой работе приближенно решена смешанная задача для волнового уравнения методом разделения переменных, методом вариационных итераций и методом разложения Адомиана. Все эти методы обеспечивает последовательность функций, которая сходится к точному решению. Во всех случаях получены одинаковые результаты, но при этом метод разложения Адомиана являлся очень простим и удобным.

Ключевые слова: смешанная задача, волновое уравнение, метод разделения переменных, метод вариационных итераций, метод разложения Адомиана, начальное приближение, последовательность функций, точное решение.

Основной задачей строительной механики является разработка методов расчёта и получения данных для надёжного и экономичного проектирования зданий и сооружений. Надёжные методы расчётов таких зданий и сооружений позволяют возводить достаточно лёгкие и надёжные конструкции. Определённые математические модели и расчёты некоторых объектов строительной механики приводятся к решению линейных или нелинейных уравнений математической физики. В данной работе предложены применения современных более простых и точных методов решения таких уравнений [1–9].

Требуется точно решать следующую смешанную задачу для волнового уравнения методом разделения переменных (МРП), методом вариационных итераций (МВИ) и методом разложения Адомиана (МРА) [2, 7]:

, , (1)

, (2) . (3)

Для решения задачи примем обозначение . Из задачи (1)-(3) получим следующую задачу:

, (4)

, (5) . (6)

1) По идею МРП имеем:. Подставляя это выражение к уравнению (4) имеем две уравнения вида [7]

.

Отсюда получим спектральную задачу: , .

При имеем, и ,; а вторая .

Общее решение уравнение (4) и (5): ,

a из условия (6) имеем , k=2,3,4,…;

.

Точное решение задачи (4)-(6): .

2) Теперь уравнение (4) будем решать сначала по начальным условиям (6), а затем с граничными условиями (5) методом разложения Адомиана (МРА).

Для МРА имеем формулу приближенного решения задачи (4) и (6) [2]:

.

По идею МРА:

; ; ;

;…; и т. д.

Точное решение задачи (4) и (6): .

Для МРА имеем формулу приближенного решения задачи (4) и (5):

.

Здесь , (7)

По идею МРА:

;

; ;

;…; и т. д.

Общее решение уравнение (4), (5) и (7):

a из условия (6) имеем

и т.д. .

Точное решение задачи (4)-(6): .

3) Уравнение (4) будем решать сначала по начальным условиям (6), а затем с граничными условиями (5) методом вариационных итераций (МВИ).

Для решения задачи (4)-(6) МВИ примем обозначение

(8)

Из уравнения (4) получим следующую интегро-дифференциальное уравнение:

, (9)

По идею МВИ имеем формулу приближенного решения задачи (9):

Здесь — множитель Лагранжа, а для стационарного случая , и отсюда имеем . Тогда имеем приближенную формулу

Применяя МВИ, получим следующие результаты:

; ; и т. д.

Точное решение задачи (9):

a из обозначения (8) имеем

Для решения задачи (4) и (5) МВИ примем обозначение (10).

Из уравнения (4) получим следующую интегро-дифференциальное уравнение:

, (11)

По идею МВИ имеем формулу приближенного решения задачи (11):

Здесь также . Тогда имеем приближенную формулу

Применяя МВИ, получим следующие результаты:

; ; и т. д.

Точное решение задачи (11):

a из обозначения (10) имеем

a из условия (6) имеем

и т.д. .

Точное решение задачи (4)-(6): .

Точное решение задачи (1)-(3): .

Эти результаты проверены с помощью математического пакета Maple 17 [6].

Таким образом, МРП, МВИ и МРА дают одинаковые результаты, но МРА является более простим, точным и быстро приближающим к точному решению задачи. Поэтому в дальнейшем рекомендуется использование МРА при решении линейных и нелинейных задач математической физики [1–2, 8].

Литература:

  1. Adomian, G. Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method. Boston, MA: Kluwer, 1994.
  2. Wazwaz A. M. Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory. Higher Education Press, Berlin Heidelberg, 2009. — 761 p.
  3. Абдурашидов А. А. Решения нелинейных волновых уравнений методом вариационных итераций // Международный научный журнал: Молодой ученый. — 2017. — № 6. — С. 4–8.
  4. Абдурашидов А. А. Точное решение некоторых нелинейных уравнений Гарднера упрощенным методом укороченных разложений // Международный сетевой научно-практический журнал: Наука среди нас. Выпуск № 2(6), 2018. — С. 35–46.
  5. Абдурашидов А. А., Касимова Ф. У., Рахимова Х. А. Приближенное решение волновых уравнений более высокого порядка методом вариационных итераций // Международный научный журнал: Развитие и актуальные вопросы современной науки, № 4 (4), 2017. — С. 4–9.
  6. Алексеев Е. Р., Чеснокова О. В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad, Matlab, Maple (Самоучитель). — М.: НТ Пресс, 2006. — 496 с.
  7. Бицадзе А. В., Калиниченко Д. Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. Учеб. пособие для механико-математ. и физ. спец. вузов. — 2-е изд., доп. — М.: Наука, 1985. — 310 с.
  8. Кудряшов Н. А. Методы нелинейной математической физики: Учебное пособие. 2-е изд. — Долгопрудный: Интеллект, 2010. — 368 с.
  9. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 256 с.
Основные термины (генерируются автоматически): точное решение задачи, метод разложения, приближенное решение задачи, уравнение, смешанная задача, решение задачи, метод разделения переменных, волновое уравнение, интегро-дифференциальное уравнение, математическая физика.


Похожие статьи

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Решения нелинейных волновых уравнений методом... краевая задача, начальное приближение, итерационная формула, точное решение, уравнение, коррекция функционала, метод возмущений, окончательное решение, нулевое приближение, начальное условие вида.

Решение методом продолжения задач математической физики...

краевая задача, уравнение, область, смешанный тип, доказательство устойчивости, разностная модель. Программирование разностного метода решения одной задачи... Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения.

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы

Изучить методы решения нелинейных уравнений: ‒ Шаговый метод.

Без математической грамотности невозможно успешное освоение методов решения задач по физике, химии, биологии и другим предметам.

Решения нелинейных волновых уравнений методом...

Решение дифференциальных уравнений сеточными методами есть задача вычисления приближенных значений функций в узлах ; для.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных... уравнение, точное решение, начальное приближение...

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы.

приближенное решение, метод трапеций, метод итераций, квадратурная формула трапеций, команда, математическая система, метод моментов, квадратурная формула, правая часть, вырожденное ядро.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Решения нелинейных волновых уравнений методом... краевая задача, начальное приближение, итерационная формула, точное решение, уравнение, коррекция функционала, метод возмущений, окончательное решение, нулевое приближение, начальное условие вида.

Возможные методы решения математических задач...

Решение дифференциальных уравнений методом последовательностей. Организация приближённого решения интегральных

Ключевые слова: MathCAD, численные методы, Навье-Стокс, движения, скорость. Анализ уравнения, моделирующего волновые движения...

Метод двухмасштабного разложения решения...

Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение с малым параметром. (1). Где малый параметр некоторая непрырывная функция своих аргументов. ядро. Согласно методу двух масштабного разложения ишем решение уровнение (1) в виде асимптотического ряда [1,2]. (2)...

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных...

Приближенные решения уравнений математической физики, дифференциальных и

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, задача, Решение уравнения, переменная толщина, предлагаемый метод, прямоугольная пластинка, переменное сечение...

Численная реализация разностного метода решения одной...

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы.

Решение дифференциальных уравнений сеточными методами есть задача вычисления приближенных значений функций в узлах ; для различных моментов времени .

Похожие статьи

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

Решения нелинейных волновых уравнений методом... краевая задача, начальное приближение, итерационная формула, точное решение, уравнение, коррекция функционала, метод возмущений, окончательное решение, нулевое приближение, начальное условие вида.

Решение методом продолжения задач математической физики...

краевая задача, уравнение, область, смешанный тип, доказательство устойчивости, разностная модель. Программирование разностного метода решения одной задачи... Решается первая начально-краевая задача для волнового уравнения.

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы

Изучить методы решения нелинейных уравнений: ‒ Шаговый метод.

Без математической грамотности невозможно успешное освоение методов решения задач по физике, химии, биологии и другим предметам.

Решения нелинейных волновых уравнений методом...

Решение дифференциальных уравнений сеточными методами есть задача вычисления приближенных значений функций в узлах ; для.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных... уравнение, точное решение, начальное приближение...

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы.

приближенное решение, метод трапеций, метод итераций, квадратурная формула трапеций, команда, математическая система, метод моментов, квадратурная формула, правая часть, вырожденное ядро.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

Решения нелинейных волновых уравнений методом... краевая задача, начальное приближение, итерационная формула, точное решение, уравнение, коррекция функционала, метод возмущений, окончательное решение, нулевое приближение, начальное условие вида.

Возможные методы решения математических задач...

Решение дифференциальных уравнений методом последовательностей. Организация приближённого решения интегральных

Ключевые слова: MathCAD, численные методы, Навье-Стокс, движения, скорость. Анализ уравнения, моделирующего волновые движения...

Метод двухмасштабного разложения решения...

Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение с малым параметром. (1). Где малый параметр некоторая непрырывная функция своих аргументов. ядро. Согласно методу двух масштабного разложения ишем решение уровнение (1) в виде асимптотического ряда [1,2]. (2)...

Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных...

Приближенные решения уравнений математической физики, дифференциальных и

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, задача, Решение уравнения, переменная толщина, предлагаемый метод, прямоугольная пластинка, переменное сечение...

Численная реализация разностного метода решения одной...

Методы решения нелинейных уравнений | Задачи работы.

Решение дифференциальных уравнений сеточными методами есть задача вычисления приближенных значений функций в узлах ; для различных моментов времени .

Задать вопрос