Для описания поведения реального газа различными авторами было предложено более 150 уравнений. Наиболее известным является уравнение Ван-дер-Ваальса. Решения большинства уравнений и расчеты по ним требуют вычислительного эксперимента и подбора большого количества констант. Так, для уравнения Камерлинг-Оннеса требуется подбор 25 констант. Но во многих случаях можно воспользоваться уравнением идеального газа, позволяющего проводить простые расчеты. В связи с этим актуальным является вопрос исследования газа Ван-дер-Ваальса с помощью численного моделирования.
В последнее время численное моделирование все чаще называют вычислительным экспериментом, поскольку оно имеет много общего с лабораторными экспериментами [1, 2]. Основные этапы реального эксперимента (создание установки и измерения) заменяются математической моделью и проведение расчетов. Этап обработки данных остается без изменений.
- Приведенное уравнение Ван-дер-Ваальса
Для исследования свойств газа Ван-дер-Ваальса методом вычислительного эксперимента удобно представить уравнение Ван-дер-Ваальса в виде, не зависящем от параметров конкретного газа [3, 4]. Такое представление существует и носит название приведенного уравнения Ван-дер-Ваальса.
Примем в качестве единиц объема, давления и температуры критические значения этих величин. Объем, давление и температура, измеренные в таких единицах, называются приведенными. Они определяются выражениями:
|
|
(1) |
Уравнение состояния, записанное в этих безразмерных переменных, называется приведенным уравнением состояния.
Критические параметры вещества были выражены через постоянные Ван-дер-Ваальса [4]:
|
|
(2) |
Из (1) и (2) получаем
, 
, 
.
Подставляя эти выражения в уравнение Ван-дер-Ваальса
,
получим:
|
|
(3) |
Полученное выражение (3) и есть приведенное уравнение Ван-дер-Ваальса. Оно не содержит постоянных, зависящих от природы вещества. Другими словами, если измерять давление, объем и температуру в единицах их критических значений, то уравнение состояния становится одинаковым для всех веществ. Это положение называется закономсоответственных состояний (соответственными называются такие состояния разных веществ, которые имеют одинаковые значения приведенных параметров 
). Из него, в частности, следует, что если две из приведенных переменных для разных веществ совпадают, то третья переменная также совпадает, и состояния этих веществ будут соответственными.
Вещества, подчиняющиеся закону соответственных состояний и удовлетворяющие одному и тому же приведенному уравнению состояния, называются термодинамически подобными веществами. Термодинамическое подобие позволяет делать выводы о свойствах одного вещества, если известны свойства другого (принцип термодинамического подобия) [5–7].
Следует отметить, что закон соответственных состояний имеет приближенный характер. Тем не менее, с его помощью можно получать вполне пригодные для оценок результаты. Отметим также, что этот закон не связан с конкретным видом уравнения состояния, а является следствием лишь того обстоятельства, что в это уравнение входят всего две постоянные 
и 
. Другое уравнение состояния с двумя параметрами тоже привело бы к закону соответственных состояний.
Приведенное уравнение позволяет более точно указать критерии, при которых уравнение состояния идеального газа может быть хорошим приближением к действительности. Покажем, что для этого необходимо, чтобы объем газа был велик по сравнению с его критическим объемом.
В случае, когда 
приведенное уравнение (3) можно записать в виде:
|
|
(4) |
.
Для газа Ван-дер-Ваальса [4] критический коэффициент равен 
. Подставляя выражение 
в уравнение (4), получим: 
, или, с учетом определения приведенных величин, 
, и, следовательно, 
, т. е. уравнение состояния идеального газа.
- Построение изотермы газа Ван-дер-Ваальса
Вычислительный эксперимент выполнен в системе Mathematica. Суть программирования состоит в том, чтобы создать комбинацию встроенных функций, соответствующую алгоритму. Считается, что Mathematica входит в тройку лидеров среди систем компьютерной математики [8–9].
Для построения изотермы газа Ван-дер-Ваальса в системе Mathematica вначале необходимо создать функцию зависимости давления от температуры и объема. Согласно приведенному уравнению Ван-дер-Ваальса (3) эта функция имеет вид:
|
|
(5) |
.
Затем, с помощью оператора построения двухмерных графиков Plotможно строить график этой функции при постоянной температуре, задавая желаемые параметры форматирования.
Код программы для построения изотермы при 
приведен на рис. 1. Отметим, что величина 
выбрана произвольно. В элементы форматирования входят задание диапазонов графика по горизонтальной и вертикальной осям, подписей по осям и величины шрифта для них, выбор положения вертикальной оси, размер шрифта меток на осях, цвет и толщина линии графика. Результат выполнения этой программы (изотерма) приведен на рис. 2.
Рис. 1. Код программы построения изотермы Ван-дер-Ваальса вместе с изотермой идеального газа
Рис. 2. Изотермы газа Ван-дер-Ваальса и идеального газа при 
.
Интересно сравнить изотерму газа Ван-дер-Ваальса с изотермой идеального газа при той же температуре. Согласно (4) приведенное уравнение идеального газа имеет вид 
. Отсюда получаем функцию зависимости давления от объема и температуры: 
.
Как и в предыдущем случае, необходимо создать функцию, соответствующую этой зависимости. Код программы приведен на рис. 3 и полученный результат ее работы — на рис. 4. Как видно из рис. 4, при больших величинах приведенного объема уравнение состояния идеального газа дает те же результаты, что и уравнение Ван-дер-Ваальса.
Рис. 3. Код программы построения графика расхождения изотерм.
Выводы
В среде компьютерной математики Mathematica были исследованы свойства газа Ван-дер-Ваальса. В основу математической модели было положено приведенное уравнение Ван-дер-Ваальса 
, ввиду его универсальности, т. е. одинаковости уравнения для всех веществ.
Построены изотерма Ван-дер-Ваальса и изотерма идеального газа, а также график расхождения изотерм идеального газа и Ван-дер-Ваальса.
В дальнейшем планируем определить условия применимости уравнения идеального газа Ван-дер-Ваальса для описания реального газа.
Рис. 4. Зависимость ошибки для уравнения идеального газа от объема при температуре 
.
Литература:
- Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: В 2-х частях. Часть 1.– М.: Мир,1990 -349 с.
- Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: В 2-х частях. Часть 2.– М.: Мир,1990 -400 с.
- Савельев И. В. Курс общей физики, том.1. — М.: Наука, 1970. — 511 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. — М.: Наука, 1965. — 384 с.
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Термодинамика и молекулярная физика. — М.: Наука, 1979. — 543 с.
- Ферми Э. Термодинамика. — Изд-во Харьковского университета, 1973.- 136 с.
- Базаров И. П. Термодинамика. — М.: Высш.шк.,1991. — 376 с.
- Половко А. М. Mathematica для студента. — СПб.: БХВ-Петербург, 2007. — 368 с.
- Дьяконов В. П. Mathematica 5.1/5.2/6. Программирование и математические вычисления. — М.: ДМК-Пресс, 2008. — 576 с.
