Теорема Вейля и ее применение | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 20 марта, печатный экземпляр отправим 24 марта.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №6 (140) февраль 2017 г.

Дата публикации: 14.02.2017

Статья просмотрена: 429 раз

Библиографическое описание:

Ражабова, Г. С. Теорема Вейля и ее применение / Г. С. Ражабова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 6 (140). — С. 23-25. — URL: https://moluch.ru/archive/140/39276/ (дата обращения: 06.03.2021).



Пусть гильбертово пространство и линейный ограниченный самосопряженный оператор. Множество всех изолированных точек спектра самосопряженного оператора , за исключением собственных значений бесконечной кратности оператора , будем называть дискретным спектром оператора и будем его обозначать через . Множество назывется существенным спектром оператора .

Теорема Вейля [1]. Пусть линейные ограниченные самосопряженные операторы и конечномерный оператор. Тогда имеет место равенство , т. е. существенный спектр оператора при конечномерных возмущениях сохраняется.

Первое применение теоремы Вейля.

Введем оператор модели Фридрихса, действующий в , как

,

где операторы и определяются по правилам

,

.

Здесь и вещественнозначные непрерывные функции на .

Простые вычисления показывают, что

и

.

Таким образом, возмущение оператора является самосопряженным одномерным оператором. Из теоремы Вейля вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что

,

где числа и определяются равенствами

, .

Следовательно,

.

Второе применение теоремы Вейля.

Пусть - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство. Обозначим Рассмотрим ограниченную самосопряженную обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как

,

где матричные элементы определяются по формулам

,

.

Здесь — фиксированное вещественное число, — вещественнозначные непрерывные (ненулевые) функции на .

Мы знаем, что для любых элементов

,

их скалярное произведение определяется по равенству:

,

где

, .

С помощью этой формулы можно показать, что .

Положим

.

Покажем, что оператор возмущения оператора является самосопряженным оператором ранга 2. По определению оператора имеем, что имеет вид:

.

Область значений оператора совпадает с множеством

.

Очевидно, что размерность этого подпространство равна 2.

Следовательно, опять из теоремы Вейля 1 вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Из одномерности пространства следует, что

.

Поэтому

.

Аналогичные модели изучены в работах [2, 3].

Литература:

  1. М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.
  2. Т. Х. Расулов. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. Теоретическая и математическая физика. 163:1 (2010), 34–44.
  3. Т. Х. Расулов. Исследование существенного спектра одного матричного оператора. Теоретическая и математическая физика. 164:1 (2010), 62–77.
Основные термины (генерируются автоматически): существенный спектр оператора, гильбертово пространство, теорема.


Похожие статьи

Теорема. Для существенного спектра оператора имеет место...

Рассмотрим трехчастичный модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве , по формуле.

. Следующая теорема описывает местоположение существенного спектра оператора .

Условия существования собственных значений одной операторной...

. Оператор возмущения оператора является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Теорема. Существенный спектр оператора совпадает...

. Основной результат настоящей работы является следующая теорема.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, существенный спектр оператора, оператор, обобщенная модель, блочно-операторная матрица.

Существенный спектр дополнения Шура одной операторной...

( сопряженный оператор к ). Пространство представим в виде ортогональной суммы гильбертовых пространств и . Положим.

Следующая теорема описывает существенный спектр оператора .

Теорема 1. Оператор Н имеет чисто существенный спектр и для...

Можно проверить, что в этом случае оператор Н, является ограниченным и самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема. Теорема 1. Оператор Н имеет чисто существенный спектр и...

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

. Наряду с оператором , рассмотрим еще оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле.

Множество называется существенным спектром оператора . Следующая лемма описывает спектра оператора .

Описание спектра одного интегрального оператора...

В настоящей работе изучается интегральный оператор, действующий в гильбертовом пространстве функций квадратично интегрируемых по интервалу с весом Спектр этого оператора описан через спектр оператора типа Винера-Хопфа.

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Теорема 1.Число является бесконечнократным собственным значением оператора , а число является его простым собственным значением.

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Похожие статьи

Теорема. Для существенного спектра оператора имеет место...

Рассмотрим трехчастичный модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве , по формуле.

. Следующая теорема описывает местоположение существенного спектра оператора .

Условия существования собственных значений одной операторной...

. Оператор возмущения оператора является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Теорема. Существенный спектр оператора совпадает...

. Основной результат настоящей работы является следующая теорема.

Основные термины (генерируются автоматически): гильбертово пространство, существенный спектр оператора, оператор, обобщенная модель, блочно-операторная матрица.

Существенный спектр дополнения Шура одной операторной...

( сопряженный оператор к ). Пространство представим в виде ортогональной суммы гильбертовых пространств и . Положим.

Следующая теорема описывает существенный спектр оператора .

Теорема 1. Оператор Н имеет чисто существенный спектр и для...

Можно проверить, что в этом случае оператор Н, является ограниченным и самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема. Теорема 1. Оператор Н имеет чисто существенный спектр и...

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

. Наряду с оператором , рассмотрим еще оператор , действующий в гильбертовом пространстве по формуле.

Множество называется существенным спектром оператора . Следующая лемма описывает спектра оператора .

Описание спектра одного интегрального оператора...

В настоящей работе изучается интегральный оператор, действующий в гильбертовом пространстве функций квадратично интегрируемых по интервалу с весом Спектр этого оператора описан через спектр оператора типа Винера-Хопфа.

Нули определителя Фредгольма, соответствующие одной...

Оператор возмущения оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Теорема 1.Число является бесконечнократным собственным значением оператора , а число является его простым собственным значением.

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве.

Задать вопрос