Математические софизмы: обман или путь к открытию? | Статья в журнале «Юный ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 8 февраля, печатный экземпляр отправим 12 февраля.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Научный руководитель:

Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия

Опубликовано в Юный учёный №2 (2) май 2015 г.

Дата публикации: 02.05.2015

Статья просмотрена: 315 раз

Библиографическое описание:

Южакова Е. А., Сизова М. Ю. Математические софизмы: обман или путь к открытию? // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 95-98. — URL https://moluch.ru/young/archive/2/133/ (дата обращения: 26.01.2020).

Наше общество развивается быстрыми темпами, сегодня научным центрам и крупным предприятиям требуются квалифицированные техники, инженеры, ученые, знания которых базируются на точных науках: математике, физике, химии. От специалистов требуются не только знания, но и умения быстро принимать решения, искать ошибки, приводить аргументы в пользу того или иного решения и пр. А все эти качества в полной мере позволяет развивать математика. Одним из действенных её «инструментов» являются софизмы.

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, т. е. прививает навыки правильного мышления.

С одной стороны цель софизма — выдать ложь за истину. Считается, что прибегать к софизму предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль, зная, в чем заключается истина. С другой стороны, И. П. Павлов писал: «правильно понятая ошибка — это путь к открытию», а, значит, уяснение ошибок в математическом рассуждении способствует развитию математического знания. Разбор софизмов не только интересен, но и очень полезен при изучении математики, ведь обнаружить ошибку в софизме — это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.

Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причём острота их обсуждения не снижается с годами.

Термин «софизм» происходит от греческого слова, означающего «измышление», «хитрость». Своё значение термин «софизм» приобрёл в связи с характеристикой приёмов рассуждения, которыми злоупотребляли древнегреческие философы в 4–5 вв. до н. э. и их последователи, достигшие большого искусства в логике. Термин «софизм» впервые ввёл древнегреческий философ Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость.

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

Сборники математических софизмов были всегда популярными. Многие преподаватели математики в своей работе использовали математические софизмы. В конце 19 — начале 20 веков особенно большой известностью пользовалась книга преподавателя Екатеринбургской гимназии Василия Ивановича Обреимова «Математические софизмы». Этой книжкой зачитывались. Трудно было найти гимназиста, который не читал бы её. В. И. Обреимову удалось собрать и обработать более сорока интересных софизмов. Математические софизмы не случайно явились предметом особого внимания В. И. Обреимова как преподавателя: он считал, что ложные доказательства заставляют учащихся анализировать, дают пищу для вопросов, для товарищеских научных собеседований.

Определение софизма в различных толковых словарях и энциклопедиях подобны. Рассмотрим самые известные из них.

Софизм — логически порочное умозаключение, в котором ложные посылки выдаются за истинные или делается вывод с нарушением законов логики (Большая советская энциклопедия, том 40, стр.136).

Софизм — формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (Толковый словарь русского языка С. И. Ожегова).

Софизм — мудрствованье, ложный вывод, заключенье, сужденье, которому придан внешний вид истины. Софистическое рассуждение — ложное, ошибочное, под видом истинного (Толковый словарь В. И. Даля).

Софизм — формально правильное, но ложное по существу умозаключение, основанное на натяжке, на преднамеренно неправильном подборе исходных положений в цепи рассуждений (Толковый словарь русского языка Д. Н. Ушакова).

Таким образом, анализируя определения софизма из различных энциклопедий и толковых словарей, можно выделить основные существенные признаки:

-        это утверждение (умозаключение);

-        формально — правильное;

-        по существу — ложное;

-        ошибка допущена и замаскирована намеренно.

Исходя, из выделенных признаков, дадим следующее общее определение: «Софизм — умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного».

Софизмы встречаются в различных областях знаний, но выделенные критерии всегда присутствуют. Поэтому определение математического софизма не будет существенно отличаться от всех вышеперечисленных. В математическом софизме замаскированная ошибка, в процессе вывода приводит к абсурдному результату, нарушающему все законы математики.

Будем использовать следующее уточнённое определение математического софизма: «Математический софизм — формально кажущееся правильным, но ложное по существу математическое доказательство абсурдного факта, основанное на преднамеренном нарушении правил и законов математики».

Решить софизм — это, значит, указать ошибку в рассуждениях, с помощью которой была создана внешняя видимость правильности доказательства.

Рассмотрим несколько математических софизмов.

Софизм 1. «22 = 5»

Доказательство:

1)      16–36 = 25–45

2)      16–36 + = 25–45 +

3)      42–2  4  + ()2 = 52–2  5   + ()2

4)      (4 — )2 = (5 — )2

5)     

4 —  = 5 —

6)      4 = 5

7)      2 x 2 = 5.

Решение:   4 —  =  5 —  

Софизм 2. «5 = 7»

Доказательство:

Пусть даны два числа х и у, причём х больше у в 1,5 раза, то есть х = у.

Умножим обе части равенства на 4 и получим: 4х = 6у.

Представим левую часть в виде: 4х = 14х — 10х и правую: 6у = 21у — 15у.

Так как 4х = 6у, то 14х — 10 х = 21у — 15у или 15у — 10х = 21у — 14х.

В обеих частях вынесем общий множитель за скобки: 5(3у — 2х) = 7(3у — 2х).

Разделим обе части равенства на выражение 3у — 2х и получим, что 5 = 7.

Решение: если х = у, то 3у = 2х, то есть 3у — 2х = 0, а на 0 делить нельзя.

Софизм 3. «Нуль больше любого числа»

Если число а отрицательное, то утверждение очевидно.

Пусть а — сколь угодно большое положительное число.

Ясно, что а — 1 < а. Умножим обе части неравенства почленно на -а,

получим: -а2 + а < -а2.

Прибавим к обеим частям полученного неравенства по а2, получим: -а2 + а + а2 < -а2 + а2, то есть а<0.

Следовательно, любое, даже сколь угодно большое положительное число меньше нуля.

Решение: при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства надо поменять на противоположный.

Е. И. Игнатьев говорил, что «Софизмы подобны приведениям, они не выносят света» , попытаемся лишить их некой «таинственности» с пользой для себя, дабы потом не допускать этих ошибок при решении школьных задач.

При решении математических софизмов были выделены основные типы ошибок:

1.                  деление на 0;

2.                  неправильные выводы из равенства произведений или дробей;

3.                  неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

4.                  нарушения правил действия с именованными величинами;

5.                  неправильное вынесение общего множителя за скобки;

6.                  неравносильный переход от одного равенства или неравенства к другому.

Если знать точно формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, внимательно выполнять равносильные преобразования, всегда можно обнаружить ошибку, заложенную в софизме. Поэтому у математически грамотного человека абсурдных результатов получиться не может.

Математический софизм — это не обман, он побуждает нас к более внимательным и точным действиям, он предлагает идти нам по пути, выстроенному логически строго. Математический софизм — это путь к верному открытию математики для каждого из нас как достаточно серьезного средства познания мира.

Софизмы сыграли существенную роль и в истории развития математики. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

Разбор софизмов прививает навыки правильного мышления, помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений “безошибочных” задач.

 

Литература:

 

1.                  Ганеев Х. Ж. Учителю математики об элементах краеведения. Кн. для учителя.- Екатеринбург, 1996.

2.                  Игнатьев Е. И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах.- Ростов н/Д: Кн. изд-во, 1995.

3.                  Литцман В. Где ошибка?. — М., 1962.

4.                  Мадера А. Г., Мадера Д. А. Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям. — М.: Просвещение, 2003.

5.                  Минковский В. Л. Василий Иванович Обреимов// Математика в школе. — 1951- № 5 — с. 68–71.

6.                  Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся.- М.: Просвещение, 1984.

7.                  Обреимов В. И. Математические софизмы. — С-Петербург, 1889.

Основные термины (генерируются автоматически): софизм, математический софизм, Толковый словарь, ложное умозаключение, разбор софизмов, правильное мышление, положительное число, общий множитель, неправильный подбор, глубокое уяснение.


Похожие статьи

Математические парадоксы и софизмы | Статья в журнале...

Что же такое софизм? Софизм – утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента логики

При разборе математических софизмов выделяются основные ошибки

Решение математических софизмов не только развивает логику, но и внимательность...

Роль софизмов в истории развития математики | Молодой ученый

В истории развития математики софизмы играли существенную роль.

Уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.

Разбор софизмов, прежде всего развивает логическое мышление, т. е. прививает необходимых в...

Заметки и замечания относительно ряда базовых принципов...

Софизм — мудрствованье, ложный вывод, заключенье, сужденье, которому придан внешний вид истины. В математическом софизме замаскированная ошибка, в процессе вывода приводит к абсурдному результату, нарушающему все законы математики.

Логические нормы обоснования в научном познании

Приведем пример математического софизма: 5=1. Это можно «доказать» следующим образом. Из чисел 5 и 1 вычтем одно и то же число 3. Получим

Его использование в практической деятельности предполагает глубокое знание и умение применять умозаключения, правила...

Парадоксы смыслов у мегариков и их связь с софистами

Их называют софизмами, потому что там много надуманного. Эти софизмы дошли до нас в изложении Диогена Лаэрция.

По поводу взаимоотношений софизмов и парадоксов отметим здесь лишь один момент.

Ивин А. А. Искусство мыслить правильно / А. А. Ивин.

Рассуждать логично — значит рассуждать в соответствии...

Правильное умозаключениеумозаключение, схема которого представляет собой закон логики, в силу чего из истинных посылок с необходимостью вытекает истинное следствие.

В противном случае, если ошибка преднамеренная — это софизм.

Развитие логического мышления посредством решения...

Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов и других нестандартных задач. Какая задача называется нестандартной?

Теория суждений среднеазиатского мыслителя Абу Али ибн Сины

Философское наследие Абу Али ибн Сины и в наши дни продолжает привлекать внимание многих исследователей, несмотря на множество исследовательских монографий как западных, так и восточных учёных философов.

Математические дисциплины в системе образования

В статье рассматриваются логическое мышление с научной точки зрения, функции человеческого мозга и его работа при изучении математики. Ключевые слова: мышление, полушарие головного мозга, чувство числа, математическая фобия.

Похожие статьи

Математические парадоксы и софизмы | Статья в журнале...

Что же такое софизм? Софизм – утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента логики

При разборе математических софизмов выделяются основные ошибки

Решение математических софизмов не только развивает логику, но и внимательность...

Роль софизмов в истории развития математики | Молодой ученый

В истории развития математики софизмы играли существенную роль.

Уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.

Разбор софизмов, прежде всего развивает логическое мышление, т. е. прививает необходимых в...

Заметки и замечания относительно ряда базовых принципов...

Софизм — мудрствованье, ложный вывод, заключенье, сужденье, которому придан внешний вид истины. В математическом софизме замаскированная ошибка, в процессе вывода приводит к абсурдному результату, нарушающему все законы математики.

Логические нормы обоснования в научном познании

Приведем пример математического софизма: 5=1. Это можно «доказать» следующим образом. Из чисел 5 и 1 вычтем одно и то же число 3. Получим

Его использование в практической деятельности предполагает глубокое знание и умение применять умозаключения, правила...

Парадоксы смыслов у мегариков и их связь с софистами

Их называют софизмами, потому что там много надуманного. Эти софизмы дошли до нас в изложении Диогена Лаэрция.

По поводу взаимоотношений софизмов и парадоксов отметим здесь лишь один момент.

Ивин А. А. Искусство мыслить правильно / А. А. Ивин.

Рассуждать логично — значит рассуждать в соответствии...

Правильное умозаключениеумозаключение, схема которого представляет собой закон логики, в силу чего из истинных посылок с необходимостью вытекает истинное следствие.

В противном случае, если ошибка преднамеренная — это софизм.

Развитие логического мышления посредством решения...

Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов и других нестандартных задач. Какая задача называется нестандартной?

Теория суждений среднеазиатского мыслителя Абу Али ибн Сины

Философское наследие Абу Али ибн Сины и в наши дни продолжает привлекать внимание многих исследователей, несмотря на множество исследовательских монографий как западных, так и восточных учёных философов.

Математические дисциплины в системе образования

В статье рассматриваются логическое мышление с научной точки зрения, функции человеческого мозга и его работа при изучении математики. Ключевые слова: мышление, полушарие головного мозга, чувство числа, математическая фобия.

Задать вопрос