Одной из важнейших тем школьного курса математики является «Делимость». Делимость — фундаментальное понятие алгебры, арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. Изучением делимости чисел занимался еще Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики. Они изучали всю красоту и природу чисел в целом, занимались изучением совершенных чисел, т. е. чисел, равных сумме всех его делителей, таким образом, уже знали делители и кратные чисел.
Евклид (III в. до н. э.) написал алгоритм нахождения наибольшего общего делителя заданной системы чисел, изложил важный результат: «бесконечность множества простых чисел».
Примерно в то же время греческий математик Эратосфен придумал способ выделения простых чисел из натурального ряда, названный «решетом Эратосфена». В этом решете «отсеиваются» простые числа от составных чисел. В XVIII веке Л. Эйлер (1707–1783) обобщил основной результат Ферма для случая делимости составных чисел и получил интересные результаты о разбиении чисел на слагаемые.
В XVIII-XIX вв. почти все крупнейшие математики занимались развитием теории чисел, в частности теории делимости (П. Л. Чебышев, И. М. Виноградов и др.).
Теория делимости является исходным, а может быть и основным, центральным пунктом в теории чисел при рассмотрении натуральных чисел. Основные факты, относящиеся к признакам делимости, затрагивают некоторые довольно абстрактные вопросы дискретной математики. К числу таких вопросов относятся, прежде всего, утверждения элементарной теории чисел, группирующиеся вокруг основной теоремы арифметики и анализа канонического разложения натурального числа на простые множители.
Проблемами делимости чисел на уроках математики занимались многие методисты и математики: В. Г. Болтянский, И. М. Виноградов, В. А. Далингер, Д. Пойа, Г. И. Саранцев, К. П. Сикорский, А. А. Столяр, П. Л. Чебышев и др.
Тема «Делимость чисел» включена в школьный курс математики 5–6 классов. Дальнейшее изучение этой темы приходится на 8–9, 10–11 классы в углубленном курсе математики, хотя в контрольно измерительных материалах государственной итоговой аттестации (ГИА) по математике на базовом уровне задачи на делимость присутствуют [1,2]. Причем не всегда учащиеся могут понять, что задачу можно решить именно с помощью нахождения Наибольшего общего делителя (НОД) или наименьшего общего кратного (НОК). Поэтому очень важно, чтобы учащиеся 5–6 классов хорошо качественно освоили данную тему.
УМК «Математика, 5–6» авторского коллектива: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир» рекомендован Министерством образования и науки Российской Федерации.
В структуру УМК «Математика, 5–6» авторского коллектива: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир» входят: учебник, книга для учителя, рабочие тетради, дидактические материалы и интерактивный тренажер.
В учебнике «Математика. 6 класс» понятие делимости вводится следующим образом: рассматривается задача, из которой приходят к определениям «делитель и кратное».
«Остаток при делении числа 30 на 5 равен 0, так как 30 = 5·6. В этом случае говорят, что число 30 делится нацело на 5. Число 5 называют делителем числа 30, а число 30 — кратным числа 5». Затем дается определение: «Натуральное число а делится нацело на натуральное число в, если найдётся натуральное число с такое, что справедливо равенство а = в· с».. Аналогично вводится понятие кратного числа. Закрепляется рядом задач.
Основных вопросы темы «Делимость натуральных чисел» в учебнике [3]: Делители и кратные. Признаки делимости на 2, на 5, на 10, на 3 и на 9. Простые и составные числа. Разложение на простые множители. Наибольший общий делитель (НОД), взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное (НОК).
Рассмотрим «Признаки делимости». Они вводятся частями.
- Признаки делимости на 2, на 5 и на 10.
- Признаки делимости на 3 и на 9.
В учебнике сразу идет утверждение, что на десять делятся числа, оканчивающиеся нулем, показывают это на примерах и формулируют так: «Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10». В учебнике по этому пункту даны исторические сведения
«Простые и составные числа». Исходя из примеров, дают определение: «Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Составным числом, если оно имеет более двух делителей». Закрепляется задачами разного уровня сложности.
В учебнике [3] отличительная особенность — введение понятий через текстовую задачу и постоянное подтверждение понятий примерами. Даются определения понятий НОД, НОК, взаимно простые числа, а также способы их нахождения. Достаточно большое число познавательных задач.
«НОД двух натуральных чисел называется самое большое натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел». Вводят обозначение НОД (a, b), описывают метод нахождения НОД (a, b).
«Натуральные числа, НОД которых равен единице, называются взаимно простыми числами».
Аналогично рассматривается понятие НОК: «НОК двух натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел».
Все задачи направлены на закрепление основных понятий по теории делимости и нахождение НОК, НОД, и т. д., на основные свойства, требующие алгоритмической деятельности.
Таким образом, можно отметить: (1) достаточно последовательное изложение теоретического материала; (2) разнообразную систему упражнений в учебнике [3]. Теоретический материал чередуется с практическим, после каждого параграфа учащимся предлагается использовать полученные знания при решении задач. Рассмотрено достаточное число примеров. Очень хорошая система упражнений, причём выделены задачи на закрепление новой темы, повторение предыдущего материала, задачи на внимание и сообразительность, упражнения для домашней работы. В конце каждого параграфа имеются вопросы к объяснительному тексту учебника.
Таким образом, анализ теоретического и задачного материала, представленного в учебнике [3], позволяет сделать вывод: часть материала по теории делимости изучается с недостаточной глубиной и недостаточно задач повышенной трудности, которые имеют большое значение при развитии познавательного интереса учащихся.
Литература:
- Волкова, Т. С. Задачи элементарной теории чисел в содержании профессиональной подготовки современного учителя математики / Т. С. Волкова // Журнал вестник Томского государственного педагогического университета. 2014. С. 85–88.
- Ященко, И. В. Единый государственный экзамен. Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. 30 вариантов. / И. В. Ященко. М.: Национальное образование, 2016. 174 с.
- Мерзляк, А. Г. Математика 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. М.: «Вентана-Граф», 2013. 304 с.
