О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №9 (89) май-1 2015 г.

Дата публикации: 05.05.2015

Статья просмотрена: 11 раз

Библиографическое описание:

Расулов Т. Х., Бахронов Б. И. О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса // Молодой ученый. — 2015. — №9. — С. 17-20. — URL https://moluch.ru/archive/89/18368/ (дата обращения: 16.10.2018).

Модельный оператор, ассоциированный с системой трех частиц на d-мерной решетке рассматривается как тензорная сумма моделей Фридрихса. Найден явный вид существенного и дискретного спектра.

Ключевые слова: модельный оператор, тензорная сумма, модель Фридрихса, определитель Фредгольма, существенный и дискретные спектры.

 

Пусть  и  бесконечномерные гильбертовы пространства и  их тензорное произведение. Рассмотрим линейные ограниченные самосопряженные операторы  и , действующие в  и , соответственно. Обозначим через  тензорное произведение операторов  и . Оператор  также является линейным ограниченным самосопряженным оператором, действующим в гильбертовом пространстве . Положим  где  и  — тождественные операторы в  и , соответственно. Оператор  мы будем называть тензорной суммой  и , и будем обозначать через . Оператор  также является линейным ограниченным самосопряженным оператором, действующим в гильбертовом пространстве . Для спектра оператора  имеет место равенства [1]

.

Очевидно, что если  и  то .

В моделях физики твердого тела [2,3], а также решетчатой теории поля [4,5] возникают так называемые дискретные операторы Шредингера, являющиеся решетчатым аналогом обычного оператора Шредингера в непрерывном пространстве. Все гамильтонианы этих моделей коммутируют с группой трансляций на решетке. Однако, большое количество интересных задач в физики твердого тела связаны с неидеальными кристаллами, трансляционная инвариантность которых нарушена примесями или дефектами, т. е. один или конечное число узлов решетки оказываются выделенными.

Исследование спектров операторов Шредингера является наиболее интенсивно изучаемым объектом в теории операторов. Одним из важных вопросов в спектральном анализе таких операторов является изучение конечности числа собственных значений, лежащих вне существенного спектра.

В работе [6] изучены спектральные свойства решетчатого гамильтониана  физической системы, состоящей из двух свободных электронов и одной примеси на решетке. Гамильтониан  в импульсном представлении действует в тензорном произведении  гильбертово пространства , где  — -мерный тор, и он представляется в виде , где  — оператор умножения на функцию  (как невозмущенный оператор), а оператор  (т. е. некомпактное возмущение) действует по формуле

.

Здесь  — аналитическая функция на  и , а  — дельта функция Дирака.

В настоящей работе рассмотрим специальный случай:

.

Данная работа посвящена изучению существенного и дискретного спектров операторов  в рассматриваемом специальным случае. С помощью тензорной структуры изучен спектр оператора .

Пусть  — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых симметричных (комплекснозначных) функций, определенньх на . В гильбертовом пространстве  рассмотрим гамильтониан , действующий по формуле

.

При этом ;  и  — вещественнозначные непрерывные функции на  В этих предположениях оператор  является ограниченным и самосопряженным в .

Наряду с оператором , рассмотрим еще оператор  действующий в гильбертовом пространстве  по формуле , где

, , .

Из определения операторов  и  получим, что оператор  можно представит как тензорная сумма  Здесь  означает тождественный оператор в .

В данной работе будем изучать спектральные свойства оператора  с помощью тензорной суммы операторов.

Оператор возмущения  оператора  является самосопряженным оператором ранга не более, чем . Из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр  оператора  совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что , где числа  и  определяются равенствами

.

Из последних двух фактов следует, что .

Определим регулярные в области  функции

  

где

.

Видно, что  при всех .

Установим связь между собственными значениями оператора  и нулями функции

Лемма 1. Число  является собственным значением оператора  тогда и только тогда, когда

Доказательство. Пусть число  есть собственное значение оператора ,  — соответствующая собственная функция. Тогда функция  удовлетворяет уравнению

.                                                                    (1)

Заметим, что для любых  имеет место соотношение  Тогда из уравнения (1) для  имеем

,                                                                                            (2)

где

.                                                                                       (3)

Подставляя выражение (2) для  в равенства (3), получим, что уравнение (1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда система  линейных уравнений с  неизвестными

имеют ненулевое решение , т. е. когда  где - декартова -ная степень множества  Лемма 1 доказана.

Из леммы 1 вытекает, что имеет место равенство

.

Следовательно, функция  является определителем Фредгольма, ассоциированным с оператором .

Для любого  и ограниченного самосопряженного оператора , действующего в гильбертовом пространстве  обозначим через  такое подпространство, что  для любого  и положим  Число равно бесконечности, если  и если число  конечно, то оно равно числу собственных значений оператора  (с учетом кратности), меньших чем .

Следующая лемма описывает число и местонахождение собственных значений оператора

Лемма 2. Оператор  может иметь не более чем п собственных значений (с учетом кратности), лежащих левее  и не имеет собственных значений, лежащих правее .

Доказательство. Так как  является -мерным оператором, в силу теоремы 9.3.3 из книги [7] имеем

,

.

Учитывая равенство , получим, что . Следовательно,

Из  следует, что при всех  и  имеет место cоотношение

.

Это означает, что оператор  не имеет собственных значений, лежащих правее  т. е. . Лемма 2 доказана.

Теперь сформулируем основной результат работы.

Теорема 1. а) Если , то .

б) Пусть . Предположим, что . Тогда имеет место равенства

.

Доказательство. Как отметили выше из определения операторов  и  получим, что оператор  можно представит как тензорная сумма . Поэтому для спектра оператора  имеем

.                                                (4)

Если , и следовательно, , то .

Пусть теперь. По предположению . Теперь соотношение (4) завершает доказательство теоремы 1.

Из утверждения б) теоремы 1 следует, что множество  представляет собой объединение не более чем  отрезков, а число собственных значений (с учетом кратности) не превосходит чем , т. е. .

 

Литература:

 

1.      М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т. 4. Анализ операторов, М.: Мир. 1982.

2.      D. C. Mattis. The few-body problem on lattice // Rev.Modern Phys., — 1986, — V. 58, P. 361–379.

3.      A. I. Mogilner. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schroedinger operators: problems and results // Advances in Sov. Math., — 1991, — V. 5, P. 139–194.

4.      В. А. Малышев, Р. А. Минлос. Кластеpные опеpатоpы // Тpуды семинаpа им. И. Г. Петpовского. — 1983, — Вып. 9, С. 63–80.

5.      С. Н. Лакаев, Р. А. Минлос. О связанных состояниях кластерного оператора. Теоретическая и математическая физика, — 1979, — Т. 39, С. 83–92.

6.      Ю. Х. Эшкабилов. Об одном некомпактном возмущении в непрерывном спектре оператора умножения на функцию // Узб. матем. журнал, — 2003, — № 1, С. 81–88.

7.      М. Ш. Бирман, М. З. Саломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Издательство ЛГУ, Ленинград, 1980.

Основные термины (генерируются автоматически): оператор, гильбертово пространство, собственное значение оператора, тензорная сумма, учет кратности, существенный спектр, спектр оператора, число, линейный ограниченный самосопряженный оператор, дискретный спектр.


Похожие статьи

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

оператор, гильбертово пространство, дискретный спектр, тензорная сумма, линейный ограниченный самосопряженный оператор, место равенства, модельный оператор, спектр оператора...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972. В. А. Какичев, Н. В. Коваленко.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве , причем.

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972. 2. В. А. Какичев, Н. В. Коваленко.

Теорема Вейля и ее применение | Статья в журнале...

Пусть гильбертово пространство и линейный ограниченный самосопряженный оператор. Множество всех изолированных точек спектра самосопряженного оператора , за исключением собственных значений бесконечной кратности оператора...

Условия существования собственных значений одной...

В математической физике оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения. Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса...

Оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через и соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Теорема 2.Число является собственным значением оператора...

гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, существенный спектр, операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Обычно оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

существенный спектр оператора, существенный спектр, ветвь, гильбертово пространство, свойство монотонности интеграла, модельный оператор, дискретный спектр, дискретный оператор, вещественное число...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

О спектре тензорной суммы интегральных операторов

оператор, гильбертово пространство, дискретный спектр, тензорная сумма, линейный ограниченный самосопряженный оператор, место равенства, модельный оператор, спектр оператора...

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве .

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972. В. А. Какичев, Н. В. Коваленко.

Спектр и резольвента одного частично интегрального оператора

Тогда оператор является ограниченным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве , причем.

Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972. 2. В. А. Какичев, Н. В. Коваленко.

Теорема Вейля и ее применение | Статья в журнале...

Пусть гильбертово пространство и линейный ограниченный самосопряженный оператор. Множество всех изолированных точек спектра самосопряженного оператора , за исключением собственных значений бесконечной кратности оператора...

Условия существования собственных значений одной...

В математической физике оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения. Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса...

Оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через и соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Теорема 2.Число является собственным значением оператора...

гильбертово пространство, оператор, собственное значение оператора, существенный спектр оператора, существенный спектр, операторная матрица, ограниченный самосопряженный оператор.

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Обычно оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4]. Обозначим через , и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора...

существенный спектр оператора, существенный спектр, ветвь, гильбертово пространство, свойство монотонности интеграла, модельный оператор, дискретный спектр, дискретный оператор, вещественное число...

Задать вопрос