Автор: Сорокина Елена Ивановна

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №6 (17) июнь 2010 г.

Статья просмотрена: 27 раз

Библиографическое описание:

Сорокина Е. И. Четырехугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных // Молодой ученый. — 2010. — №6. — С. 34-37.

Приведен расчет объемного конечного элемента четырехугольной формы поперечного сечения при различных вариантах аппроксимации  перемещений.

Ключевые слова: Четырехугольный конечный элемент, полином, матрица-строка, производные узловых перемещений, аппроксимация.

Узловые неизвестные и аппроксимация перемещений.

В каждом узле конечного элемента в качестве узловых неизвестных принимаются перемещения и их первые производные. Столбец узловых неизвестных в глобальной системе координат имеет вид

,                                                                                          (1)

где

;

;                                                       (2)

 - производные перемещений в радиальном и осевом направлениях по глобальным координатам r и z.

Вектор узловых неизвестных рассматриваемого конечного элемента в локальной системе координат представляется аналогично

,                                                                                           (3)

где

;

;                                                      (4)

 - производные перемещений радиального и осевого перемещений в локальной системе координат  и η.

Ввиду того, что между глобальными и локальными координатами существует связь, то на ее основе можно производные функций в одной системе выразить через производные функций в другой системе

;                    ;

;                    .                               (5)

На основании выражений (5) можно сформировать матричные соотношения между векторами узловых перемещений

                      (6)

и представить их в компактном виде

;                    .                                                       (7)

С использованием (7) формируется матричное соотношение между полными векторами узловых неизвестных конечного элемента в локальной и глобальной системах координат

,                                                                                                      (8)

где.

Перемещения внутренней точки конечного элемента определяются через векторы узловых перемещений в локальной системе координат с использованием аппроксимирующих функций

            (9)

Здесь под символом q понимается радиальное перемещение u или осевое перемещение ν, а функции  представляют собой полиномы Эрмита, определяемые формулами

;                    ;

;               ,                           (10)

где символом λ обозначается локальная координата  или η.

Для представления аппроксимирующих выражений в матричной форме введем обозначение матрицы-строки полиномов Эрмита в виде

.              (11)

С использованием (11) радиальное и осевое перемещения z внутренней точки конечного элемента определяются матричными соотношениями

;               ,                                                  (12)

а вектор-столбец перемещений внутренней точки дискретного элемента можно представить в виде

,                                                                                                        (13)

где матрица [A] имеет вид

Производные перемещений внутренней точки конечного элемента в глобальной системе координат r, z получаются дифференцированием  выражений (12)

;

;

;

.                                                                         (14) Деформации внутренней точки конечного элемента могут быть выражены через узловые неизвестные в матричном представлении

,                                                                 (15)

где матрица [B] имеет вид

.                                                      (16)

 

Литература

 

1.      Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. Пер. с англ. М.: Мир, 1976, 464 с.

2.      Самуль В.И.Основы теории упругости и пластичности. М.: «Высшая школа, 1970, 288 с.

3.      Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974, 344 с.

 

Основные термины (генерируются автоматически): конечного элемента, точки конечного элемента, внутренней точки конечного, системе координат, производные перемещений, узловых неизвестных, перемещений внутренней точки, узловых перемещений, глобальной системе координат, локальной системе координат, производные узловых перемещений, производные перемещений радиального, векторами узловых перемещений, аппроксимация перемещений, вариантах аппроксимации  перемещений, конечного элемента четырехугольной, виде перемещений, неизвестных конечного элемента, Четырехугольный конечный элемент, Производные перемещений внутренней.

Ключевые слова

Четырехугольный конечный элемент, полином, матрица-строка, производные узловых перемещений, аппроксимация

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос