Поиск допустимого управления в задаче стабилизации | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №12 (116) июнь-2 2016 г.

Дата публикации: 19.06.2016

Статья просмотрена: 27 раз

Библиографическое описание:

Медведев К. С., Голубев Р. И. Поиск допустимого управления в задаче стабилизации // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 38-42. — URL https://moluch.ru/archive/116/31765/ (дата обращения: 16.10.2018).



В данной работе приведен алгоритм построения стабилизирующего управления для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием в управлении и найден критерий существования такого управления.

Ключевые слова: управление, запаздывание, дифференциальные уравнения с запаздыванием, устойчивость

Дифференциальные уравнения с запаздыванием в управлении возникают при решении различных экономических и технических задач. В данной работе рассматривается линейная система с запаздыванием в управлении. Основной целью работы является построение стабилизирующего управления и нахождение критериев его существования.

Задача построения стабилизирующего управления.

Рассмотрим линейную систему с запаздыванием в управлении:

(1)

где ℎ > 0 — запаздывание, матрицы. Предположим также, что пара матриц — полностью управляема. Требуется выбрать управление таким образом, чтобы замкнутая система оказалась асимптотически устойчивой. В [1] было предложено выбирать управление в виде

В момент , когда определяется управление, значение ещё неизвестно. Из (1) получим, что

(2)

Построенное таким образом управление (2) является хорошим, поскольку зависит только от и от значений на интервале , т. е. не требует от нас знания будущих состояний системы.

Проверим, что замкнутая система (1)–(2) устойчива, то есть все корни её характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. Для этого умножим

на

и в результате получим

В силу сделанного предположения о полной управляемости пары матриц найдётся стабилизирующее систему управление. Следует отметить, что выбранное управления обеспечивает конечный спектр замкнутой системы (1)–(2), несмотря на наличие запаздывания в системе (1).

Непосредственное использование управления (2) затруднено необходимостью вычисления интеграла

Продифференцировав данное соотношение, получим дифференциальное уравнение, решение которого позволяет находить Однако, как было замечено в [1], это приводит к появлению в системе дополнительного уравнения для 𝑧(𝑡), которое в отдельности является неустойчивым (если исходная система неустойчива). Более того, полученная таким образом система

оказывается неустойчивой даже для стабилизирующего управления. В самом деле, умножив характеристическую матрицу

последовательно на

получим

откуда характеристическая функция имеет вид

Поэтому, в [1] было рекомендовано аппроксимировать интеграл квадратурной формулой:

(3)

Таким образом получим новую замкнутую систему (1)–(3). Можно проверить, что её спектр, в отличии от исходной системы, бесконечен. Для некоторых значениях параметров устойчивость системы (1)–(3) не достигается ни при каком количестве узлов 𝑛.

Поиск допустимых значений коэффициента ввыражении для стабилизирующего управления.

Далее для простоты расчетов будем рассматривать скалярный случай, то есть , , . Для устойчивости системы (1)–(2) необходимо, чтобы уравнение внутренней динамики управления:

(4)

оказалось устойчивым. Это означает, что уравнение

имеет только такие решения , что , где Re(s) -вещественная часть комплексного числа s. С учётом того, что

если , то для устойчивости (4) достаточно, чтобы было выполнено следующее условие:

Учитывая вышесказанное, параметр 𝑘 управления (3) будем выбирать из следующих условий:

или, что то же самое,

ввиду того, что для всех 𝑎. Так как

то получаем условие

Множество , удовлетворяющих условию, будет непусто, если

или, что то же самое,

Область, соответствующая допустим значениям , приведена на рис. 1.

C:\Users\Kirill\Desktop\1.jpg

Рис. 1: Возможные значения kb для h=1

Заключение.

В данной работе предложен алгоритм построения стабилизирующего управления на основе метода компенсации запаздывания. Кроме того был найден критерий существования стабилизирующего управления для случая когда матричные коэффициенты являются скалярами. Очевидно, что для скалярного случая существование стабилизирующего управления не зависит от величины b.

Литература:

  1. Manitius A., Olbrot A. W. Finite spectrum assignment problem for systems with delays // Automatic Control, IEEE Transactions on, 1979. № 24(4). P. 541–552.
  2. Michiels W., S. Mondi´e, D. Roose. Finite Spectrum Assignment of Unstable Time-Delay Systems With a Safe Implementation// Automatic Control, IEEE Transactions on, 2003. № 12. P. 2207–2212
Основные термины (генерируются автоматически): стабилизирующее управление, замкнутая система, управление, исходная система, линейная система, алгоритм построения, устойчивость системы, запаздывание, система, критерий существования.


Ключевые слова

управление, устойчивость, запаздывание, дифференциальные уравнения с запаздыванием

Похожие статьи

К задаче об оптимальной стабилизации управляемых систем...

Однако при применении этой теории к нелинейным системам с целью получения синтезирующего управления в замкнутой

Рассматривается управляемая система, движение которой описывается функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа

Алгоритмы настройки для гибридной системы управления...

Многие производственные процессы как объекты управления характеризуются запаздыванием и априорной параметрической неопределенностью [1–12]. Построение систем управления для таких объектов весьма затруднительно...

Построение неадаптивного алгоритма управления для системы...

Ключевые слова: адаптивное управление, системы с запаздыванием, алгоритм адаптивного управления. Технические системы с запаздыванием широко распространены в реальной жизни...

Технологические объекты второго порядка с запаздыванием

Присутствие запаздывания в системе серьезно ухудшает динамику замкнутой системы. Как правило, при отношении /Т>0,5 типовые законы управления не позволяют добиться высокой точности и быстродействия в процессе регулирования.

Способы построения гибридных систем управления

Основные термины (генерируются автоматически): исходная система, алгоритм, система, решение задачи синтеза, прямое адаптивное управление, непрерывная

Способ построения многомерных систем управления с компенсацией взаимного влияния контуров регулирования.

Компенсация возмущений и помех при управлении линейным...

Решена задача построения робастной системы управления линейным стационарным объектом без запаздываний и каких-либо ограничений на управление, которая позволила скомпенсировать возмущения на входе и на выходе системы, причем возмущения эти различны.

О непараметрическом алгоритме управления макрообъектом

Основное внимание уделяется построению непараметрической системы дуального управления.

Изложенные непараметрические алгоритмы дуального управления легко распространяются на безынерционные системы с запаздыванием.

Система управления термическим объектом идентификации...

В статье описывается влияние звена запаздывание на систему автоматического управления термическим объектом. Ключевые слова: система автоматического управления, модель, объект, датчик, запаздывание, идентификация, звено, передаточная функция.

Синтез регулятора системы управления электроприводами...

Цель данной статьи — подобрать регулятор для системы управления электроприводами канала наведения по горизонту платформы стабилизированной и установление оптимальных параметров корректирующих звеньев, используя среду моделирования MatlabSimulink.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

К задаче об оптимальной стабилизации управляемых систем...

Однако при применении этой теории к нелинейным системам с целью получения синтезирующего управления в замкнутой

Рассматривается управляемая система, движение которой описывается функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа

Алгоритмы настройки для гибридной системы управления...

Многие производственные процессы как объекты управления характеризуются запаздыванием и априорной параметрической неопределенностью [1–12]. Построение систем управления для таких объектов весьма затруднительно...

Построение неадаптивного алгоритма управления для системы...

Ключевые слова: адаптивное управление, системы с запаздыванием, алгоритм адаптивного управления. Технические системы с запаздыванием широко распространены в реальной жизни...

Технологические объекты второго порядка с запаздыванием

Присутствие запаздывания в системе серьезно ухудшает динамику замкнутой системы. Как правило, при отношении /Т>0,5 типовые законы управления не позволяют добиться высокой точности и быстродействия в процессе регулирования.

Способы построения гибридных систем управления

Основные термины (генерируются автоматически): исходная система, алгоритм, система, решение задачи синтеза, прямое адаптивное управление, непрерывная

Способ построения многомерных систем управления с компенсацией взаимного влияния контуров регулирования.

Компенсация возмущений и помех при управлении линейным...

Решена задача построения робастной системы управления линейным стационарным объектом без запаздываний и каких-либо ограничений на управление, которая позволила скомпенсировать возмущения на входе и на выходе системы, причем возмущения эти различны.

О непараметрическом алгоритме управления макрообъектом

Основное внимание уделяется построению непараметрической системы дуального управления.

Изложенные непараметрические алгоритмы дуального управления легко распространяются на безынерционные системы с запаздыванием.

Система управления термическим объектом идентификации...

В статье описывается влияние звена запаздывание на систему автоматического управления термическим объектом. Ключевые слова: система автоматического управления, модель, объект, датчик, запаздывание, идентификация, звено, передаточная функция.

Синтез регулятора системы управления электроприводами...

Цель данной статьи — подобрать регулятор для системы управления электроприводами канала наведения по горизонту платформы стабилизированной и установление оптимальных параметров корректирующих звеньев, используя среду моделирования MatlabSimulink.

Задать вопрос