Библиографическое описание:

Сорокина Е. И., Мелихов К. М., Маковкина Л. Н. Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных (функции формы для перемещений) [Текст] // Технические науки в России и за рубежом: материалы IV Междунар. науч. конф. (г. Москва, январь 2015 г.). — М.: Буки-Веди, 2015. — С. 134-137. — URL https://moluch.ru/conf/tech/archive/124/7004/ (дата обращения: 13.12.2017).

Приводятся расчет объемного конечного элемента треугольной формы поперечного сечения при различных вариантах аппроксимации перемещений.

Ключевые слова: оболочка, объемный треугольный конечный элемент, несжимаемый материал, напряжения, деформации, перемещения, двумерный полином, матрица.

 

Если в качестве неизвестных в узле дискретного треугольного элемента принять и частные производные перемещений, то вектор узловых неизвестных конечного элемента с узлами i, j, k в глобальной системе координат будет иметь вид

,                                                                                               (1)

где

;

.                                                                           (2)

Для аппроксимации полей перемещений внутренних точек треугольного конечного элемента через узловые неизвестные обычно используется двумерный полином в локальной системе координат х, у. Полный двумерный полином содержит десять членов и имеет вид

,            (3)

где коэффициенты ki являются неизвестными величинами, подлежащими определению.

Основная трудность при получении функций формы заключается в определении коэффициентов ki через компоненты вектора узловых неизвестных, так как число условий для определения коэффициентов ki всегда меньше их числа в полном двумерном полиноме(3). Поэтому приходится привлекать дополнительные условия.

Обоснованием корректности дополнительных условий являются результаты сопоставления на их основе приближенных решений с решениями других авторов или с точными решениями там, где это возможно.

В данной работе для определения коэффициентов аппроксимирующих полиномов дополнительным условием является добавление в столбец узловых неизвестных смешанной производной перемещения i-го треугольного конечного элемента . Столбец узловых неизвестных в локальной системе координат имеет вид

.                                      (4)

Перемещение внутренней точки конечного элемента выражается через узловые неизвестные величины соотношением

,                                               (5)

где под символом q понимается перемещение u или ν, а под символом qi(х, у)(i = 1…10) — аппроксимирующие функции формы.

Частные производные полного двумерного полинома (3) определяются выражениями

;

;

.                                                                                     (6)

Для получения интерполяционных полиномов qn(х, у)(n = 1…10), составляется матричная зависимость вида

,                                                                                                              (7)

где

 — столбец искомых коэффициентов, подлежащих определению для какой-либо одной функции qn(х, у);

 — матрица-строка узловых значений функции qn(х, у) или ее производных (элемент этой матрицы с номером n равен 1, остальные равны нулю). Например для функции q1(х, у) матрица-строка узловых значений имеет вид

,

для функции q4(х, у)

,

а для функции q10(х, у)

.

Элементы матрицы [T] представляют собой численные значения множителей при неизвестных коэффициентах ki полинома (1.3) и его производных (1.6) в узлах i, j, k конечного прямоугольного треугольника.

.

Решением системы уравнений для десяти столбцов  определяются коэффициенты km(m = 1…10) десяти аппроксимирующих функций q1(х, у), q2(х, у) … q10(х, у), входящих в (5).

Смешанную производную перемещения узла i локального треугольника с использованием способа конечных разностей можно выразить через первые производные узловых перемещений по формуле

.                                                                                       (8)

Если в локальной системе координат ввести вектор узловых неизвестных в виде

,                                                                   (9)

то на основании (8) между векторами  и  можно сформировать матричную зависимость

,                                                                                                           (10)

где матрица преобразования имеет вид

.

Перемещение внутренней точки конечного элемента с использованием узлового вектора (1.9) теперь можно аппроксимировать выражением

,                                                                     (11)

где под символом q по прежнему понимается перемещение u или осевое смещение ν, которые можно записать в матричном виде

;

,                                                                                                       (12)

где строка  — матрица-строка аппроксимирующих функций.

Аппроксимирующие полиномы Gi(x, y) (i = 1…9) определяются через полиномы qm(x, y) (m = 1…10) следующими выражениями [1]

;    ;

;   ;

;   ;

;

;

.                                                                                                       (13)

Окончательные выражения аппроксимирующих функций имеют следующий вид

;

;

;

;

;

;

;

;

.                                                                                                     (14)

Частные производные перемещений внутренней точки конечного элемента определяются выражениями

;

;

;

.                                                                             (15)

 

Литература:

 

1.    Киселев, В. А. Строительная механика. Общий курс / В. А. Киселев. — М.: Стройиздат, 1986. — 520 с.

 

Основные термины (генерируются автоматически): конечного элемента, конечный элемент, виде перемещений, узловых неизвестных, двумерный полином, треугольного конечного элемента, коэффициентов ki, в локальной системе координат, вариантах аппроксимации перемещений, аппроксимации полей перемещений, производные узловых перемещений, матрица-строка узловых значений, определения коэффициентов ki, узловыми неизвестными, в определении коэффициентов ki, механизмов малых перемещений, конечного элемента треугольной, неизвестных коэффициентах ki, Треугольный конечный элемент, треугольный конечный элемент.

Ключевые слова

напряжения, перемещения, оболочка, деформации, матрица, объемный треугольный конечный элемент, несжимаемый материал, двумерный полином

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос