Изучение законов пропорции, которую называют «золотой», «божественной» и связанных с ней числовых соотношений берёт начало в науке древних цивилизаций и продолжается в современности. Учёные и ремесленники Средней Азии, находясь в русле достижений мировой науки, и иногда и опережая их, широко применяли «золотое сечение» в архитектуре, в художественных произведениях, производстве предметов быта. Отражению принципов «золотого сечения» в архитектуре и декоре монументальных сооружений Средней Азии, частично Азербайджана, посвящён замечательный труд М. С. Булатова «Геометрическая гармонизация в архитектуре Средней Азии IX-XV вв. (историко-теоретическое исследование)» [1].
В предисловии к книге Л. И. Ремпель пишет: «Мыслители Среднего Востока постоянно обращались к Платону и Аристотелю как высшим авторитетам философско-эстетической мысли прошлого… «Золотое сечение» было также подхвачено мыслителями средневекового Востока из наследия античности…оно выводится посредством вычислительной геометрии. По ней при делении окружности на десять частей хорда относится к радиусу окружности по законам «золотого сечения» [1, с. 4].
Из приведённых положений Л. И. Ремпеля очевидно, что вопросы пропорций, в частности «золотого сечения» (далее словосочетание золотое сечение будем упоминать без кавычек) занимали важное место в системе взглядов средневековых мыслителей Средней Азии. Следует учитывать и тот факт, что законы золотой пропорции закладывались в умозрительные модели «идеальных городов», «идеального общества», теоретические основы которых разрабатывались мыслителями Средневековья.
Комментируя работу М. С. Булатова, Ремпель продолжает: «М. С. Булатов проследил за тем, как это единство арифметической, геометрической и гармонической пропорций осуществлялось на практике. Он не раз отмечает их полное соответствие (связь), но в то же время и неточности и отступления от пропорций, вызванные в основном нерадивостью производителей работ» [1, с. 4].
Абуль-Вафа аль-Бузджани, математик Х века, в своём трактате «О том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений» указывал, что мастера — зодчие, отделочники, керамисты часто допускают неточности при воплощении расчетов инженеров. В наши дни это отражается в разнице между предполагаемыми размерами сооружений, которые очень часто строились по законам золотого сечения, и их действительными параметрами.
Как известно, золотое сечение связано с числами Фибоначчи. Напоминаем, что числа Фибоначчи состоят из трёх рядов. В одном из них ЧФ кратны 5, поэтому приводим два ряда:
I. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657….
II. 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 123, 322, 843, 2207, 5778, 15217…
Так как большинство чисел первой сотни являются ЧФ или их кратными, для обозначения золотого сечения, применялись «индикаторные» цифры, которые ЧФ не являются, но «сигнализируют» об их наличии в расчётах. Таковы 9, 23, 31, 37, 41, 43, 46, 97, 127, 137. О значении названных чисел смотрите: Л. Соколова «Применение принципов золотого сечения в кирпичах Ахсикента» (Молодой ученый,2015, № 9).
При изучении методов математического выражения золотого сечения в числах Фибоначчи (в дальнейшем ЧФ) нам удалось определить, что в древности и средневековье в Малой и Средней Азии в этих целях применялось около семи способов, в том числе действия, которые мы назвали «действия со смежными числами». При этом складываются и вычитаются числа из первого и второго ряда ЧФ. Например, для цифры 469 смежными цифрами первого ряда будут 377 и 610, второго — 322 и 843. Можно применить действия, как с основным числом, так и с его кратным.
Применялись также операции с числами 360, 720, сумма и кратное которого давало ЧФ или индикаторную цифру.
При рассмотрении пропорций Гур Эмира, указанных в труде М. С. Булатова, мы обратили внимание на погрешности, указанные автором и сделали попытку рассчитать их в соответствии с золотым сечением.
Исходным параметром в определении соразмерностей сооружения М. С. Булатов называет подкупольный квадрат: «Сторона (а) подкупольного квадрата без учёта выступающей панели равняется 1022 см. или 18 гязам при гязе, равном 56,8 см. По сторонам помещения располагаются ниши с пролётом, равным
а/√ 5=1022/√ 5+457.
Натурные размеры 458 см., т. е. около 8 гязов. Боковые простенки четверика равны (а– а/√ 5):2=(1022–1022/√ 5):2=283 или около 5 гязов.
Глубина ниши соответствует ширине простенка; следовательно, ниша в плане представляется прямоугольником, отношение сторон которого 457/283=1618. Высота подкупольного помещения — четверика соразмерна
а/√ 5:2=1022:1,118=1143. Натурные размеры 1148, погрешность 5 см.
Высота фриза четверика соразмерна а(√ 5:2–1)=1022:0,118=121 см. Натурные размеры 126 см., погрешность 5 см».
Рассмотрим приведённые данные, т. е. цифры а)1022, б)457, в)283, г)1118, д)1143 с точки зрения золотой пропорции. Числа Фибоначчи и индикаторные числа, их кратные выделим курсивом (При рассмотрении чисел берём только модули. Конечный 0 опускаем).
Прежде всего, мера длины гяз: 568= 8х71. Что же представляет собой число 71? На наш взгляд это 1618:2=809; √809 ≈284; 284:4=71. Таким образом, гяз опосредованно выражает золотое сечение.
Следующие числа:
a) 1022=73х14; 360–73=287=7х41.
b) 457–360=97.
c) 283; 360–283=77=7х11.
d) 1118; 1118:2=559; 559–360=199, кратное 17711 (17711=89х1199).
e) 1143; 1143:9=127 (1/2 дюйма).
Итак, во всех результатах присутствуют ЧФ и «индикаторные» числа.
Далее: расчётные размеры четверика 1143, натурные размеры четверика 1148, погрешность 5 см.
f) 1148:28=41
С учётом погрешности: 1148+5=1153. Рассматриваем 1153 по методу смежных чисел.
1153+987=2140=107х2 (54х107=5778 -ЧФ)
1153+1597=275=25 х11
1153+843=1996=4х499; 499:36=13861111…; 1386=126х11 или 66х21.
1153+2207=336=16х21
1153–987=166=2х83
1597–1153=444=12х37
1153–843=310 (31)
2207–1153=1054=527; 527:9≈585555…; 585=45х13
527–360=167; 167:9≈185=5х37
Натурные размеры высоты фриза четверика а)121 см., погрешность 5 см, т. е. реальные размеры б)126 см.
a) √121=11.
b) 126=6х21.
То же самое касается параметров основания восьмерика: 419 см. М. С. Булатов пишет: «Его высота (m) соразмерна высоте равностороннего треугольника с основанием, равным высоте восьмиугольника, т. е. H=m√3:2=210:1,732=364. Натурные размеры 361, погрешность 3 см».
364=28х13;
√361=19
Высота шестнадцатигранника 80 см, обмер 79 см, погрешность 1 см. Высота восьмигранника 419:5=84 см. Погрешность 5 см. Если, погрешность допущена в сторону увеличения, то:
84+5=89 –ЧФ
Мы произвели расчёт допущенных погрешностей в других сооружениях. В частности, расчётная ширина западного фасада мечети Биби-ханым — 2340 см., натурные размеры 2330 см. Погрешность 10 см. При этом
234=18х13;
233 является ЧФ.
Следовательно, погрешность не искажает расчёт, а, скорее, дополняет его, т. е. даже с учётом погрешностей, допущенных мастерами, отступлений от золотой пропорции нет.
Перейдём к рассмотрению золотой пропорции во внешнем куполе сооружения. С любого ракурса купола Гур Эмира отчётливо видна его асимметрия. Особенно ясно это видно на снимках конца XIX века:
Рис. 1.
К сожалению, математических данных о параметрах купола мы не нашли, поэтому рассчитали пропорции по современному фотоснимку, взяв за основу изображение на листе размером А-4:
Рис. 2.
Скорее всего, модулем купола является шпиль-навершие — кубба. В данной проекции модуль укладывается до нижней границы сталактитов 6 раз. Разделим изображение по центральной грани и обобщим данные в виде таблицы.
Таблица 1
|
|
Левая часть |
Кратные |
Правая часть |
Кратные |
|
|
1 |
325 |
13 |
275 |
11 |
325:275≈1,1818…=59 275:325≈846=18х47 |
|
2 |
490 |
49 |
420 |
21 |
49:42≈1,1666…=58=29 42:49≈85\17 |
|
3 |
555 |
15х37 |
495 |
11 |
555:495≈1,1212…\7\16 495:555≈89 |
|
4 |
585 |
45х13 |
535 |
107 (54х 107=5778) |
585:535≈1,09 535: 585≈91\7=21 |
|
5 |
585 |
45х13 |
535 |
107 |
|
|
6 |
580 |
29 |
535 |
107 |
580:535≈108 535: 580≈92=4х23 |
Становится ясным, что асимметрия купола мемориала Гур Эмир не является результатом недочётов при строительстве. Наоборот, поразительно мастерство инженеров изодчих, сумевших на огромной высоте так свести элементы купола, чтобы соблюсти принципы гармонии, отражённые взолотой пропорции.
Как известно, в 1909–1920 годы в Санкт-Петербурге построили соборную мечеть. Здание возводилось по проекту архитектора Н. В. Васильева при участии инженера С. С. Кричинского и архитектора А. И. фон Гогена. Васильев предлагал за образец взять мавзолей Гур-Эмир в Самарканде, что и было в выполнено, в результате чего купол мечети повторил силуэт купола мавзолея Гур-Эмир в Самарканде.
Однако на наш взгляд в куполе мечети, возведённой в Санкт-Петербурге, отсутствует та асимметрия, которая придаёт самаркандскому куполу неповторимое изящество и одновременно объёмность. Недаром Алишер Навои писал о куполе:
Тот свод — вершина всех земных чудес,
подобье свода вечного небес.
Что куполу небесному дано,
все в куполе земном отражено! [2]
Скорее всего, великий поэт знал о сокровенном замысле, ставшем причиной асимметрии купола Гур-Эмира и под подобьем небесного свода имел ввиду законы гармонии, с удивительным мастерством и героизмом воплощённые среднеазиатскими инженерами, строителями, ремесленниками в буквальном смысле слова под небесами.
Подводя итоги, можно сделать вывод об огромном объёме математических знаний инженеров, строителей Мавераннахра XV века.
Не менее обширным сводом знаний обладали и ремесленники. Возможно, при строительстве инженеры, зодчие и отделочники учитывали дополнительные параметры, которые могли получиться после завершения отделки стен и рассчитывали их таким образом, чтобы как инженерный замысел, так и окончательные размеры отвечали законам гармонии. Поэтому «погрешности», возможно, являются не ошибкой мастеров, аещё одним проявлением их знания, опыта, духовности идобросовестности.
Литература:
- Булатов М. С. Геометрическая гармонизация в архитектуре Средней Азии IX-XV вв. — М. 1988.
- http://www.samarkand-foto.ru/
