Изучение комплексных чисел в общеобразовательной школе | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 20 марта, печатный экземпляр отправим 24 марта.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Педагогика

Опубликовано в Молодой учёный №5 (295) январь 2020 г.

Дата публикации: 03.02.2020

Статья просмотрена: 751 раз

Библиографическое описание:

Жмурова, И. Ю. Изучение комплексных чисел в общеобразовательной школе / И. Ю. Жмурова, С. В. Баринова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 5 (295). — С. 312-314. — URL: https://moluch.ru/archive/295/67123/ (дата обращения: 07.03.2021).



В статье обсуждается необходимость и возможность изучения комплексных чисел в старшей школе, анализируются актуальные учебники математики, рассматриваются методические аспекты введения данного раздела в школьный курс математики.

Ключевые слова: комплексное число, числовая система, базовый уровень, профильный уровень.

Комплексные числа — раздел, не всегда встречающийся в современных школьных учебниках алгебры и начал математического анализа [1]. Из книг, рассмотренных нами, эта тема рассматривается лишь в одном учебнике базового уровня, в остальных случаях — только в учебниках профильного уровня. Естественно, возникает вопрос — должен ли учитель рассказать о существовании множества комплексных чисел, показать, как выполняются арифметические операции на этом множестве, как подойти к этой теме оптимально с точки зрения как времени, так и содержания.

Комплексные числа не входят в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике, поэтому чаще всего тему «Комплексные числа» или оставляют на самостоятельное изучение, или не рассматривают совсем. Если комплексные числа не изучаются, то у учеников может возникнуть проблема при решении квадратных уравнений — как корректно записать ответ в случае отрицательного дискриминанта? Учащиеся заучивают шаблонную фразу «нет действительных корней», не задумываясь, какое значение она имеет. Этого можно избежать, если в рамках темы «Квадратные уравнения» показать, что из отрицательного числа можно извлечь корень и получить мнимое число, изучение которого будет происходить в 11 классе. В таком случае будет понятно, что у каждого уравнения есть корни, но в число рассматриваемых они могут и не входить.

Изучение комплексных чисел и работа с ними способствует развитию у учащихся абстрактного мышления, позволяет полностью увидеть структуру всех изученных ранее числовых множеств и операций с ними. Множество комплексных чисел принципиально отличается от всех числовых систем, являющихся подсистемами действительных чисел: комплексные числа нельзя отобразить на одной координатной прямой с другими числами, их нельзя упорядочить. Кроме того, комплексные числа — это тот редкий раздел математики, который объединяет в себе алгебру, геометрию и тригонометрию; показывает возможность привлечения смежных областей науки для решения конкретной задачи, реализуя тем самым интеграционные связи математики — как ближние, так и дальние [2]. Сама идея того, что из отрицательного числа можно извлечь корень, побуждает обучающихся посмотреть на ранее известные вещи с другой точки зрения.

Нами был рассмотрен ряд учебников по алгебре и началам математического анализа для 11 класса, входящих в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации образовательных программ среднего общего образования на 2019–2020 учебный год [4]. Среди них учебники базового уровня (Г. К. Муравин и О. В. Муравина), углубленного уровня (Г. К. Муравин и О. В. Муравина; М.Я Пратусевич и др.) и базового и углубленного уровней (С. М. Никольский, М. К. Потапов и др.; Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева и др.). Анализ перечисленных выше учебников показал, что авторы стремятся изложить определенные сведения о множестве комплексных чисел в средней школе: во всех учебниках приводится исторический материал, рассматриваются алгебраическая, геометрическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел, формула корней кубического уравнения. В учебниках углубленного уровня приводится показательная форма записи комплексного числа, рассматриваются операции возведения в степень и извлечение корня из комплексного числа. Материал учебников поможет сформировать представление о комплексных числах даже при самостоятельном изучении.

Знакомство с темой можно начать с повторения сведений об известных числовых множествах и выяснения причин, по которым было необходимо их расширение. Так операция вычитания привела к появлению отрицательных чисел, операция деления — рациональных чисел, извлечение корня — иррациональных чисел. Все эти множества входят в множество комплексных чисел, в которых выполнима операция излечения корня из любого числа. При изучении формулы корней кубического уравнения уместно будет рассказать об истории ее появления, а также об отношении к «неправильным» числам во все времена, начиная с неприязни к отрицательным числам. Интерес у учащихся также может вызвать объяснение записи мнимых чисел.

Важно показать различные формы записи комплексного числа и переходы от одних форм к другим; в каких случаях используется та или иная форма записи комплексного числа. Так, например, в учебнике С. М. Никольского приведена показательная форма комплексного числа и подчеркиваются ее преимущества: короткая запись числа и удобство при умножении, делении или возведении в степень. Также говорится о применении такого типа записи в физике. Г.К. и О. В. Муравины в учебниках и для базового, и для профильного уровней ограничиваются лишь тождеством Эйлера, а М. Я. Пратусевич и Ю. М. Колягин приводят только алгебраическую и тригонометрическую формы записи.

При изучении операций сложения, умножения и сопряжения комплексных чисел можно предложить учащимся самим вывести формулы, основываясь на алгоритме приведения подобных слагаемых и сложения и умножения многочленов. Совместный вывод теоретического материала может облегчить восприятие темы.

Анализируя методические рекомендации к учебникам, можно сделать следующий вывод: все рассмотренные авторы сделали тему «Комплексные числа» последней темой курса алгебры и начал анализа 11 класса. В частности, Г. К. Муравин и О. В. Муравина отмечают: «рассмотрение материала главы во многих классах можно проводить на ознакомительном уровне, что высвободит запланированное на изучение комплексных чисел время для повторения востребованного на экзамене материала» [4]. В рассматриваемых нами методических рекомендациях авторы выделяют от 10 до 19 часов на изучение комплексных чисел при углубленном изучении математики и 6 часов при изучении математики на базовом уровне. Такой размах обусловлен различным объемом материала и количеством часов в неделю для конкретного учебника.

Комплексные числа являются самостоятельной темой, объединяющей в себе ранее изученные разделы. Поэтому можно осуществить изучение этой темы в рамках курса внеурочной деятельности даже в 10 классе, при условии пропедевтики в основной школе, оставив уроки в 11 классе для повторения.

Если учитель ставит перед собой цель ознакомить учащихся с комплексными числами, можно рассматривать эту тему в несколько этапов: в 8 классе при изучении темы «Квадратные уравнения» объяснить, что такое комплексное число, показать алгебраическую форму комплексных чисел их сумму и разность, умножение и деление на действительное число; в 9 классе после изучения темы «Степенная функция» показать умножение и деление комплексных чисел, модуль комплексного числа; в 10 классе после изучения темы «Тригонометрия» познакомить учащихся с тригонометрической формой записи комплексного числа, извлечением корня и возведением в степень комплексного числа; в 11 классе вспомнить ранее изученное о комплексных числах и рассмотреть показательную форму записи комплексного числа. Таким образом действия с комплексными числами будут изучаться непосредственно после связанной с этим темы.

Изучение комплексных чисел в школе в первую очередь способствует развитию абстрактного мышления: раздвигаются привычные рамки, выполняются операции, ранее считавшиеся невыполнимыми. Содержательно-методическая линия числа приобретает законченный характер. Кроме того, при изучении комплексных чисел необходимо знакомиться и с историей развития числа и теми проблемами, которые привели к появлению комплексных чисел. Тем самым расширяется исторический кругозор и повышается культурный уровень обучающихся, что имеет огромное значение для общего развития старшеклассника. Все это актуализирует изучение комплексных чисел в урочной или внеурочной деятельности по математике в средней школе.

Литература:

  1. Алгебра и начала математического анализа. Сборник рабочих программ. 10–11 классы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [сост. Т. А. Бурмистрова]. — 2-е изд. -–М.: Просвещение, 2018. — 143 с.
  2. Жмурова И. Ю., Полякова Т. С., Лялина Е. В. 2Иинтеграционные связи и их оценка учителями математики и бакалаврами педагогико-математического образования // Методический поиск: проблемы и решения. — 2015. — № 1 (18). — С. 66–72.
  3. Муравин Г. К., Муравина О. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс, Углубленный уровень: методическое пособие к учебнику. — М.: Дрофа, 2015. — 272 с.
  4. Приказ Минпросвещения России «О внесении изменений в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования, сформированный приказом Министерства просвещения Российской Федерации от 28 декабря 2018 г. N 345" от 22.11.2019 № 623 // Российская газета. 25.11.2019 г. № 8023.
Основные термины (генерируются автоматически): число, комплексное число, базовый уровень, профильный уровень, углубленный уровень, учебник, абстрактное мышление, внеурочная деятельность, кубическое уравнение, математический анализ.


Ключевые слова

комплексное число, числовая система, базовый уровень, профильный уровень

Похожие статьи

Программа внеурочной деятельности по математике...

Осуществление внеурочной деятельности в условиях ФГОС предполагает акцентировать внимание на

Программа даёт возможность углубить знания по отдельным темам, приобрести навыки

Внеурочная деятельность – понятие, объединяющее все виды деятельности...

Методический анализ школьных учебников по алгебре...

Такие уравнения названы уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с

В учебниках алгебры для учащихся 7 и 9 классов (базовый уровень) под редакцией

Что касается учебников алгебры под редакцией Теляковского С. А. (базовый уровень, 7 класс)...

Курс внеурочной деятельности по математике «Рекуррентные...»

Ключевые слова: внеурочная деятельность, рекуррентные соотношения, элективные курсы

Современная российская школа реализует достаточно небольшое число профилей.

Это физико-математический, естественно-математический, химико-биологический...

Программа элективного курса «Параметр — это здорово!»

- формированию интеллекта, повышению уровня абстрактного и логического мышления и

Цели и задачи данного профильного курса соответствуют целям и задачам сегодняшнего

- развивать интеллектуальный и творческий уровень математического мышления учащихся

Развитие логического мышления обучающихся средней школы на...

Ключевые слова: логическое мышление школьников, примеры упражнений на развитие логики. В наше время, нам часто не хватает умения логично излагать свои мысли, особенно, если для нас важен результат этого изложения.

Изложение теории делимости в УМК «Математика 5–6» авторского...

Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты.

решение задач, задача, Число, признак делимости, клетчатая бумага, Математик, внеурочная деятельность, геометрическая мозаика, логическое мышление, наименьшее значение.

Формирование мышления младшего школьника на уроках...

Современное образование математического образования направлено главным образом на интеллектуальное развитие младших школьников, формирование культуры и самостоятельности мышления.

Технология преподавания курса «Математическое...»

Технология преподавания курса «Математическое и компьютерное моделирование» с помощью интерактивного электронного учебника.

Идея интерактивного электронного учебника «Моделирование в задачах» заключается в том, что сотрудничество между учеником и...

Обобщение системы работы при подготовке учащихся к ЕГЭ по...

– повышение уровня обученности учащихся и качества их математических знаний

– установление уровня остаточных знаний по основным темам курса алгебры и начала

Так как в настоящее время экзамен по математике разбит на базовый и профильный уровни, то...

Типология текстовых задач в Едином государственном экзамене...

Решение текстовых задач — одно из базовых умений, необходимое для успешной сдачи единого государственного экзамена. Чаще всего сложности при их решении возникают при составлении уравнения из данных задачи.

Похожие статьи

Программа внеурочной деятельности по математике...

Осуществление внеурочной деятельности в условиях ФГОС предполагает акцентировать внимание на

Программа даёт возможность углубить знания по отдельным темам, приобрести навыки

Внеурочная деятельность – понятие, объединяющее все виды деятельности...

Методический анализ школьных учебников по алгебре...

Такие уравнения названы уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с

В учебниках алгебры для учащихся 7 и 9 классов (базовый уровень) под редакцией

Что касается учебников алгебры под редакцией Теляковского С. А. (базовый уровень, 7 класс)...

Курс внеурочной деятельности по математике «Рекуррентные...»

Ключевые слова: внеурочная деятельность, рекуррентные соотношения, элективные курсы

Современная российская школа реализует достаточно небольшое число профилей.

Это физико-математический, естественно-математический, химико-биологический...

Программа элективного курса «Параметр — это здорово!»

- формированию интеллекта, повышению уровня абстрактного и логического мышления и

Цели и задачи данного профильного курса соответствуют целям и задачам сегодняшнего

- развивать интеллектуальный и творческий уровень математического мышления учащихся

Развитие логического мышления обучающихся средней школы на...

Ключевые слова: логическое мышление школьников, примеры упражнений на развитие логики. В наше время, нам часто не хватает умения логично излагать свои мысли, особенно, если для нас важен результат этого изложения.

Изложение теории делимости в УМК «Математика 5–6» авторского...

Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты.

решение задач, задача, Число, признак делимости, клетчатая бумага, Математик, внеурочная деятельность, геометрическая мозаика, логическое мышление, наименьшее значение.

Формирование мышления младшего школьника на уроках...

Современное образование математического образования направлено главным образом на интеллектуальное развитие младших школьников, формирование культуры и самостоятельности мышления.

Технология преподавания курса «Математическое...»

Технология преподавания курса «Математическое и компьютерное моделирование» с помощью интерактивного электронного учебника.

Идея интерактивного электронного учебника «Моделирование в задачах» заключается в том, что сотрудничество между учеником и...

Обобщение системы работы при подготовке учащихся к ЕГЭ по...

– повышение уровня обученности учащихся и качества их математических знаний

– установление уровня остаточных знаний по основным темам курса алгебры и начала

Так как в настоящее время экзамен по математике разбит на базовый и профильный уровни, то...

Типология текстовых задач в Едином государственном экзамене...

Решение текстовых задач — одно из базовых умений, необходимое для успешной сдачи единого государственного экзамена. Чаще всего сложности при их решении возникают при составлении уравнения из данных задачи.

Задать вопрос