Геометрическая нелинейность в задаче расчета напряженно-деформированного состояния оболочек вращения | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №12 (59) декабрь 2013 г.

Дата публикации: 28.11.2013

Статья просмотрена: 459 раз

Библиографическое описание:

Решетникова Е. В., Гилева А. Е. Геометрическая нелинейность в задаче расчета напряженно-деформированного состояния оболочек вращения // Молодой ученый. — 2013. — №12. — С. 168-172. — URL https://moluch.ru/archive/59/8440/ (дата обращения: 18.09.2018).

Учет нелинейных составляющих в выражениях деформаций оболочки через перемещения координатной поверхности необходим для получения более точных результатов вычислительного эксперимента при расчете конструкций различного назначения. Использование линейных моделей для расчета напряженно-деформированного состояния оболочек вращения дает значительную погрешность при больших нагрузках. При учете геометрической нелинейности эта погрешность значительно уменьшается.

В данной работе представлена численная модель геометрически нелинейного деформирования упругих неортотропных пространственно армированных оболочек вращения, основанная на методе конечных элементов в варианте метода перемещений. Модель построена на основе статических гипотез и кинематических гипотезах типа Кирхгофа-Лява и Тимошенко с использованием вариационных принципов теории оболочек. В качестве узловых неизвестных в первом случае выбраны линейные перемещения и их производные, во втором к ним добавлены углы поворота нормали со своими производными.

Использованные статические гипотезы теории оболочек включают предположения об отсутствии нормальных напряжений, действующих вдоль нормали к координатной поверхности оболочки, и равенстве нулю напряжений поперечного сдвига на лицевых поверхностях. В выражении для энергии деформации напряжения поперечного сдвига считаются пропорциональными квадратичной функции нормальной координаты [1].

В качестве свободных переменных взяты значения линейных и угловых перемещений и их производные. Для модели, основанной на гипотезе Кирхгофа-Лява, угловые перемещения выражаются через остальные переменные [3].

При геометрически нелинейной поставке задачи деформации координатной поверхности оболочки вращения представляются в виде суммы линейной и нелинейной составляющих. Тензор деформаций координатной поверхности содержит восемь компонент, в случае гипотезы Тимошеко, и шесть, в случае гипотезы Кирхгофа-Лява, так как углы поворота нормали в последнем случае не учитываются.

Так как рассматривается вариант осесимметричного нагружения, перемещения и деформации зависят только от меридиональной координаты. В связи с этим нелинейные составляющие учитываются только в выражениях деформаций координатной поверхности в направлении меридиана оболочки [2]:

                                            (1)

где       (s, q) — ортогональная система координат, заданная на координатной поверхности оболочки;

u(s,θ), v(s,θ), w(s,θ) — линейные перемещения координатной поверхности: вдоль дуги, окружности и нормали соответственно;

 — радиус кривизны.

Для задания зависимости перемещений от меридиональной координаты используется интерполяция с помощью эрмитовых сплайнов третьего порядка, что позволяет получить достаточно качественное решение и обеспечивает непрерывность производных от перемещений [3].

Тогда формула для потенциальной энергии элемента выглядит следующим образом [1]:

, (2)

где       S — площадь поверхности элемента;

– распределенная нагрузка;

 — вектор перемещений координатной поверхности;

Q(si), M(si) — сосредоточенные силы и моменты;

si — текущая меридиональная координата;

 — вектор углов поворота нормального элемента;

qt — начальные температурные воздействия;

 — соответственно линейные и нелинейные составляющие тензора деформаций координатной поверхности оболочки.

После суммирования по элементам и дифференцирования по степеням свободы условие минимума потенциальной энергии записывается в виде системы нелинейных алгебраических уравнений:

,                                                                                                    (3)

где       K — глобальная матрица жесткости;

Q — глобальный вектор узловых сил;

Δ — глобальный вектор узловых переменных;

 — глобальный вектор дополнительных узловых сил:

.         (4)

Процесс решения происходит итерационно [4]. На первой итерации решается система линейных уравнений:

.                                                                                                                      (5)

После этого найденное решение подставляется в вектор дополнительных узловых сил (4), который прибавляется к правым частям уравнений системы. Итерации продолжаются до достижения заданной точности.

По рассмотренному алгоритму была написана программа и проведены вычислительные эксперименты для анализа результатов учета геометрической нелинейности при решении модельных задач.

Результат вычислительного эксперимента, представленный на рисунке 1 свидетельствует о согласовании построенной модели с поведением реальной конструкции. Рассчитывалось напряженно-деформированное состояние полусферической оболочки, изготовленной из изотропного материала с модулем упругости Е=200000МПа и коэффициентом Пуассона ν=0.3. Исследовалась зависимость нормальных перемещений от нагрузок. Модель построена с учетом гипотезы Кирхгофа-Лява. По результатам расчета (см. рисунок 1) видно, что при малых нагрузках (не превышающих 15 МН/м2), значения перемещений, рассчитанных с учетом нелинейных составляющих деформаций совпадают со значениями, рассчитанными без их учета. Начиная с нагрузки 15 МН/м2 разница в результатах расчета заметна, а начиная с 25 МН/м2 при учете геометрической нелинейности сходимость отсутствует; это может быть связано с потерей устойчивости.

Рис. 1. Полусферическая оболочка

 решение задачи в линейной постановке;

 решение задачи с учетом геометрической нелинейности

Рис. 2. Зависимость прогибов от нормальных нагрузок полусферической оболочки

Следующий вычислительный эксперимент показал, что уточнение решения, связанное с использованием геометрической нелинейности наиболее заметно при расчетах с использованием классической гипотезы Кирхгофа-Лява, чем с использованием уточненной гипотезы Тимошенко. На рисунке 3 представлены зависимости прогибов от меридиональной координаты с учетом разных гипотез, полученные при расчете напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки. Конструкция имеет следующие геометрические параметры: , , где  — радиус,  — образующая,  — толщина стенки, изготовлена из изотропного материала с модулем упругости =2*105Па и коэффициентом Пуассона . Подвергается воздействию нормальной нагрузки qn=0.2 МН/м2.

а)б)

 без учета нелинейных составляющих деформаций;

 с учетом нелинейных составляющих деформаций

Рис. 3. Нормальные перемещения в цилиндрической оболочке, рассчитанные с учетом: а) гипотезы Кирхгофа-Лява; б) гипотезы Тимошенко

На рисунке 3 явно видно различие результатов вычислительного эксперимента, полученных при применении гипотез Кирхгофа-Лява и Тимошенко. Прогибы, рассчитанные на основе применения классической гипотезы Кирхгофа — Лява (см.рисунок 3, а), больше чем рассчитанные на основе уточненной теории Тимошенко (см. рисунок 3,б). Учет геометрической нелинейности оказал значительное влияние на результат расчетов только при использовании теории Кирхгофа-Лява. В этом случае различия результатов расчетов по линейной и нелинейной модели составляют 5.556 % (см. рисунок 3,а). При использовании модели, основанной на гипотезе Тимошенко значительного уточнения результатов вычислительного эксперимента при учете нелинейных составляющих в выражениях деформаций координатной поверхности не наблюдается (составляет 1.6 %) (см. рисунок 3,б).

На рисунке 4 представлены результаты исследования поведения этой же цилиндрической оболочки при нагреве на 50С и давлении qn=0.2 МН/м2.

W/h

S/h

 без учета нелинейных составляющих деформаций не нагретой оболочки;

 с учетом нелинейных составляющих деформаций не нагретой оболочки;

 без учета нелинейных составляющих деформаций при нагреве на 50С;

 с учетом нелинейных составляющих деформаций при нагреве на 50С

Рис. 4. Прогибы по меридиану цилиндрической оболочки при нагреве на 50С и нормальных нагрузках qn=0.2 МН/м2

По результатам расчета можно сделать вывод, что с ростом температуры разница между перемещениями, рассчитанными с учетом и без учета нелинейных составляющих, увеличивается, что свидетельствует о возрастании значимости нелинейных составляющих деформации.

Проведем расчет напряженно-деформированного состояния оболочки вращения, представляющую собой часть полусферы (см. рисунок 1), изготовленной из изотропного материала с модулем упругости Е=2*105МПа и коэффициентом Пуассона ν=0.3.

Сравнивались значения прогибов при одновременном воздействии нормального давления qn=10 МН/м2 ирастягивающей нагрузки вдоль меридиана Qs=10 МН/м, и при раздельном воздействии этих нагрузок с последующим сложением векторов перемещений (рисунок 5).

Результаты расчета нормальных перемещений с использованием линейной модели в случаях раздельного воздействии нагрузок с последующим сложением векторов перемещений и их одновременном воздействии полностью совпадают (см. рисунок 5,б), что не соответствует действительности. В случае же учета нелинейных составляющих деформаций заметно различие значений перемещений при раздельном и одновременном воздействии нагрузок (см. рисунок 5,а).

а)                                                                                б)

 при одновременной нагрузке Qs=10 МН/м и qn=10 МН/м2;

 при сложении нагрузок Qs=10 МН/м и qn=10 МН/м2по компонентам

Рис. 5. Прогибы по меридиану полусферической оболочки: а) без учета нелинейных составляющих деформаций; б) с учетом нелинейных составляющих деформаций

Следующий вычислительный эксперимент заключается в исследовании зависимости перемещений от нагрузок, при варьировании нормальных нагрузок с учетом гипотезы Кирхгофа-Лява. Зависимость перемещений от нагрузок представлена на рисунке 6.

 без учета нелинейных составляющих деформаций;

 с учетом нелинейных составляющих деформаций

Рис. 6. Зависимость прогибов цилиндрической оболочки от нормального давления

Литература:

1.                   Решетникова Е. В. Численно-аналитическое моделирование статики, устойчивости и колебаний пространственно армированных оболочек вращения. Автореферат дис. на соискание ученой степени кандидата технических наук: 05.13.18. /Новокузнецк, 2005.

2.                   Механика композитных материалов и элементов конструкций: В 3-х т. Т.2. Механика элементов конструкций / А. Н. Гузь, Я. М. Григоренко, И. Ю. Бабич и др.– Киев: Наук. Думка, 1983. — 464 с.

3.                   Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. — М.: Мир, 1979. — 392 с.

4.                   Еременко С. Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел / С. Ю. Еременко. — Харьков: изд. «Основа» при Харьк. гос. ун-те, 1991. — 272 с.

5.                   Каледин В. О. Напряженно-деформированное состояние подкрепленных и составных ортотропных оболочек вращения [Текст] / В. О. Каледин, Е. В. Решетникова // Вопросы оборонной техники. Серия 15. Композиционные неметаллические материалы в машиностроении. — М.: НТЦ «Информтехника». — 2002. — Вып. 1(129). — С.5–14.

Основные термины (генерируются автоматически): учет, вычислительный эксперимент, геометрическая нелинейность, координатная поверхность, составляющая, цилиндрическая оболочка, деформация, полусферическая оболочка, результат расчета, нагрузка.


Похожие статьи

Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением

Мальцева Л. С., Колпак Е. П., Ефремова Е. А. Круговая цилиндрическая оболочка под

Расчет таких изделий на прочность проводится в рамках геометрически и физически нелинейной теории упругости, в основе математической составляющей которой лежат...

Расчет напряженно-деформированного состояния...

Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, деформация, напряжение, перемещение, ортогональная прогонка.

Программа тестировалась на задаче, рассмотренной в работе [7] (случай сосредоточенных нагрузок (А)) результаты совпали.

Применение численных методов и программного комплекса...

Совершенствование методов расчетов ― важная составляющая повышения эффективности строительства. Необходим учет пространственной работы сооружения, а также использование расчетной модели с учетом геометрической и конструктивной нелинейности системы и т. д.

Методы расчета общей устойчивости цилиндрических оболочек...

- гипотезы об отсутствии сдвигов в срединной поверхности оболочки.

С учетом (7) выражение кривизны получает вид: (10). кроме того

Расчет инновационных цилиндрических оболочек объектов атомной энергетики.

Большие деформации резиновых мембран | Статья в журнале...

Для расчета эластомерных мембран предлагается использовать нелинейную теорию тонких оболочек.

Во всех поставленных экспериментах зависимость «нагрузка-деформация» имела точку максимума.

О дискретизации нормального сечения железобетонного элемента...

Железобетон является композиционным материалом, которому характерно упругопластическое деформирование под нагрузкой.

А введенная в нормативные документы нелинейная деформационная модель расчета железобетонных элементов позволила производить учет...

Напряженно-деформированное состояние пологих...

Геометрическая нелинейность в задаче расчета напряженно-деформированного состояния оболочек вращения.

Метод расчета активного сопротивления цилиндрического провода с учетом поверхностного эффекта. Расчет потерь в обмотках электрических машин с учетом...

Осесимметричная динамическая задача о нагружении...

где — соответственно внутренний и внешний радиусы сферической оболочки

— заданные составляющие поверхностного давления; — доля общей массы элемента

, , , , (5) (нелинейно-упругий материал). Расчеты проводились на сетке с заданной нагрузкой в виде.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением

Мальцева Л. С., Колпак Е. П., Ефремова Е. А. Круговая цилиндрическая оболочка под

Расчет таких изделий на прочность проводится в рамках геометрически и физически нелинейной теории упругости, в основе математической составляющей которой лежат...

Расчет напряженно-деформированного состояния...

Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, деформация, напряжение, перемещение, ортогональная прогонка.

Программа тестировалась на задаче, рассмотренной в работе [7] (случай сосредоточенных нагрузок (А)) результаты совпали.

Применение численных методов и программного комплекса...

Совершенствование методов расчетов ― важная составляющая повышения эффективности строительства. Необходим учет пространственной работы сооружения, а также использование расчетной модели с учетом геометрической и конструктивной нелинейности системы и т. д.

Методы расчета общей устойчивости цилиндрических оболочек...

- гипотезы об отсутствии сдвигов в срединной поверхности оболочки.

С учетом (7) выражение кривизны получает вид: (10). кроме того

Расчет инновационных цилиндрических оболочек объектов атомной энергетики.

Большие деформации резиновых мембран | Статья в журнале...

Для расчета эластомерных мембран предлагается использовать нелинейную теорию тонких оболочек.

Во всех поставленных экспериментах зависимость «нагрузка-деформация» имела точку максимума.

О дискретизации нормального сечения железобетонного элемента...

Железобетон является композиционным материалом, которому характерно упругопластическое деформирование под нагрузкой.

А введенная в нормативные документы нелинейная деформационная модель расчета железобетонных элементов позволила производить учет...

Напряженно-деформированное состояние пологих...

Геометрическая нелинейность в задаче расчета напряженно-деформированного состояния оболочек вращения.

Метод расчета активного сопротивления цилиндрического провода с учетом поверхностного эффекта. Расчет потерь в обмотках электрических машин с учетом...

Осесимметричная динамическая задача о нагружении...

где — соответственно внутренний и внешний радиусы сферической оболочки

— заданные составляющие поверхностного давления; — доля общей массы элемента

, , , , (5) (нелинейно-упругий материал). Расчеты проводились на сетке с заданной нагрузкой в виде.

Задать вопрос