Библиографическое описание:

Худаяров С. С. Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной блочно-операторной матрице // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 66-67.



Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела, теории химических реакции, магнито-гидродинамике, квантовой механике и т. д. Недавно в монографии [1] подробно изучены абстрактные свойства ограниченных и неограниченных блочно-операторных матриц и их применения в некоторых задачах математической физики.

В настоящей работе рассматривается блочно операторная матрица , действующая в так называемом двухчастичном обрезанном подпространстве Фоковского пространства. Изучен нули определителя Фредгольма соответствующей оператору .

Отметим, что оператор можно рассмотреть как одномерное возмущение оператора , рассмотренного в работах [2, 3], где изучены пороговые явления для оператора .

Пусть — компактное связанное множество, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство.

Обозначим

Гильбертово пространство называется двухчастичным обрезанным подпространством Фоковского пространства.

Рассмотрим блочно-операторную матрицу действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как

, (1)

где матричные элементы определяются по формулам

Здесь — фиксированное вещественное число, — вещественнозначные непрерывные (ненулевые) функции на . Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования.

В современной математической физике оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения, см. [4].

Легко можно проверить, что оператор , определенный операторной матрицей (1) и действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным.

Обозначим через и , соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Пусть оператор действует в как

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что

где числа и определяются равенствами

Из последних двух фактов следует, что

Далее, для формулировки результата работы вводим операторы

и .

Из определения операторов видно, что они имеют более простую структуру чем .

Определим регулярные в функции (определитель Фредгольма, ассоциированный с оператором соответственно)

.

Теперь установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции Верна следующая

Теорема 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Теорема 2.Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Литература:

  1. C. Tretter. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. ImperialCollegePress, 2008.
  2. Т. Х. Расулов. О существовании виртуального уровня обобщенной модели Фридрихса. Узб. Матем. Журнал. 2007, № 4, стр. 56–63.
  3. Т. Х. Расулов. О собственных значениях обобщенной модели Фридрихса. Узбекский математический журнал, 2006, № 4, стр. 61–68.
  4. К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle