Библиографическое описание:

Нашивочников В. В., Гарькина И. А. Классификация кинетических процессов второго порядка в дисперсных системах // Молодой ученый. — 2015. — №7. — С. 182-185.

Основные виды кинетических процессов (набор прочности; изменение модуля упругости; контракция и усадка; нарастание внутренних напряжений; тепловыделение; изменение водопоглощения, водостойкости и химической стойкости и др.) формально описываются идентичными кинетическими уравнениями, а именно, решениями задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка [1…3]. Правда, как показывает практика, рассмотренные кинетические модели не всегда можно использовать для описания процессов в полидисперсных композиционных материалах. При их описании можно воспользоваться методами ретроспективной идентификации процессов по данным нормального функционирования (по синхронным измерениям фазовых координат в процессе нормальной эксплуатации).

Кинетические процессы второго порядка (увеличение порядка, не меняя сути, лишь усложняет техническую реализацию) можно описать уравнением вида:

,   .                                  (1)

Если хотя бы одно из чисел  не равно нулю, то матрицу B можно записать виде . Действительно, при ,  обозначим  снова через u;если , , то обозначим  через u, перенумеруем уравнения и координаты  системы. Каноническим видом матрицы В будет вектор-столбец . Изменив масштаб, коэффициент усиления всегда можно привести к 1. Если ни одно из чисел  не является нулем, то каноническое по управлению представление можно получить, используя невырожденное линейное преобразование с матрицей С:

,                                                                          (2)

(из не вырожденности матрицы С следует наблюдаемость системы).

Вид матрицы  зависит от выбора матрицы С. В частности: =, если

. Произведя масштабирование u, получим канонический вид . При выборе матрицы С возможен некоторый произвол (два свободных параметра). В общем случае каноническое по управлению представление системы (1) будет иметь вид

,, ,                                                   (3)

Собственные числа матриц А и D одинаковы (следует из общей теории линейных операторов: матрицы А и D — подобны). Здесь

,;.     (4)

            Возможны три принципиально различных случая.

1. - вещественные собственные числа матрицы А и им соответствуют два линейно независимых вектора (в случае имеем ).

Пусть ,  — собственные векторы; .

Заменой  система (1) приведется к виду

,.                        (5)

Возможны случаи:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6)

(учтена возможность перенумерации ).

2. Если  и  преобразование Q определится через собственный вектор  и присоединенный : . При этом матрица (основная) системы преобразуется к виду .

Качественно различных систем здесь три: 7) ; 8) ; 9) ; 6) и 9) отличаются структурой матрицы .

3. - комплексно сопряженные. Систему (1) можно записать в виде (5), но уже в комплексифицированном пространстве.

Качественно различных систем здесь три: 10) ; 11) ; 12) .

Если  — вещественные (если , то должно быть ), то:

1)         эквивалентно, (, );

2)         эквивалентно, ;

3)         эквивалентно, ;

4)         эквивалентно, ;

5)         эквивалентно, ;

6)         эквивалентно, .

При ;  :

7)  эквивалентно ; 8)  эквивалентно ; 9)  эквивалентно .

Наконец, если  — комплексно-сопряженные, , то:

10)  эквивалентно ; 11) эквивалентно ; 12) эквивалентно .

Приведенная классификация систем по матрице А хоть и грубая, но связана с устойчивостью и неустойчивостью нулевого решения (принципиальная и важная классификация) системы .

Не лишне указать алгоритм построения оптимальной матрицы обратной связи для системы уравнений второго порядка (аналогичной будет и общая схема построения таких матриц для произвольных конечномерных систем; технические трудности при этом, естественно, возрастают). После преобразования, канонического по управлению, система общего вида преобразуется к виду:

;

;; ;; ,

При : .

Параметры  и  оптимальной матрицы обратной связи  должны выбираться из условий минимума функционала () (собственные числа матрицы  подставляются в функционал Ф [1], а затем p и q выбираются из условия минимума Ф). Имеем: , ;

 — собственные числа матрицы  ( и  — след и определитель матрицы А совпадают со следом  и определителем  матрицы D, как инварианты при невырожденных преобразованиях координат).

Пришли к задаче минимизации функции  при ограничениях на координаты  и энергию управляющих воздействий :

, .                                                                                                              (6)

При выборе р и q величины  и предполагаются наименьшими. Задача легко решается для систем, если коэффициент  по абсолютной величине мал по сравнению с . Алгоритм минимизации функции  при условии (6) значительно упрощается:  минимизируется при ; если при выбранном q значение  можно сделать равным нулю, то задача решена, если нет, то выбрав шаг , следует минимизировать , осуществляя выбор q для значений ; k=0,1,2,…, ().

Приведенные методики успешно использовались при разработке композиционных материалов специального назначения [4,5].

 

Литература:

 

1.         A.Danilov, I.Garkina. Systems approach to the modeling and synthesis of building materials Contemporary Engineering Sciences, Vol. 8, 2015, no. 5, 219–225. http://dx.doi.org /10. 12988/ces.2015.517.

2.         I.Garkina. Modeling of kinetic processes in composite materials. Contemporary Engineering Sciences, Vol. 8, 2015, no. 10, 421–425. http://dx.doi.org/10.12988/ces.2015.5258.

3.         Данилов А. М., Гарькина И. А., Сорокин Д. С. Логико-методологические модели при синтезе композиционных материалов // Региональная архитектура и строительство. — 2015. — № 1(22). — С.23–28.

4.         Данилов А. М., Гарькина И. А., Дулатов Р. Л. Ретроспективная идентификация сложных систем // Региональная архитектура и строительство. — 2015. — № 1(22). –С.130 -136.

5.         Тюкалов Д. Е., Данилов А. М. Формирование критериев динамического подобия модели реальному объекту / Молодой ученый. — 2015. — № 4(84). — С.278–280.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle