В теории статистических решений предполагается, что условия выбора могут быть описаны при помощи некоторого множества неконтролируемых параметров, значения которых являются случайными, причем степень неопределенности значений задается посредством распределения вероятностей. Совокупность причин, управляющих неконтролируемыми параметрами, принято называть природой, а саму неопределенность - состоянием природы.
Характерной особенностью статистических задач выбора решений является возможность проведения экспериментов с целью получения дополнительной информации о состоянии природы.
При проведении испытаний возникает проблема выбора размера выборки – числа повторений эксперимента по наблюдению случайной величины z. Эта проблема вместе с выбором оптимальной стратегии статистика возникает при последовательном принятии решений. Рассмотрим лишь случай с заранее фиксированным размером выборки, такие статистические задачи называются статистическими играми с единичным испытанием.[2.C.15]
Статистической игрой с единичным испытанием называется выбор
где 
- множество состояний природы,
А={1,…,j,…,n} – множество решений статистики,
- пространство выборок,
- функция риска.
Рассмотрим такую игру на примере контроля качества сложного технического прибора с единичным испытанием.
Представитель заказчика, осуществляя приемку у ЗАО «Взлет» расходомер-счетчик электромагнитный «ЭРСВ-520Ф», может выбрать одно из двух решений: признать изделие годным и принять его в эксплуатацию (покрывая стоимость обнаруженных впоследствии дефектов), либо признать его бракованным и потребовать повторной сборки для устранения возможных недочетов. Качество изделия может быть удовлетворительным или неудовлетворительным, в зависимости от соблюдения технологии изготовления изделия и чтобы предел относительной погрешности измерения объема не превышал 2,0%. Стоимость повторной сборки качественного изделия оплачивается заказчиком и составляет условную единицу равную 21000 руб., стоимость исправления обнаруженных впоследствии дефектов в два раза дороже. В остальных случаях потери отсутствуют.
Тогда получаем следующую задачу:
Множество состояний природы – качество изделия – состоит из двух элементов
={удовлетворительное, неудовлетворительное},
У представителя заказчика – статистика – два решения
А={a1, a2}={принять отклонить},
А функция потерь статистика описывается матрицей
.
Представитель заказчика – статистик – перед принятием решения проводит тестирование изделия с возможными исходами Z={z1, z2, z3}={тест прошел, тест не прошел, результат не определен} результаты эксперимента зависят от состояния природы – качества изделия – и задаются условными распределениями вероятностей. На 10000 изделий удовлетворительного качества тест прошло 7000 изделий, тест не прошло 3000 изделий, и результат был не определен при тестировании 1000 изделий. На 10000 неудовлетворительного качества изделий, тест прошло 3000 изделий, тест не прошло 5000 изделий, и результат был не определен при тестировании 2000 изделий. Таким образом получаем условные распределения вероятностей (таблица1)
|
Тест: |
z1- прошел |
z2- не прошел |
z3- результат неопределен |
|
p(z/1) |
0,7 |
0,2 |
0,1 |
|
p(z/2) |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Таблица1. условные распределения результатов тестирования
Наличие эксперимента приводит к следующей схеме принятия решения в условиях неопределенности (рис. 1. – случай конечных множеств 
и А).[2. C.17]
Рис. 1. Схема принятия решения в статистической игре с единичным испытанием
В приведенной на рис.1 схеме статистик выбирает решающую функцию d – право переработки информации z, получаемой в результате эксперимента. Решающая функция показывает, какое решение a следует выбрать, если результат испытания равен z.
На результат тестирования статистик может реагировать одним способом, порождаемых различными правилами переработки ожидаемой информации. Правило переработки информации z, получаемой в результате эксперимента – решающая функция d, выбираемая статистиком.[4] При трех результатах и двух возможных решения статистика множество правил проведения – решающих функций – включает 23=8 различных функций, являющихся стратегиями статистика в статистической игре с единичным испытанием. В силу конечности множеств Z и А стратегии статистика – решающие функции – могут быть заданы таблично (таблица 2.).
|
Тест: |
z1- прошел |
z2- не прошел |
z3- результат неопределен |
|
d1 |
а1- принять |
а1- принять |
а1- принять |
|
d2 |
а1- принять |
а1- принять |
а2- отклонить |
|
d3 |
а1- принять |
а2- отклонить |
а1- принять |
|
d4 |
а1- принять |
а2- отклонить |
а2- отклонить |
|
d5 |
а2- отклонить |
а1- принять |
а1- принять |
|
d6 |
а2- отклонить |
а1- принять |
а2- отклонить |
|
d7 |
а2- отклонить |
а2- отклонить |
а1- принять |
|
d8 |
а2- отклонить |
а2- отклонить |
а2- отклонить |
Таблица 2. решающие функции статистика
Например, функция d3 означает, что нужно выбрать решение а1 , если результатом эксперимента будет z1 или z3, и решение а2, если результатом эксперимента будет z2. принимая во внимание распределение вероятностей из таблицы 1. и значения функции потерь L, можем получить функции риска для решающих функций dj(z). [3]
Тогда для решающей функции d3 получаем:
при i=1: 
при i=2: 
вычисляя подобным образом оставшиеся значения функции риса для состояния природы 
и решающих функций 
, получаем
при i=1: 
при i=2: 
при i=1: 
при i=2: 
при i=1: 
при i=2: 
при i=1: 
при i=2: 
при i=1: 
при i=2: 
при i=1: 
при i=2: 
при i=1: 
при i=2: 
Таким образом, получили следующую матрицу:
предоставляющую собой функцию потерь в статистической игре контроля качества расходомер-счетчика ЗАО «Взлет» с единичным испытанием.
Литература:
1. Баркалов А.В. Моделирование выбора решений // часть 1. – Н.Новгород: ННГУ, 2000. – 27 с.
2. Баркалов А.В. Моделирование выбора решений // часть 2. – Н.Новгород: ННГУ, 2000. – 24 с.
3. Грень Е. Статистические игры и их решения. – М.: Мир, 1974. – 176 с.
4. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. – М: Наука, 1981. – 336 с.
5. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие / под ред. С.И. Макарова. – 2-е изд.. – М.: КРОНУС, 2009. – 240 с.
