Библиографическое описание:
Ганиев, М. М. Модель Фридрихса и ее спектр / М. М. Ганиев. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 5 (139). — С. 551-553. — URL: https://moluch.ru/archive/139/38634/ (дата обращения: 26.04.2024).
Как известно, некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектра модели Фридрихса [1–3].
Введем оператор 
модели Фридрихса, действующий в 
, как
,
где операторы 
и 
определяются по правилам
,
.
Здесь 
–положительное действительное число, а функция 
имеет вид
,
.
При этих предположениях оператор
является ограниченным и самосопряженным в
.
В настоящей работе изучаем некоторые спектральные свойства модели Фридрихса .
Возмущение 
оператора 
является самосопряженным одномерным оператором. Из известной теоремы Вейля [4] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр 
оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что
,
где числа 
и 
определяются равенствами
,
.
Следовательно,
.
Пусть 
–комплексная плоскость. Для любого 
определим аналитическую функцию 
(детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором ):
.
Теперь установим связь между собственными значениями оператора
и нулями функции
.
Теорема 1. При каждом фиксированном оператор имеет собственное значение 
тогда и только тогда, когда 
.
Доказательство. Пусть число есть собственное значение оператора , а 
–соответствующая собственная функция. Тогда функция 
удовлетворяет уравнению
. (1)
Заметим, что для любых 
и 
имеет место соотношение 
. Тогда из уравнения (1) для имеем
, (2)
где
. (3)
Подставляя выражение (2) для в равенства (3), получим, что уравнение (1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда
,
т. е. когда
.
Теорема 1 доказана.
Из теоремы 1 вытекает следующее:
.
Из определения функции видно, что при всех 
имеет место неравенство 
. В силу теоремы 1 это означает, что для любого оператор не имеет собственных значений в интервале 
. Из монотонности функции в интервале 
имеем, что для любого оператор имеет не более одного собственного значения в интервале . Если 
при некотором 
, то оператор 
имеет единственное простое собственное значение в интервале 
.
Литература:
-
Л. Д. Фаддеев. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Труды мат. инс-та АН СССР, Т. 73, М.: Наука, 1964, С. 292–313.
-
Р. А. Минлос, Я. Г. Синай. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. ТМФ, 1979, Т. 2, № 2. С. 230–243.
-
Е. М. Дынкин, С. Н. Набако, С. И. Яковлев. Границы конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса. Алгебра и анализ. Т. 3, № 2, 1991, С. 77–90.
-
М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.
Основные термины (генерируются автоматически): оператор, собственное значение, собственное значение оператора, существенный спектр оператора.
Похожие статьи
Описывается его существенный и дискретный спектры. Найдены условия существования собственных значений.
Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.
Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Теорема 2. Если один из операторов или имеет собственное значение тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на.
При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .
Лемма 1. Оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда . Из леммы 1 вытекает, что , где.
Получен аналог уравнения Вайнберга для собственных функций оператора . Ключевые слова: модельный оператор, нелокальный потенциал, уравнение Вайнберга, собственное значение и собственная функция, существенный спектр.
Обозначим через и соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Следующая лемма устанавливает связь между собственными значениями оператора и нулями функции .
При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .
В ходе доказательства теоремы 1 показали, что если оператор имеет нулевое собственное значение, вектор–функция , где , а определен по формуле (2), удовлетворяет уравнению и .
Описывается множества собственных значений этого оператора и задача состоит в обосновании этих описаний.
сохранении существенного спектра при возмущениях конечнего ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром...
Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .
Множество называется существенным спектром оператора .
Оператор , имеет единственное простое собственное значение равное . Теперь сформулируем основной результат работы.
В работе доказано, что существенный спектр трехчастичного дискретного оператора Шредингера состоит из объединения не
в том случае, когда соответствующий двухчастичный дискретный оператор Шредингера имеет бесконечное число собственных значений.
Описывается его существенный и дискретный спектры. Найдены условия существования собственных значений.
Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть — соответствующая собственная вектор-функция.
Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Теорема 2. Если один из операторов или имеет собственное значение тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на.
При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .
Лемма 1. Оператор имеет собственное значение тогда и только тогда, когда . Из леммы 1 вытекает, что , где.
Получен аналог уравнения Вайнберга для собственных функций оператора . Ключевые слова: модельный оператор, нелокальный потенциал, уравнение Вайнберга, собственное значение и собственная функция, существенный спектр.
Обозначим через и соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Следующая лемма устанавливает связь между собственными значениями оператора и нулями функции .
При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .
В ходе доказательства теоремы 1 показали, что если оператор имеет нулевое собственное значение, вектор–функция , где , а определен по формуле (2), удовлетворяет уравнению и .
Описывается множества собственных значений этого оператора и задача состоит в обосновании этих описаний.
сохранении существенного спектра при возмущениях конечнего ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром...
Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .
Множество называется существенным спектром оператора .
Оператор , имеет единственное простое собственное значение равное . Теперь сформулируем основной результат работы.
В работе доказано, что существенный спектр трехчастичного дискретного оператора Шредингера состоит из объединения не
в том случае, когда соответствующий двухчастичный дискретный оператор Шредингера имеет бесконечное число собственных значений.
