Геометрическая характеризация JBW- факторов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 3 августа, печатный экземпляр отправим 7 августа.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №21 (259) май 2019 г.

Дата публикации: 26.05.2019

Статья просмотрена: 11 раз

Библиографическое описание:

Каландаров Т. С., Ибраимов И. Е. Геометрическая характеризация JBW- факторов // Молодой ученый. — 2019. — №21. — С. 1-4. — URL https://moluch.ru/archive/259/59557/ (дата обращения: 24.07.2019).



Эта работа посвящена исследованию предсопряженных пространств JBW-факторов, и приведён полученный результат, что если вещественный JBW-фактор не изоморфен спин-фактору или алгебре тогда его предсопряженное не является SFS-пространством.

Ключевые слова: JB-алгебра, JBW-алгебра, JBW-фактор, спин-фактор, -пространство, предсопряженное пространство

Введение

В теории операторных алгебр одной из важных задач является изучение йордановых алгебр.

В работе Я. Фридмана и Б. Руссо были введены гранево симметричные пространства, основной целью введения которых является геометрическая характеризация предсопряженных пространств -троек, допускающих алгебраическую структуру. Многие из свойств, требуемых в этих характеризациях, являются естественными предположениями для пространств состояний физических систем. Такие пространства рассматриваются как геометрическая модель для состояний квантовой механики.

В работе [1] было изучено предсопряженные пространства вещественных. JBW-факторов, а именно было доказано, что предсопряженное пространство вещественного JBW-фактора является SFS-пространством в том и только в том случае, когда он либо абелев, либо является спин-фактором.

Настоящая работа посвящена исследованию предсопряженных пространств JBW- факторов.

Основная часть

Пусть — банахово пространство над полем действительных чисел. называется йордаповой банаховой алгеброй (или JB-алгеброй), если в введена операция умножения , удовлетворяющая условиям:

1) для любых ;

2) для любых ;

3) для любых и ;

4) для любых ;

5) для любых ;

6) для любых .

Пусть JB-алгебра. называется JBW-алгеброй, если она обладает предсопряженным пространством, т. е. существует такое нормированное пространство , что .

Элементы из алгебры называются совместными, если выполняется .

Совместные элементы обозначается виде .

Для алгебры множество

называется центром. Если цент алгебры имеет вид

,

то алгебра называется JBW-фактором.

Пусть — некоторое вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением . Рассмотрим декартово произведение

и определим в произведение по формуле

,

где . Норму элементов в определим по формуле

.

С этим произведением и нормой алгебра является JBW-фактором с единицей , который называется спин-фактором ([2]).

Заметим, что

где Двойственность между и его сопряженным задается формулой

.

Пусть – действительное или комплексное нормированное пространство. Элементы называются ортогональными, обозначение , если

.

Подмножества называются ортогональными, обозначение , если для всех . Для подмножества пространства положим и назовем ортогональным дополнением к . Выпуклое подмножество единичного шара называется гранью, если включение где влечет . Грань единичного шара называется выставленной по норме, если

для некоторого с . Элемент называется проективной единицей, если и при всех .

Выставленная по норме грань из называется симметричной гранью, если существует линейная изометрия из на такая, что и множество неподвижных точек которой в точности совпадает с топологической прямой суммой замыкания линейной оболочки грани и ее ортогонального дополнения , т. е. совпадает с .

Пространство называется слабо симметричным пространством (WFS-пространством), если каждая выставленная по норме грань из симметрична.

WFS-пространство называется сильно гранево симметричным пространством (SFS-пространством), если для каждой выставленной по норме грани из и каждого c и имеем , где – симметрия, соответствующая .

Используя некоторые утверждения из работ [1] и [2], мы получим следующую терему, как следствие теоремы из [3].

Теорема. Если вещественный JBW-фактор не изоморфен спин-фактору или алгебре , тогда его предсопряженное не является SFS-пространством.

Литература:

  1. Ибрагимов М. М., Кудайбергенов К. К., Сейпуллаев Ж. Х. Геометрическая характеризация вещественных JBW-факторов // Владикавк. мат. журн. 2018. Том 20, вып. 1. С. 61–68.
  2. Аюпов Ш. А. Классификация и представление упорядоченных йордановых алгебр // Ташкент: Фан, 1986. 124 с.
  3. Ибраимов И. Е., JBW-алгебралардын геометриялык характеризациясы // Мaгистрaнтлaрдың илимий мийнетлериниң топламы. Нөкис, 2019.
  4. Friedman Y., Russo В., A geometric spectral theorem // Quart. J. Math. Oxford. -1986. -Vol. 37(2). — P. 263–277. DOI: 10.1093/QMATH/37.3.263
  5. Friedman Y., Russo B., Some affine geometric aspects of operator algebras // Pacif. J. Math. -1989. — Vol. 137 (1). -P. 123–144. DOI: 10.2140/pjm.1989. 137.123


Задать вопрос