Библиографическое описание:

Колосова Г. С., Егорова Е. С., Иоскевич В. В. Расчёт фундаментных плит методом конечных элементов // Молодой ученый. — 2016. — №1. — С. 169-174.

 

При решении методом конечных элементов (МКЭ) задач изгиба плит на упругом оснований встречаются трудности, связанные с тем, что в рамках традиционной процедуры МКЭ можно рассматривать лишь ограниченные области, а применяемые математические модели оснований имеют бесконечное протяжение.

В данной статье излагается способ, позволяющий свести решение указанной задачи к выполнению стандартной схемы МКЭ для ограниченной области основания как «эквивалентный элемент».

В качестве модели основания была выбрана двухпараметрическая модель [1]. Предлагаемый подход предполагает выделение в общей расчётной схеме двух подобластей. Область плиты и часть зоны основания, дополняющая эту область до круговой, составляют внутреннюю подобласть Ω1, внешняя к ней неограниченная подобласть основания — Ω2.

Функционал полной потенциальной энергии системы из двух подобластей записывается в виде:

(1)

При условии, что перемещения, описываемые функцией ω во внутренней круговой подобласти Ω1 и функцией  — во внешней неограниченной подобласти Ω2, непрерывны при переходе границы раздела областей. В выражении (1) Ф(ω) обозначает функционал Лагранжа для плиты.

(2)

Потенциальная энергия деформации параметрического основания (внутри подобласти Ω1) в полярных координатах, записывается в виде [2]:

,(3)

где W — прогибы точек поверхности основания; С1 — жёсткость модели основания на сжатие; С2 — жtсткость модели основания на сдвиг.

Вариационная задача об изгибе плиты на двухпараметрическом основании формулируется как задача определения функций ω и , доставляющих стационарное значение функционалу П(ω,υ) при дополнительном условии неразрывности на круговой границе r (рис. 1):

(4)

При приближённом решении поставленной вариационной задачи внутри круга (в области Ω1) для функции ω задаётся количественная аппроксимация:

(5)

где N — функция формы; q — вектор узловых перемещений. Аппроксимация функции υ в области Ω2 осуществляется в аналогичной (4) форме:

(6)

Рис. 1. Схема разделения расчётной области на подобласти Ω1, Ω2

 

Но здесь функции Ψn выбираются такими, чтобы они заранее удовлетворяли разрешающему одному уравнению в области Ω2 и условиям отсутствия перемещений на бесконечности. Для двухпараметрической модели таким уравнением является следующее:

.

Опираясь на аналитическое решение этого уравнения [2]; систему функций {Ψn}можно принять в виде:

,

где Kn — функция Макдональда с целочисленным индексом. Данная система функции является полной, линейно-независимой, а при фиксированном r — ортогональной на промежутке [0, 2π].

Из (3) и (5) следует общее выражение для матрицы жесткости элемента основания:

(7)

Внешняя расчётная область представляет собой неограниченную мембрану с круговым отверстием на винклеровском основании. Эта зона рассматривается как элемент основания бесконечной протяжённости с узлами по круговой границе. Ниже описываются посторонние матрицы жёсткости этого элемента.

Узлы внутренней и внешней областей считаются общими (рис. 2). Перемещения точек рассматриваемого элемента основания определяются как решение одного уравнения (8) [3]:

Реакция основания для данной модели внутри подобласти Ω1:

(8)

Прогибы точек выпираемой части основания:

(9)

Рис. 2.

 

Число членов n разложений ограничивается в соответствии с количеством условий неразрывности перемещений в узлах на границе областей, которые необходимо выполнить. В данной работе для расчёта плит используются несовместные конечные элементы в виде произвольного треугольника кольцевого сектора. Узловыми параметрами элементов являются прогибы и углы поворота. В первом случае –, во втором — . Совместность прогибов вдоль круговой границы обеспечивается при удовлетворении следующих условий неразрывности в узлах:

,.

Следовательно, если число членов в ряде (9) берётся равным удвоенному числу граничных узлов, то неизвестные коэффициенты разложения могут быть выражены через указанные компоненты вектора перемещений граничных узлов:

(10)

На основании (9) и (10) матрица интерполирующих функций для элемента основания бесконечной протяжённости с узловыми параметрами δ имеет вид:

(11)

Обращение матрицы P проводится численно.

В результате выполнения матричных операций и интегрирования по θ матрица жёсткости элемента основания может быть записана следующим образом:

(12)

В силу ортогональности системы {sin(nθ), cos(nθ)}, где n — целое на промежутке [0, 2π], матрица А — диагональная:

её общий член:

где . С использованием следующих рекуррентных соотношений для бесселевых функций [5]:

,

,

,

преобразуется второй подынтегральный член:

.

Интегралы от произведений бесселевых функций вычисляются по формуле [5]:

.

Окончательное выражение для общего члена матрицы A:

(13)

При расчёте плит в виде кольца матрица жёсткости элемента внутреннего круга основания может быть построена аналогично (12) и (13), если вместо функций Knиспользовать модифицированные функции Бесселя первого рода In и брать компоненты матрицы A с обратным знаком.

Если проводится расчёт плиты на основании Винклера, т. е. коэффициент С2 = 0, то элементы матрицы жёсткости основания бесконечной протяжённости являются нулевыми вследствие Kn(r)= 0. Это отвечает механической стороне модели основания Винклера, не работающего за пределами площади опирания.

Как было указано выше, в качестве узловых параметров построенного элемента основания рассматривается прогиб Wt и угол поворота вокруг оси . При расчёте систем в декартовых координатах необходимо провести переход к неизвестным.

Используя соотношение:

.

Блоки матрицы жёсткости основания пересчитываются следующим образом:

,

где: .

С использованием построенного элемента основания бесконечной протяжённости была решена следующая задача: круглая плита на основании с двумя упругими характеристиками, загруженная по внешнему контору равномерно распределённой нагрузкой (рис.3). Схемы разбивки области на секторные и треугольные конечные элементы изображены на рис. 4 и 5. Результаты расчётов в табл. 1.

 

Таблица 1

Разбивка

Прогиб центра пластины, мм

элемент кольцевого сектора (рис. 4)

треугольный элемент (рис. 5)

а

5,5300

5,9200

б

5,5280

5,6802

в

-

5,6097

Точное решение

5,5279

 

 

Рис. 3.

 

Рис. 4.

 

Рис. 5.

 

Литература:

 

  1.      Филоненко-Бородич М. М. Некоторые приближенные теории упругого основания/ М. М. Филоненко-Бородич //Ученые записки. Москва: МГУ, 1940. Вып. 46. С. 46–54.
  2.      Корнев Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М.: Физматгиз, 1960. 458 с.
  3.      Власов В. Э., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании.- М.: Физматгиз, 1960, с.491.
  4.      Влоукова К. П., Сливкер В. И. Некоторое особенности МКЭ при расчёте конструкций на упругом основании. — В кн.: Метод конечных элементов и строительная механика. — Л.: Труды Ленингр. политехн. ин-та. 1976, № 349, с.69–80.
  5.      Грей Э., Мэтьюз Г. Б. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике. — М.: И. Л., 1953, с.371.
  6.      Пастернак П. Л. Основы нового метода расчёта фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. М.: Стройиздат, 1954, с.55.
  7.      P. Ruge, C. Trinks, S. Witte Time-domain analysis of unbounded media using mixed-variable formulations. Earthquake engineering and structural dynamics. 2001. 30 Pp. 899–925.
  8.      U. Basu, A. K. Chopra Perfectly matched layers for time-harmonic elastodynamics of unbounded domains: theory and finite-element implementation. Computer methods in applied mechanics and engineering. 2003. 192. Pp. 1337–1375.
Основные термины: элемента основания, основания бесконечной протяжённости, модели основания, элемента основания бесконечной, подобласти Ω1, матрицы жёсткости основания, конечных элементов, матрица жёсткости элемента, жёсткости элемента основания, жесткости элемента основания, качестве модели основания, жёсткости основания бесконечной, жёсткость модели основания, жtсткость модели основания, элемент основания бесконечной, ограниченной области основания, деформации параметрического основания, и часть зоны основания, модели основания Винклера, точек поверхности основания

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle