Четырехугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №6 (17) июнь 2010 г.

Статья просмотрена: 75 раз

Библиографическое описание:

Сорокина Е. И. Четырехугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных // Молодой ученый. — 2010. — №6. — С. 34-37. — URL https://moluch.ru/archive/17/1726/ (дата обращения: 19.08.2018).

Приведен расчет объемного конечного элемента четырехугольной формы поперечного сечения при различных вариантах аппроксимации  перемещений.

Ключевые слова: Четырехугольный конечный элемент, полином, матрица-строка, производные узловых перемещений, аппроксимация.

Узловые неизвестные и аппроксимация перемещений.

В каждом узле конечного элемента в качестве узловых неизвестных принимаются перемещения и их первые производные. Столбец узловых неизвестных в глобальной системе координат имеет вид

,                                                                                          (1)

где

;

;                                                       (2)

 - производные перемещений в радиальном и осевом направлениях по глобальным координатам r и z.

Вектор узловых неизвестных рассматриваемого конечного элемента в локальной системе координат представляется аналогично

,                                                                                           (3)

где

;

;                                                      (4)

 - производные перемещений радиального и осевого перемещений в локальной системе координат  и η.

Ввиду того, что между глобальными и локальными координатами существует связь, то на ее основе можно производные функций в одной системе выразить через производные функций в другой системе

;                    ;

;                    .                               (5)

На основании выражений (5) можно сформировать матричные соотношения между векторами узловых перемещений

                      (6)

и представить их в компактном виде

;                    .                                                       (7)

С использованием (7) формируется матричное соотношение между полными векторами узловых неизвестных конечного элемента в локальной и глобальной системах координат

,                                                                                                      (8)

где.

Перемещения внутренней точки конечного элемента определяются через векторы узловых перемещений в локальной системе координат с использованием аппроксимирующих функций

            (9)

Здесь под символом q понимается радиальное перемещение u или осевое перемещение ν, а функции  представляют собой полиномы Эрмита, определяемые формулами

;                    ;

;               ,                           (10)

где символом λ обозначается локальная координата  или η.

Для представления аппроксимирующих выражений в матричной форме введем обозначение матрицы-строки полиномов Эрмита в виде

.              (11)

С использованием (11) радиальное и осевое перемещения z внутренней точки конечного элемента определяются матричными соотношениями

;               ,                                                  (12)

а вектор-столбец перемещений внутренней точки дискретного элемента можно представить в виде

,                                                                                                        (13)

где матрица [A] имеет вид

Производные перемещений внутренней точки конечного элемента в глобальной системе координат r, z получаются дифференцированием  выражений (12)

;

;

;

.                                                                         (14) Деформации внутренней точки конечного элемента могут быть выражены через узловые неизвестные в матричном представлении

,                                                                 (15)

где матрица [B] имеет вид

.                                                      (16)

 

Литература

 

1.      Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. Пер. с англ. М.: Мир, 1976, 464 с.

2.      Самуль В.И.Основы теории упругости и пластичности. М.: «Высшая школа, 1970, 288 с.

3.      Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974, 344 с.

 

Основные термины (генерируются автоматически): конечный элемент, перемещение, локальная система координат, осевое перемещение, вид, неизвестная, Производная, глобальная система координат.


Ключевые слова

Четырехугольный конечный элемент, полином, матрица-строка, производные узловых перемещений, аппроксимация

Похожие статьи

Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными...

конечный элемент, полный двумерный полином, локальная система координат, неизвестная, перемещение, выражение, вид, треугольный конечный элемент, двумерный полином, коэффициент.

Алгоритм получения матрицы жесткости четырехугольного...

конечный элемент, гидростатическое давление, неизвестная, локальная система координат, объемный конечный элемент, площадь четырехугольника, перемещение, матричная зависимость, осевое перемещение...

Преобразования переменных в системах координат a, b, c и α, β

С помощью полученных уравнений производится переход из одной системы координат в другую: a, b, c → α, β. В матричной форме система уравнений (3) примет следующий вид

Расчет параметров при оценке характеристик комплексированной...

Система координат ENU — система координат, начало которой связано с центром масс объекта, а оси направлены на север, вертикально вверх и на восток.

m — масштабный элемент трансформирования систем координат при переходе из системы А в систему Б.

Алгоритм расчета переходного процесса при ударе...

, Внутри каждого элемента составляющие неизвестных функций перемещений представляются в виде разложения.

где — узловые значения составляющих перемещений; — специальным образом подобранные функции координат со следующими свойствами

Алгоритмы формирования матрицы жесткости треугольного...

гидростатическое давление, треугольный конечный элемент, конечный элемент, площадь четырехугольника, поперечное сечение, объемный конечный элемент, неизвестная, координата, компонент вектора, вид...

Конструирование механизмов малых перемещений...

Пространство сочленений используется как исходная система координат.

Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных (функции формы для перемещений).

Исследование напряженно-деформированного состояния...

Глобальная правосторонняя система координат XYZ, связанная с расчетной схемой. Локальные правосторонние системы координат, связанные с каждым конечным элементом.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными...

конечный элемент, полный двумерный полином, локальная система координат, неизвестная, перемещение, выражение, вид, треугольный конечный элемент, двумерный полином, коэффициент.

Алгоритм получения матрицы жесткости четырехугольного...

конечный элемент, гидростатическое давление, неизвестная, локальная система координат, объемный конечный элемент, площадь четырехугольника, перемещение, матричная зависимость, осевое перемещение...

Преобразования переменных в системах координат a, b, c и α, β

С помощью полученных уравнений производится переход из одной системы координат в другую: a, b, c → α, β. В матричной форме система уравнений (3) примет следующий вид

Расчет параметров при оценке характеристик комплексированной...

Система координат ENU — система координат, начало которой связано с центром масс объекта, а оси направлены на север, вертикально вверх и на восток.

m — масштабный элемент трансформирования систем координат при переходе из системы А в систему Б.

Алгоритм расчета переходного процесса при ударе...

, Внутри каждого элемента составляющие неизвестных функций перемещений представляются в виде разложения.

где — узловые значения составляющих перемещений; — специальным образом подобранные функции координат со следующими свойствами

Алгоритмы формирования матрицы жесткости треугольного...

гидростатическое давление, треугольный конечный элемент, конечный элемент, площадь четырехугольника, поперечное сечение, объемный конечный элемент, неизвестная, координата, компонент вектора, вид...

Конструирование механизмов малых перемещений...

Пространство сочленений используется как исходная система координат.

Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных (функции формы для перемещений).

Исследование напряженно-деформированного состояния...

Глобальная правосторонняя система координат XYZ, связанная с расчетной схемой. Локальные правосторонние системы координат, связанные с каждым конечным элементом.

Задать вопрос