Библиографическое описание:

Расулов Т. Х., Рахмонов А. А., Турдиев Х. Х. Об одном свойстве уравнения Фаддеева для модельного трехчастичного дискретного оператора Шредингера // Молодой ученый. — 2015. — №9. — С. 26-29.

В работе рассматривается модельный дискретный оператор Шредингера  описывающий системы трех квантовых частиц, движущихся на одномерной решетке и взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Построен аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для собственных функций оператора .

Ключевые слова: дискретный оператор Шредингера, нелокальный потенциал, уравнение Фаддеева, операторное уравнение, определитель Фредгольма, класс Гильберта-Шмидта.

 

Исследованию существенного спектра непрерывных и дискретных операторов Шредингера посвящены многие работы (см. например [1,2] и [3,4], соответственно). При этом один из основных инструментов при изучении существенного и дискретного спектра многочастичного оператора Шредингера является аналог уравнения Фаддеева и его симметризованный вариант. Заметим, что потенциалы, рассматриваемые в работах [3,4] являются локальными, т. е. операторами умножения на функцию в координатном представлении.

В настоящей статье изучен модельный дискретный оператор Шредингера  описывающий системы трех квантовых частиц, движущихся на одномерной решетке и взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов [1,2]. Отметим, что для многочастичных гамильтонианов нелокальные потенциалы в импульсном представлении являются частично-интегральными операторами. Построен аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для собственных функций оператора .

Пусть  — -мерный тор с соответствующим отождествлением противоположных граней и гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) симметричных функций, определенных на

В гильбертовом пространстве  рассмотрим модельный дискретный оператор Шредингера  действующий по формуле

где  — оператор умножения на функцию  в :

,

a ,  — нелокальные операторы взаимодействия вида

, ,

.

Здесь  и  произвольные вещественные постоянные.

При этих предположениях оператор  является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .

Приведем несколько основных обозначений, которые будут применяться на работе. При каждом фиксированном  определим регулярные в области  функцию

,

где функции ,  определены следующим образом:

, , ,

а числа  и  определяются равенствами

, .

Пусть  — множество тех точек  для которых равенство  имеет место хотя бы для одной  и . Обозначим через  единичный оператор в  и положим

,

При каждом  вводим блочно-операторные матрицы (размера )  и  действующие в пространстве  по формулам

 и

где  — оператор умножения на функцию

 ,

а операторы  — интегральные операторы с ядрами переменная интегрирования)

  

 

, .

Заметим, что при каждом  интегральные операторы  принадлежат классу Гильберта-Шмидта, следовательно,  является компактным оператором.

Отметим, что при каждом  оператор  обратим, поэтому для таких  мы можем определить оператор вида

Следующая теорема устанавливает связь между собственными значениями операторов и

Теорема 1. Число  является собственным значением оператора  тогда и только тогда, когда оператор  имеет собственное значение, равное единице, и их кратности совпадают.

Доказательство. Пусть  собственное значение оператора  и  — соответствующая собственная функция. Тогда функция  удовлетворяет уравнению  или

 .                                                                   (1)

Так как , при всех  имеет место соотношение . Поэтому из уравнения (1) для  имеем равенство

                                           (2)

где

                                                                                    (3)

Подставляя выражение (2) для  в системе обозначений (3), получим, что система уравнений

или

;

;

;

.

или же матричное уравнение

                                                                                                             (4)

имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда уравнение (1) имеет нетривиальное решение и линейные подпространства, порожденные решениями уравнений (1) и (4), имеют одинаковые размерности.

При каждом  оператор  обратим, и следовательно, уравнение  т. е. уравнение  имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда уравнение (4) имеет нетривиальное решение. Здесь также линейные подпространства, порожденные решениями уравнений (4) и  имеют одинаковые размерности. Теорема доказана.

Замечание. Отметим, что операторное уравнение  обычно называется аналогом уравнения Фаддеева для собственных функций оператора .

Один из важных применений уравнения Фаддеева  для собственных функций оператора  можно видит при доказательстве включение , см. [4]. Ещё другое важное применение симметричного варианта этого уравнения можно наблюдать при доказательстве конечности или бесконечности дискретного спектра оператора .

 

Литература:

 

1.         М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов, Москва: Мир, 1982 г.

2.         Г. М. Жислин. Исследование спектра оператора Шредингера для системы многих частиц // Труды Московского математического общества. — 1960, — V. 9, — C. 81–120.

3.         S. Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics // Ann. Henri Poincare. — 2004, — V. 5, — P. 743–772.

4.         С. Н. Лакаев, М. Э. Муминов. Существенный и дискретный спектр трехчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика, — 2003, — Т. 135, — № 3, С. 478–503.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle