Введение

Когда я случайно набросал на листе бумаги домик, это побудило меня обвести его контур без отрыва карандаша и без повторений. Конечно, удалось не сразу. Но когда получилось, появилось желание проверить другие фигуры. Звезду получилось нарисовать безотрывно легко, а конверт, к сожалению, нет. У меня возник вопрос: почему одни фигуры рисуются безотрывно, а другие — нет? Я поинтересовался у своей учительницы Наталии Николаевны. Она рассказала мне о принципе графов Эйлера и предложила разобраться в данном материале. Имя математика было мне на тот момент незнакомо, так кая я пока ещё учусь в начальной школе. Само правило Эйлера оказалось достаточно простым. Теперь у меня быстро получается понять, можно ли конкретную фигуру нарисовать безотрывно или нет.

Цель работы — изучение правила Эйлера на практике и определение возможности обведения фигуры, не отрывая карандаш.

Объект исследования: плоские геометрические фигуры на листе бумаги.

Предмет исследования: возможность построения эйлерова пути (безотрывное рисование).

Задачи:

1. Изучить базовые понятия теории графов: вершины и рёбра.
2. Разобраться в различиях между чётными и нечётными вершинами.
3. Проанализировать пять выбранных фигур, подсчитав количество их вершин.
4. Экспериментально проверить возможность обведения каждой фигуры без отрыва руки.
5. Сформулировать вывод о работоспособности правила Эйлера.

Теоретическая часть

Понятие графа

В математике термин «граф» имеет особое значение. Это не диаграмма и не литературный персонаж, а структура, состоящая из точек (вершин) и соединяющих их линий (рёбер).

Треугольник — граф с тремя вершинами и тремя рёбрами. Квадрат — тоже граф. Добавление диагоналей усложняет структуру, но принцип остается прежним. Ключевая характеристика графа — не внешний вид, а количество линий, исходящих из каждой точки.

Классификация вершин

Для решения задачи важно определить тип каждой вершины:

— Чётная вершина: из неё исходит чётное число линий (2, 4, 6 и т. д.). В такую точку можно войти и затем выйти, не останавливаясь.

— Нечётная вершина: из неё исходит нечётное число линий (1, 3, 5 и т. д.). Здесь путь либо начинается, либо заканчивается.

Эйлер установил важное свойство: количество нечётных вершин в любом графе всегда чётно (0, 2, 4 и т. д.). Одинокая нечётная вершина существовать не может.

Правило Эйлера

Для того чтобы нарисовать фигуру одним росчерком без повторений, необходимо выполнить одно из следующих условий:

— Нуль нечётных вершин: путь можно начать с любой точки и завершить в той же самой (замкнутый контур). Пример: окружность, звезда.

— Две нечётные вершины: путь должен начинаться в одной из них и заканчиваться в другой (разомкнутый контур). Пример: домик.

— Четыре или более нечётных вершин: нарисовать фигуру одним росчерком невозможно. Придётся либо отрывать карандаш, либо проходить по линиям дважды. Пример: конверт.

Методика исследования

Для проверки теории были выбраны пять фигур разной сложности. Для каждой из них проводился трёхэтапный анализ: построение фигуры в тетради; обозначение вершин и подсчёт исходящих рёбер (нечётные вершины отмечались красным, чётные — синим цветом); обведения фигуры. Результат фиксировался — успех или неудача.

Используемые фигуры: окружность (замкнутая линия без углов); треугольник с линией (треугольник, разделённый линией из вершины в основание); открытый конверт (прямоугольник с пересекающимися диагоналями); домик (квадрат с треугольной крышей); пятиконечная звезда (правильная звёздчатая фигура).

Анализ результатов. Полученные данные сведены в таблицу 1:

Таблица 1

Сопоставление количества нечётных вершин и возможности обведения

Самым сложным испытанием стал «конверт». Несмотря на множество попыток начать обведение из разных точек (углов, центра, пересечений), результат оставался неизменным: либо карандаш приходилось отрывать, либо линия проходила дважды. Это полностью согласуется с наличием четырёх нечётных вершин.

Звезда удивила своей простотой. Несмотря на визуальную сложность, она имеет нуль нечётных вершин, что позволяет начать обведение с любого острия и вернуться в исходную точку.

Домик был обведён успешно благодаря наличию двух нечётных вершин (нижних углов). Путь логично начинался в одном углу и заканчивался в другом.

Заключение

Проведённое исследование доказало, что математика — это интересная наука. Правило Леонарда Эйлера, сформулированное несколько столетий тому назад, остаётся актуальным.

Основные выводы работы:

Графы представляют собой обычные формы из точек и линий, которые несложно решить.

Чтобы определить возможность рисования фигуры одним росчерком необходимо только подсчитать количество нечётных вершин. Если таких вершин 0 или 2 — фигуру обвести неотрывная руки можно. Если 4 или более, к сожалению, задача невыполнима.

Гипотеза о работоспособности правила Эйлера полностью подтверждена на всех протестированных примерах.

Теперь у меня получается определить, можно ли фигуру обвести, не отрывая руки или нет, только посмотрев на неё и проанализировав. Это правило вызвало живой интерес среди моих одноклассников. В дальнейшем я планирую продолжить работать над данной темой.

Литература:

1. Оре О. Теория графов. — М.: Наука, 1968. — 336 с.
2. Перельман Я. И. Занимательная геометрия. — М.: АСТ, 2017. — с. 110–115.
3. Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973. — 300 с.
4. Эйлер Л. Решение задачи, связанной с геометрией положения. — Записки Петербургской Академии наук, 1736. — Т. 8. — с. 128–140.
5. Энциклопедия для детей. Математика. — М.: Аванта+, 2020. — с. 78–82.