Библиографическое описание:

Седова Н. О. О притяжении решений системы Лотки-Вольтера с бесконечным запаздыванием // Молодой ученый. — 2008. — №1. — С. 48-55.

Введение

Современное математическое моделирование для описания различных явлений широко использует функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего типа. Необходимость учета запаздывания обуславливается особенностями описываемого процесса, либо, для управляемой системы, структурой управления. Наряду с уравнениями с ограниченным запаздыванием, широкое применение в моделировании находят уравнения с неограниченным и бесконечным запаздыванием.

В работе исследуется асимптотическое поведение решений неавтономной системы Лотки–Вольтерра вида [6]:

                    (1)

Система (1) и ее различные модификации широко используются в моделировании динамики взаимодействия нескольких биологических видов и активно исследуются в последние десятилетия. Укажем здесь ссылки лишь на некоторые работы (заметим, что во всех перечисленных исследованиях полагается ).

Например, условия ограниченности и оценки решений системы (1) в случае , ,  получены в [7], существование точки глобального притяжения для частного случая системы (1) с конечным запаздыванием исследовалось в [13]. Вопрос о существовании положительного периодического решения системы (1) с периодическими по  коэффициентами рассматривался, например, в [14,15]. Условия существования периодического (почти периодического) решения скалярного уравнения вида (1) в случае периодических (почти периодических) по  коэффициентов обсуждались также в [17], там же представлено доказательство существования глобально притягивающего положительного решения.

Данная работа посвящена исследованию достаточных условий сходимости решений (1) к некоторому постоянному положительному вектору, не являющемуся равновесием системы. При этом коэффициенты системы могут не являться ни периодическими, ни почти периодическими.

В первом разделе статьи представлены некоторые результаты об асимптотической устойчивости для уравнений с неограниченным и бесконечным запаздыванием, полученные на основе метода функций и теории допустимых пространств с исчезающей памятью [2,9,10]. Применению теорем раздела 1 к системе (1) посвящен раздел 2. Получены утверждения об асимптотическом поведении ее решений (при некоторых ограничениях на правую часть системы), развивающие и дополняющие ранее разработанную теорию систем Лотки–Вольтерра. Иллюстративный пример, а также заключительные замечания и выводы приводятся в последнем разделе статьи.

1. Уравнения с бесконечным запаздыванием. Теоремы об асимптотической устойчивости.

Рассмотрим дифференциальное уравнение с бесконечным запаздыванием вида

                                                                                                                                                            (2)

где ,  – действительному -мерному пространству с нормой ,  – правосторонняя производная функции  в момент , и для функции ,  отображение  определяется по формуле , .

Решение  этого уравнения с начальной функцией  при , , определяется как непрерывное и удовлетворяющее уравнению (2) на , и такое, что .

Построение теории для уравнения (2) начинается с выбора функционального пространства. Наиболее эффективным с точки зрения исследования асимптотического поведения решений оказалось аксиоматическое определение, впервые обоснованное в [10].

Пусть  — действительное векторное пространство непрерывных функций, отображающих  в , и в пространстве  определена норма  такая, что  является сепарабельным банаховым пространством. Для произвольного  определим множества , .

Определение 1 [8,10,16].  Пространство  назовем допустимым, если существуют постоянные  и непрерывная функция  такие, что если  и функция  непрерывна на  и , то для всех  

(B1)  и  непрерывно по  относительно ,

(B2) ,

(B3)  для всех ;

кроме того,

(B4) если  равномерно ограничена и  равномерно на компактах из , то  и  в .

Определение 2. Определим  и для ,  оператор :

                                                  

Допустимое пространство  называется пространством с исчезающей памятью, если

Допустимое пространство  называется пространством с равномерно исчезающей памятью, если в (B2)  при .

Пусть теперь в уравнении (2)  для некоторого . Рассмотрим следующие предположения:

Предположение 1.  Для любого  существует  такое, что  для всех ;

Предположение 2.  Если  – ограниченное решение уравнения (2), определенное для всех , то положительная орбита  предкомпактна в , и если  при  равномерно по  для любого , то  и  при .

Условия (B1)–(B3) в определении допустимого пространства гарантируют, что для уравнения (2) из Предположения 1 следует, что для каждой начальной точки  существует непродолжаемое решение уравнения (2), определенное на , и если  и , то либо , либо  для некоторого . При этом дополнительное условие Липшица

                            (3)

обеспечивает также единственность и непрерывную зависимость решений [10].

Если  – пространство с исчезающей памятью, то из Предположения 1 следует Предположение 2 ([11], см. также [8,10]).

Определим допустимое пространство с исчезающей памятью, используемое далее в разделе 2. Пусть  – непрерывная невозрастающая функция, ,  при . Обозначим через  пространство непрерывных функций , отображающих  в , таких, что . Тогда  с нормой  есть банахово пространство.

Рассмотрим подпространство . Оно является допустимым с исчезающей памятью при указанных условиях на функцию  [16].

Далее считаем, что  – пространство с исчезающей памятью, и предположим, что для функционала  справедливо , тогда уравнение (2) имеет нулевое решение, которое мы и будем исследовать на устойчивость.

Будем использовать традиционные определения различных видов устойчивости нулевого решения по Ляпунову для уравнения (2), оценивая норму начальной функции в пространстве , а последующие отклонения от нуля – в  (см., например, [1,2]).

Использование допустимых пространств позволяет эффективно применять функции Ляпунова в исследовании устойчивости решений уравнений с бесконечным запаздыванием.

Пусть ,  есть функция Ляпунова, где . Ее производная в силу уравнения (2) есть функционал : .

Определение 3 [3]. Пара , , , называется парой Ляпунова-Разумихина, если , , и для всех ,  и  такой, что  и  непрерывна на , выполняется

                                                  (LR1)

                                                                (LR2)

Введем также следующее предположение:

Предположение 3.  Для любого  существует  такое, что для каждой функции , последовательностей  (),  и , таких, что , выполняется условие

                                       

Пусть  есть некоторая последовательность, , . Для функции  и функционала  определим следующие множества:

Определим также класс функций , в который включим строго возрастающие  cо значением .

Теорема 1.  Предположим, что  – пространство с исчезающей памятью, правая часть уравнения (2) удовлетворяет Предположению 1 и условию Липшица (3). Тогда:

a) если существует пара Ляпунова-Разумихина  со следующими свойствами:  для некоторой ; справедливо Предположение  3; , где функционал  равномерно непрерывен по  для любого компакта ;  для некоторой ;  при  для любой последовательности , то нулевое решение уравнения (2) равномерно асимптотически устойчиво.

b) если существует функция  такая, что ,  (либо , ) является парой Ляпунова-Разумихина на множестве  и  для , где , , кроме того, для любой последовательности  множество  пусто при достаточно малых , то нулевое решение уравнения (2) равномерно устойчиво и асимптотически устойчиво.

Эти результаты доказываются на основе [3] с использованием свойств пространства с исчезающей памятью.

Замечание 1.  Условия для предельных множеств в Теореме 1 «компенсируют» отсутствие знакоопределенности производной функции Ляпунова в утверждениях об асимптотической устойчивости. Если в условии (LR2)  для некоторой , то ограничения на предельные множества в теореме можно опустить, поскольку они выполняются автоматически.

Замечание 2.  Если правая часть уравнения (2) периодическая по , то условия на предельные множества, фигурирующие в теоремах, достаточно проверять лишь для их подмножеств, инвариантных относительно уравнения (см. [4]).

Замечание 3.  Если оценку производной в условии (LR2) заменить на , где , то нетрудно показать, что при условии (LR1) функционал  сходится к постоянной величине  вдоль каждого решения, а при дополнительном условии на предельные множества из Теоремы 1 получаем . В случае положительной определенности функции  это гарантирует сходимость решений к нулю. Кроме того, в силу непрерывной зависимости решений достаточно требовать, чтобы оценка производной выполнялась лишь при достаточно больших значениях .

Замечание 4.  Важное практическое значение равномерной асимптотической устойчивости состоит в том, что из нее следует устойчивость для возмущенного уравнения с достаточно широким классом возмущений. В частности, устойчивость не нарушается при малых отклонениях параметров системы от номинальных значений.

2. Исследование системы Лотки–Вольтерра

Рассмотрим теперь систему (1), правая часть которая удовлетворяет следующим условиям: все коэффициенты непрерывны по , ,  при , ; , ,  ограничены,  для ; , функция  не убывает при достаточно больших  и  при ;  и .

Рассмотрим теперь систему (1) в допустимом фазовом пространстве , где функция  удовлетворяет приведенным выше условиям и  (существование такой функции доказано в [5]).

Начальные условия для этой системы имеют вид ,  – непрерывная ограниченная функция,  для , .

Очевидно, рассматриваемая система допускает нулевое положение равновесия. Обычно при изучении асимптотического поведения подобных моделей предполагается наличие еще и положительного равновесия в системе, которое исследуется на устойчивость. Тем не менее и в том случае, когда такого равновесия не существует, можно получить условия, при которых решения системы будут иметь конечный предел.

Предположим, что существует постоянный положительный вектор , такой что

                                                                                                                                                   (4)

для некоторых неположительных ограниченных функций .

Положим . Тогда

для . Заметим, что если , то  для всех , т.е. множество  положительно инвариантно относительно последней системы.

Зафиксируем произвольный положительный вектор  и рассмотрим на множестве  пару

.

Заметим, что  положительно определена на множестве , кроме того,  при  в силу свойств функций . Если , то . Отсюда в силу второго утверждения Теоремы 1 с учетом Замечания 3 следует, что если для некоторого положительного вектора  справедливы соотношения

                                                         (5)

то для всех решений  системы (1), для которых , выполняется неравенство  при всех  и  при .

Если оценка запаздываний в системе (1) – функция  – ограничена конечной величиной , то предложенная пара удовлетворяет Предположению 3, и в силу первого утверждения Теоремы 1 условие (5) достаточно для равномерной сходимости  при .

Заключение

Представленные в разделе утверждения развивают и обобщают, в частности, результаты работ [9,12,4], доказанные для уравнений с бесконечным запаздыванием, и применимы также к уравнениям с ограниченным и неограниченным запаздыванием. Достаточные условия асимптотической устойчивости, сформулированные в Теореме 1, позволяют, во-первых, выбирать подходящее фазовое пространство для уравнения с учетом структуры последнего (при этом, в отличие от большинства известных результатов, например, [8,9,12,16], для доказательства равномерной асимптотической устойчивости память не обязана быть равномерно исчезающей); во-вторых, использовать в исследовании простые функции (за счет ослабления достаточных условий асимптотической устойчивости и сходимости).

Применение предложенных результатов к системе Лотки–Вольтерра иллюстрирует их эффективность. Полученные в разделе 3 утверждения развивают результат из [6], где исследуется сходимость решений к функции  (не обязательно постоянной), удовлетворяющей системе            

Для исследования использовался довольно громоздкий функционал, а полученные достаточные условия сходимости отличаются от приведенных зависимостью от запаздываний:

                                                   (6)

где  предполагаются дифференцируемыми функциями с ,  есть функция, обратная к .

Применение функции в паре с функционалом позволяет улучшить оценку (6) в случае постоянной . Кроме того, условия (5) более продуктивны, поскольку во многих моделях запаздывание (особенно переменное) оказывается параметром, оценка которого встречает наибольшие трудности.

Пример [6].

Рассмотрим скалярное уравнение

                                             

                                                                             (7)

Равенство (4) для этого уравнения выполняется при , . Нетрудно убедиться, что условие (5) справедливо при , и в силу результатов раздела 2 из неравенства  следует  при всех  и  при  (при этом сходимость равномерна в случае const). Заметим, что в работе [6] уравнение (7) рассматривается в случае постоянного , в противном случае условие (6) (в отличие от условия (5)) может не выполняться, например, при .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

[1]  Андреев А.С. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. Ульяновск: УлГУ, 2005.

[2]  Мартынюк А.А., Като Д., Шестаков А.А. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990.

[3]  Седова Н.О. К методу Ляпунова-Разумихина для уравнений с бесконечным запаздыванием // Диффер. уравнения. 2002. V.10. C.1338–1347.

[4]  Седова Н.О. О развитии прямого метода Ляпунова для функционально-дифференциальных уравнений с бесконечным запаздыванием // Мат. заметки. 2008. Т.84. N 6. [в печати].

[5]  Atkinson F., Haddock J. On determining phase spaces for functional differential equations // Funkcialaj Ekvacioj. 1988. V.31. P.331–348.

[6] Bereketoglu H., Györi I. Global asymptotic stability in a nonautonomous Lotka-Volterra type system with infinite delay // Journal of Math. Anal. and Appl. 1997. V.210. P.279–291.

[7]  Cui J., Guo M.. Permanence in logistic and Lotka-Volterra systems with dispersal and time delay // Electronic Journal of Differential Equations, 60 (2005), 1–11.

[8]  Haddock J. and Hornor W. Precompactness and convergence in norm of positive orbits in a certain fading memory space // Funkcial. Ekvac. 1988. V.31. P.349–361.

[9]  Haddock J. and Terjéki J. On the location of positive limit sets for autonomous functional differential equations with infinite delay // J. Differential equations. 1990. V.86. P.1–32.

[10]  Hale J., Kato J. Phase space for retarded equations with infinite delay // Funkcialaj Ekvacioj. 1978. V.21. P.11–41.

[11]  Hino Y., Murakami S., Naito T. Functional differential equations with infinite delay // Lecture Notes in Math. V. 1473. Springer-Verlag, 1991.

[12]  Hornor W.E. Liapunov-Razumikhin pairs and the location of positive limit sets for precompact functional differential equations with infinite delay // Nonlinear Analysis, Theory, Method and Appl. 1992. V.19. P.441–453.

[13]  Hou Z.. Global attractor in competitive Lotka–Volterra systems with retardation // Nonlinear Differential Equations and Applications, 9 (2002), 397–417.

[14]  Jiang D., Wei J., Zhang B.. Positive periodic solutions of functional differential equations and population models // Electronic Journal of Differential Equations, 71 (2002), 1–13.

[15]  Lu Y., Kuang Y.. Periodic solutions of periodic delay Lotka-Volterra equations and systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 255 (2001), 260–280.

[16]  Murakami S., Naito T. Fading memory spaces and stability properties for functional differential equations with infinite delay // Funkcialaj Ekvacioj. 1989. V.32. P.91–105.

[17]  Yang X., Yuan R.. Global attractivity and positive almost periodic solution for delay logistic differential equations // Nonlinear Analysis, 68 (2008), 54–72.

 



[1]Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект N 08-01-97010-р_поволжье_а.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle