Библиографическое описание:

Емельянов А. А., Козлов А. М., Бесклеткин В. В., Авдеев А. С., Чернов М. В., Габзалилов Э. Ф., Фуртиков К. А., Реутов А. Я. Пространственные векторы в асинхронном двигателе // Молодой ученый. — 2015. — №8. — С. 28-45.

Целью данной работы является вывод математического аппарата, описывающего процессы в асинхронном двигателе, в доступной для понимания студентами форме. Открытия сделанные учеными в 1940–50 г.г. при исследовании асинхронных двигателей оказывают потрясающие воздействия. В данной работе сделана попытка реконструкции хода исследовательской мысли ученых и передачи студентам специфической красоты в движениях математических формул. Пройти школу на материалах такого наследия является важнейшим условием формирования будущих исследователей.

Вначале, на примере мгновенных трехфазных напряжений в косинусоидальной форме сдвинутых во времени на 120° с помощью формулы Эйлера (1707…1783 г.г.) преобразовываются в виде степенных функций. Переход к степенным функциям позволяет производить замену произведений множества тригонометрических формул в простые алгебраические суммы выражений находящихся в степени. Далее, используя известную формулу суммы от произведения мгновенных значений напряжений по фазам на соответствующие единичные векторы переходим к пространственному вектору напряжения статора вращающемуся с циклической частотой питающего напряжения (в данной работе рассматривается двухполюсный двигатель). Аналогично производится переход к пространственным токам статорных и роторных величин, причем фазовые сдвиги токов естественно отразятся в пространственном расположении векторов. В потокосцеплениях фаз статора и ротора показаны взаимосвязи от угла поворота магнитных осей. Перед взглядом студентов предстает множество уравнений с переменными коэффициентами. При переходе к пространственным векторам происходит существенное сокращение числа уравнений. Производные от угла поворота магнитных осей дают скорость вращения ротора.

1. Преобразование мгновенных значений напряжений в степенные функции

Мгновенные значения трехфазных напряжений описываются следующими зависимостями:

                                                               (1)

где - циклическая частота напряжения, рад/c.

На рис.1 показана связь мгновенных значений напряжений  с векторами  во временной системе координат, как их проекции на действительную ось . Работа в векторной форме существенно ускоряет процесс исследования, причем в любой момент времени легко перейти к косинусоидальной форме мгновенных значений. Выполнить, например, произведение множества косинусоид (синусоид) представляет довольно трудоемкую задачу, а в векторной форме произвести перемножение значительно легче.

Рис. 1. Связь мгновенных значений напряжений с векторами соответствующими во временной системе координат

 

Не меньшую роль в ускорении процессов математических преобразований играет представление с помощью формулы Эйлера мгновенных значений в степенные функции.

Выразим систему уравнений через степенные функции:

Итак, система уравнений в степенной форме имеет следующий вид:

                                                                           (2)

2. Переход от мгновенных значений напряжений к пространственному вектору

Пространственный вектор напряжения  определяется по следующей зависимости:

                                                                                    

где - единичные пространственные векторы.

                                                                (4)

Подставив в уравнение мгновенные значения напряжений в степенной форме  и единичные пространственные векторы получим:

Геометрический смысл преобразования мгновенных значений напряжений в пространственный вектор показан на рис.2 (в электронном варианте все векторы и их проекции даны в цветном варианте).

Последовательность построений: во временной системе координат определяются мгновенные значения векторов на действительную ось , далее они переносятся на действительную ось в пространственную систему координат в виде отрезков. Затем осуществляется разворот этих отрезков с помощью единичных пространственных векторов. Далее производиться геометрическая сумма , и наконец, умножив полученный вектор на множитель  получим искомый вектор .


 

 

Рис. 2. Геометрический смысл построения пространственного вектора  по составляющим  и

.


3. Основные уравнения асинхронного двигателя в фазных переменных статора и ротора

Обобщенная асинхронная машина показана на рис. 3.

Рис.3. Обобщённая асинхронная машина

 

Rs, ls, lms — параметры статорной обмотки,

Rr, lr, lmr — параметры роторной обмотки,

|lmsr|=|lmrs|=|lm|–коэффициенты взаимоиндуктивности при совпадении магнитных осей статора и ротора .

Баланс фазных напряжений статорных и роторных цепей:

                     

Потокосцепление фаз статорных и роторных цепей с учетом взаимоиндуктивностей с переменными коэффициентами, зависящими от расположения магнитных осей ротора и статора

4. Преобразование балансов напряжений в фазных переменных в соответствующий баланс пространственных векторов.

Умножив обе части уравненияна единичный пространственный вектор , уравнения и — соответственно на  и . Далее, просуммируем уравнения:

В векторной форме баланс напряжений для статора:

                                                                                                    

Аналогично, произведем преобразование баланса напряжений для роторных фазных переменных:

В векторной форме баланс напряжений для ротора:

                                                                                                    

5. Вектор потокосцепления статора АД

Пространственный вектор потокосцепления статора:

,                                                                    

где  — мгновенные значения потокосцеплений статора;

, ,  — единичные пространственные векторы.

Уравнения ÷  представим по трем столбцам соответствующих индуктивностей:

Первое уравнение умножим на единичный пространственный вектор , второе — на , и последнее уравнение  — на . С целью уменьшения громоздкости получаемых выражений вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем сумму в соответствии с формулой .

Переведем мгновенные значения токов статора и ротора с фазными переменными в степенные функции:

Аналогично, представим  и в степенной форме:

Или иначе, в удобной для запоминания форме:

Для первого столбца уравнение  определим пространственный вектор :

Потокосцепление можно выразить в следующей форме:

Для второго столбца:

Наконец, для третьего столбца:

,

где

где

Обозначим; ;; .

Окончательно, вектор потокосцепления статора [1]:

                                                                                          

6. Вектор потокосцепления ротора АД

,                                                                             

Уравнения (14) ÷ (16) представим по трём столбцам соответствующих индуктивностей:

Первое уравнение умножим на , второе — на , третье — на . Вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем полную сумму в соответствии с формулой (22).

Пространственный вектор для первого столбца :

Пространственный вектор для второго столбца системы уравнений (23):

Пространственный вектор для третьего столбца (23):

,

 

Обозначим ; ; ; .

Окончательно, вектор потокосцепления ротора:

 

                                                                                            (24)

7. Векторные уравнения АД в различных системах координат

Основные уравнения асинхронного двигателя в векторной форме имеют вид:

Сделаем существенное замечание по полученным обобщенным векторам. В уравнении (25) векторы , ,  записаны в неподвижной системе координат статора, но в некоторых задачах их необходимо привести к другим системам координат. Рассмотрим схему преобразования одного из векторов, например,  из одной системы координат в другую. Поясним это преобразование на следующем рис.4.

Описание: C:\Users\Кирилл\Desktop\1.png

Рис.4. Система координат S.R.K.

 

– неподвижная система координат статора ();  — система координат, связанная с ротором,

- угол сдвига системы координат R по отношению к S, причем .

 — произвольная система координат,  — угол сдвига к неподвижной системе()

 — пространственный вектор напряжения статора.

 и  — этот же пространственный вектор напряжения статора в системах координат ротора  и  соответственно.

 

Связь между векторами в разных системах координат:

Система уравнений (25) — (28) примет следующий вид:

,                                                                                              (29)

где , ,  — записаны в не подвижной системе координат статора .

                                                                                             (30)

где , ,  — пространственные векторы роторных величин в роторной системе координат R.

,                                                                                  (31)

где , , — векторы потокосцепления и ток статора в неподвижной системе координат S, а  — в роторной системе координат сдвинутой в неподвижной системе на угол .

                                                                                (32)

где , , — векторы потокосцепления и ток ротора в роторной системе координат R, а  — в неподвижной системе координат .

7.1 Приведение векторных уравнений к неподвижной системе координат статора

Уравнение (20) уже записано в статорной системе координат, поэтому показываем процесс приведения следующего уравнения. Для этого умножим обе части уравнение (21) на :

.

В соответствии с вышерассмотренной схемой приведения векторов из одной системы координат в другую, получим:

 и .

Выражение  преобразуем к следующему виду:

Окончательно .

В выражении  представим:  тогда

.

В уравнении (27) умножим обе части на :

,

.

Окончательно уравнения (24) ÷ (27) в статорной системе координат примет следующий вид:

 

Опуская индекс «статорная система координат», получим:

                                                                    (33)

7.2 Приведение уравнений к роторной системе координат

Умножим обе части уравнение (24) на :

Уравнение (25) перепишем без изменений, т. к. оно уже записано в роторной системе координат:

Уравнение (26) умножим обе части на :

,

В уравнении (27) выразим , тогда

,

Окончательно в роторной системе координат уравнения (24) ÷ (27)имеют следующий вид:

Опуская индекс «роторная система координат», получим:

                                                                         (34)

7.3 Приведение уравнений к системе координат вращающейся с произвольной скоростью

Уравнение (24) умножим на  и сразу выразим :

,

,

.

Уравнение (25) умножим на :

,

.

Уравнение (26) умножим на , тогда

,т. к. , то

.

Уравнение(27) умножим на , тогда

.

Для системы координат вращающейся с произвольной скоростью  система уравнений:

Опуская индекс «произвольная система координат», получим

                                                               (35)

 

Литература:

 

1.                     Ковач К. П., Рац И. Переходные процессы в машинах переменного тока/Пер. с нем. М.Л.: Госэнергоиздат, 1963. 735 с.: ил.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle