Библиографическое описание:

Седова Н. О. О притяжении решений системы Лотки-Вольтера с бесконечным запаздыванием // Молодой ученый. — 2008. — №1. — С. 48-55.

Введение

Современное математическое моделирование для описания различных явлений широко использует функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего типа. Необходимость учета запаздывания обуславливается особенностями описываемого процесса, либо, для управляемой системы, структурой управления. Наряду с уравнениями с ограниченным запаздыванием, широкое применение в моделировании находят уравнения с неограниченным и бесконечным запаздыванием.

В работе исследуется асимптотическое поведение решений неавтономной системы Лотки–Вольтерра вида [6]:

                    (1)

Система (1) и ее различные модификации широко используются в моделировании динамики взаимодействия нескольких биологических видов и активно исследуются в последние десятилетия. Укажем здесь ссылки лишь на некоторые работы (заметим, что во всех перечисленных исследованиях полагается ).

Например, условия ограниченности и оценки решений системы (1) в случае , ,  получены в [7], существование точки глобального притяжения для частного случая системы (1) с конечным запаздыванием исследовалось в [13]. Вопрос о существовании положительного периодического решения системы (1) с периодическими по  коэффициентами рассматривался, например, в [14,15]. Условия существования периодического (почти периодического) решения скалярного уравнения вида (1) в случае периодических (почти периодических) по  коэффициентов обсуждались также в [17], там же представлено доказательство существования глобально притягивающего положительного решения.

Данная работа посвящена исследованию достаточных условий сходимости решений (1) к некоторому постоянному положительному вектору, не являющемуся равновесием системы. При этом коэффициенты системы могут не являться ни периодическими, ни почти периодическими.

В первом разделе статьи представлены некоторые результаты об асимптотической устойчивости для уравнений с неограниченным и бесконечным запаздыванием, полученные на основе метода функций и теории допустимых пространств с исчезающей памятью [2,9,10]. Применению теорем раздела 1 к системе (1) посвящен раздел 2. Получены утверждения об асимптотическом поведении ее решений (при некоторых ограничениях на правую часть системы), развивающие и дополняющие ранее разработанную теорию систем Лотки–Вольтерра. Иллюстративный пример, а также заключительные замечания и выводы приводятся в последнем разделе статьи.

1. Уравнения с бесконечным запаздыванием. Теоремы об асимптотической устойчивости.

Рассмотрим дифференциальное уравнение с бесконечным запаздыванием вида

                                                                                                                                                            (2)

где ,  – действительному -мерному пространству с нормой ,  – правосторонняя производная функции  в момент , и для функции ,  отображение  определяется по формуле , .

Решение  этого уравнения с начальной функцией  при , , определяется как непрерывное и удовлетворяющее уравнению (2) на , и такое, что .

Построение теории для уравнения (2) начинается с выбора функционального пространства. Наиболее эффективным с точки зрения исследования асимптотического поведения решений оказалось аксиоматическое определение, впервые обоснованное в [10].

Пусть  — действительное векторное пространство непрерывных функций, отображающих  в , и в пространстве  определена норма  такая, что  является сепарабельным банаховым пространством. Для произвольного  определим множества , .

Определение 1 [8,10,16].  Пространство  назовем допустимым, если существуют постоянные  и непрерывная функция  такие, что если  и функция  непрерывна на  и , то для всех  

(B1)  и  непрерывно по  относительно ,

(B2) ,

(B3)  для всех ;

кроме того,

(B4) если  равномерно ограничена и  равномерно на компактах из , то  и  в .

Определение 2. Определим  и для ,  оператор :

                                                  

Допустимое пространство  называется пространством с исчезающей памятью, если

Допустимое пространство  называется пространством с равномерно исчезающей памятью, если в (B2)  при .

Пусть теперь в уравнении (2)  для некоторого . Рассмотрим следующие предположения:

Предположение 1.  Для любого  существует  такое, что  для всех ;

Предположение 2.  Если  – ограниченное решение уравнения (2), определенное для всех , то положительная орбита  предкомпактна в , и если  при  равномерно по  для любого , то  и  при .

Условия (B1)–(B3) в определении допустимого пространства гарантируют, что для уравнения (2) из Предположения 1 следует, что для каждой начальной точки  существует непродолжаемое решение уравнения (2), определенное на , и если  и , то либо , либо  для некоторого . При этом дополнительное условие Липшица

                            (3)

обеспечивает также единственность и непрерывную зависимость решений [10].

Если  – пространство с исчезающей памятью, то из Предположения 1 следует Предположение 2 ([11], см. также [8,10]).

Определим допустимое пространство с исчезающей памятью, используемое далее в разделе 2. Пусть  – непрерывная невозрастающая функция, ,  при . Обозначим через  пространство непрерывных функций , отображающих  в , таких, что . Тогда  с нормой  есть банахово пространство.

Рассмотрим подпространство . Оно является допустимым с исчезающей памятью при указанных условиях на функцию  [16].

Далее считаем, что  – пространство с исчезающей памятью, и предположим, что для функционала  справедливо , тогда уравнение (2) имеет нулевое решение, которое мы и будем исследовать на устойчивость.

Будем использовать традиционные определения различных видов устойчивости нулевого решения по Ляпунову для уравнения (2), оценивая норму начальной функции в пространстве , а последующие отклонения от нуля – в  (см., например, [1,2]).

Использование допустимых пространств позволяет эффективно применять функции Ляпунова в исследовании устойчивости решений уравнений с бесконечным запаздыванием.

Пусть ,  есть функция Ляпунова, где . Ее производная в силу уравнения (2) есть функционал : .

Определение 3 [3]. Пара , , , называется парой Ляпунова-Разумихина, если , , и для всех ,  и  такой, что  и  непрерывна на , выполняется

                                                  (LR1)

                                                                (LR2)

Введем также следующее предположение:

Предположение 3.  Для любого  существует  такое, что для каждой функции , последовательностей  (),  и , таких, что , выполняется условие

                                       

Пусть  есть некоторая последовательность, , . Для функции  и функционала  определим следующие множества:

Определим также класс функций , в который включим строго возрастающие  cо значением .

Теорема 1.  Предположим, что  – пространство с исчезающей памятью, правая часть уравнения (2) удовлетворяет Предположению 1 и условию Липшица (3). Тогда:

a) если существует пара Ляпунова-Разумихина  со следующими свойствами:  для некоторой ; справедливо Предположение  3; , где функционал  равномерно непрерывен по  для любого компакта ;  для некоторой ;  при  для любой последовательности , то нулевое решение уравнения (2) равномерно асимптотически устойчиво.

b) если существует функция  такая, что ,  (либо , ) является парой Ляпунова-Разумихина на множестве  и  для , где , , кроме того, для любой последовательности  множество  пусто при достаточно малых , то нулевое решение уравнения (2) равномерно устойчиво и асимптотически устойчиво.

Эти результаты доказываются на основе [3] с использованием свойств пространства с исчезающей памятью.

Замечание 1.  Условия для предельных множеств в Теореме 1 «компенсируют» отсутствие знакоопределенности производной функции Ляпунова в утверждениях об асимптотической устойчивости. Если в условии (LR2)  для некоторой , то ограничения на предельные множества в теореме можно опустить, поскольку они выполняются автоматически.

Замечание 2.  Если правая часть уравнения (2) периодическая по , то условия на предельные множества, фигурирующие в теоремах, достаточно проверять лишь для их подмножеств, инвариантных относительно уравнения (см. [4]).

Замечание 3.  Если оценку производной в условии (LR2) заменить на , где , то нетрудно показать, что при условии (LR1) функционал  сходится к постоянной величине  вдоль каждого решения, а при дополнительном условии на предельные множества из Теоремы 1 получаем . В случае положительной определенности функции  это гарантирует сходимость решений к нулю. Кроме того, в силу непрерывной зависимости решений достаточно требовать, чтобы оценка производной выполнялась лишь при достаточно больших значениях .

Замечание 4.  Важное практическое значение равномерной асимптотической устойчивости состоит в том, что из нее следует устойчивость для возмущенного уравнения с достаточно широким классом возмущений. В частности, устойчивость не нарушается при малых отклонениях параметров системы от номинальных значений.

2. Исследование системы Лотки–Вольтерра

Рассмотрим теперь систему (1), правая часть которая удовлетворяет следующим условиям: все коэффициенты непрерывны по , ,  при , ; , ,  ограничены,  для ; , функция  не убывает при достаточно больших  и  при ;  и .

Рассмотрим теперь систему (1) в допустимом фазовом пространстве , где функция  удовлетворяет приведенным выше условиям и  (существование такой функции доказано в [5]).

Начальные условия для этой системы имеют вид ,  – непрерывная ограниченная функция,  для , .

Очевидно, рассматриваемая система допускает нулевое положение равновесия. Обычно при изучении асимптотического поведения подобных моделей предполагается наличие еще и положительного равновесия в системе, которое исследуется на устойчивость. Тем не менее и в том случае, когда такого равновесия не существует, можно получить условия, при которых решения системы будут иметь конечный предел.

Предположим, что существует постоянный положительный вектор , такой что

                                                                                                                                                   (4)

для некоторых неположительных ограниченных функций .

Положим . Тогда

для . Заметим, что если , то  для всех , т.е. множество  положительно инвариантно относительно последней системы.

Зафиксируем произвольный положительный вектор  и рассмотрим на множестве  пару

.

Заметим, что  положительно определена на множестве , кроме того,  при  в силу свойств функций . Если , то . Отсюда в силу второго утверждения Теоремы 1 с учетом Замечания 3 следует, что если для некоторого положительного вектора  справедливы соотношения

                                                         (5)

то для всех решений  системы (1), для которых , выполняется неравенство  при всех  и  при .

Если оценка запаздываний в системе (1) – функция  – ограничена конечной величиной , то предложенная пара удовлетворяет Предположению 3, и в силу первого утверждения Теоремы 1 условие (5) достаточно для равномерной сходимости  при .

Заключение

Представленные в разделе утверждения развивают и обобщают, в частности, результаты работ [9,12,4], доказанные для уравнений с бесконечным запаздыванием, и применимы также к уравнениям с ограниченным и неограниченным запаздыванием. Достаточные условия асимптотической устойчивости, сформулированные в Теореме 1, позволяют, во-первых, выбирать подходящее фазовое пространство для уравнения с учетом структуры последнего (при этом, в отличие от большинства известных результатов, например, [8,9,12,16], для доказательства равномерной асимптотической устойчивости память не обязана быть равномерно исчезающей); во-вторых, использовать в исследовании простые функции (за счет ослабления достаточных условий асимптотической устойчивости и сходимости).

Применение предложенных результатов к системе Лотки–Вольтерра иллюстрирует их эффективность. Полученные в разделе 3 утверждения развивают результат из [6], где исследуется сходимость решений к функции  (не обязательно постоянной), удовлетворяющей системе            

Для исследования использовался довольно громоздкий функционал, а полученные достаточные условия сходимости отличаются от приведенных зависимостью от запаздываний:

                                                   (6)

где  предполагаются дифференцируемыми функциями с ,  есть функция, обратная к .

Применение функции в паре с функционалом позволяет улучшить оценку (6) в случае постоянной . Кроме того, условия (5) более продуктивны, поскольку во многих моделях запаздывание (особенно переменное) оказывается параметром, оценка которого встречает наибольшие трудности.

Пример [6].

Рассмотрим скалярное уравнение

                                             

                                                                             (7)

Равенство (4) для этого уравнения выполняется при , . Нетрудно убедиться, что условие (5) справедливо при , и в силу результатов раздела 2 из неравенства  следует  при всех  и  при  (при этом сходимость равномерна в случае const). Заметим, что в работе [6] уравнение (7) рассматривается в случае постоянного , в противном случае условие (6) (в отличие от условия (5)) может не выполняться, например, при .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

[1]  Андреев А.С. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. Ульяновск: УлГУ, 2005.

[2]  Мартынюк А.А., Като Д., Шестаков А.А. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990.

[3]  Седова Н.О. К методу Ляпунова-Разумихина для уравнений с бесконечным запаздыванием // Диффер. уравнения. 2002. V.10. C.1338–1347.

[4]  Седова Н.О. О развитии прямого метода Ляпунова для функционально-дифференциальных уравнений с бесконечным запаздыванием // Мат. заметки. 2008. Т.84. N 6. [в печати].

[5]  Atkinson F., Haddock J. On determining phase spaces for functional differential equations // Funkcialaj Ekvacioj. 1988. V.31. P.331–348.

[6] Bereketoglu H., Györi I. Global asymptotic stability in a nonautonomous Lotka-Volterra type system with infinite delay // Journal of Math. Anal. and Appl. 1997. V.210. P.279–291.

[7]  Cui J., Guo M.. Permanence in logistic and Lotka-Volterra systems with dispersal and time delay // Electronic Journal of Differential Equations, 60 (2005), 1–11.

[8]  Haddock J. and Hornor W. Precompactness and convergence in norm of positive orbits in a certain fading memory space // Funkcial. Ekvac. 1988. V.31. P.349–361.

[9]  Haddock J. and Terjéki J. On the location of positive limit sets for autonomous functional differential equations with infinite delay // J. Differential equations. 1990. V.86. P.1–32.

[10]  Hale J., Kato J. Phase space for retarded equations with infinite delay // Funkcialaj Ekvacioj. 1978. V.21. P.11–41.

[11]  Hino Y., Murakami S., Naito T. Functional differential equations with infinite delay // Lecture Notes in Math. V. 1473. Springer-Verlag, 1991.

[12]  Hornor W.E. Liapunov-Razumikhin pairs and the location of positive limit sets for precompact functional differential equations with infinite delay // Nonlinear Analysis, Theory, Method and Appl. 1992. V.19. P.441–453.

[13]  Hou Z.. Global attractor in competitive Lotka–Volterra systems with retardation // Nonlinear Differential Equations and Applications, 9 (2002), 397–417.

[14]  Jiang D., Wei J., Zhang B.. Positive periodic solutions of functional differential equations and population models // Electronic Journal of Differential Equations, 71 (2002), 1–13.

[15]  Lu Y., Kuang Y.. Periodic solutions of periodic delay Lotka-Volterra equations and systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 255 (2001), 260–280.

[16]  Murakami S., Naito T. Fading memory spaces and stability properties for functional differential equations with infinite delay // Funkcialaj Ekvacioj. 1989. V.32. P.91–105.

[17]  Yang X., Yuan R.. Global attractivity and positive almost periodic solution for delay logistic differential equations // Nonlinear Analysis, 68 (2008), 54–72.

 



[1]Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект N 08-01-97010-р_поволжье_а.

Основные термины: бесконечным запаздыванием, бесконечным запаздыванием, differential equations, differential equations, асимптотической устойчивости, асимптотической устойчивости, with infinite delay, with infinite delay, functional differential equations, functional differential equations, equations with infinite, equations with infinite, differential equations with, differential equations with, решений системы, решений системы, решение уравнения, решение уравнения, equations and, equations and

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle