Введение

В данной работе исследуются колебания свободного края линейки, закрепленной другим концом на поверхности, и возникающий вследствие возбуждения колебаний системы звук. С точки зрения сопротивления материалов подобная система с хорошей точностью описывается консольно-балочной моделью закрепления [1]. Консольной балкой называют упругое тело, жестко зафиксированное с одного конца и не имеющее опоры с другого. Для таких систем теория Эйлера-Бернулли изгиба тонких балок, в которой прогиб балки незначителен по сравнению с ее длиной, предполагает наличие дискретного набора собственных частот колебаний со своими пространственными формами.

Рассматриваемая в статье модель закрепления линейки удовлетворяет критериям применимости модели консольной балки, так как один ее конец был жестко закреплен на поверхности стола, а свободная часть линейки имеет длину, значительно превышающую толщину, из-за чего система может рассматриваться в приближении тонкой балки. Более того, малые деформации линейки по сравнению с длиной ее свободного края, наблюдаемые в наших экспериментах, обуславливают применимость теории Эйлера-Бернулли [1] малых изгибов.

Следует отметить, что в общей постановке задачи упругое тело способно испытывать несколько типов деформаций: продольные растяжение и сжатие, кручение, поперечный сдвиг и изгиб. Однако в рассматриваемой задаче наиболее существенным механизмом является именно изгиб, что связано с характером возбуждения системы. Отклонение свободного конца линейки от положения равновесия создает поперечную нагрузку, вызывающую распределенный вдоль длины балки изгибающий момент. При этом продольные деформации пренебрежимо малы, так как смещения происходят преимущественно перпендикулярно оси линейки, а крутильные частоты практически не возбуждаются из-за симметричности приложения нагрузки относительно центральной оси линейки, расположенной вдоль ее длины.

Таким образом, в приближении динамика системы может рассматриваться как чисто изгибная, что позволяет использовать классическую модель тонкой балки без необходимости учитывать более сложные эффекты, такие как вращательная инерция поперечных сечений и поперечный сдвиг, являющиеся существенными лишь при больших частотах, малых длинах свободного края или значительных толщинах балки.

Теория Эйлера-Бернулли основывается на предположении, что поперечные сечения балки остаются плоскими до и после деформации, а также сохраняют перпендикулярность нейтральной оси балки [1]. Данные рассуждения существенно упрощают описание изгибных колебаний и приводят к основному волновому уравнению четвертого порядка (описанному ниже в статье). Именно эта теория используется далее в работе для расчета собственных частот линейки и анализа спектрального состава излучаемого звука.

Дополнительно в начале работы исследовалось влияние способа возбуждения колебаний в системе на набор частот излучаемого звука. Экспериментально были рассмотрены 2 таких способа: отклонение линейки от положения равновесия и сброс попрыгунчика на свободный конец линейки. Было установлено, что при различных методах возбуждения колебаний в системе набор наблюдаемых мод остается одинаковым, что согласуется с теорией колебаний.

Рассматриваемая система линейна, так как в ней частоты не меняются со временем и не демонстрируют амплитудную зависимость, поэтому собственные моды определяются только геометрическими размерами линейки, ее материалом и условиями закрепления, а способ возбуждения влияет на распределение передаваемой системе энергии между частотами и на их амплитуду мод колебаний соответственно [1]. Поскольку первичной целью работы является исследование частотной характеристики звука системы, в работе был применен самый воспроизводимый метод — отклонение свободного края линейки с последующим отпусканием.

Таким образом, общей целью работы являются анализ механизма образования звука при колебаниях консольно-закрепленной линейки и исследование амплитудно-частотной характеристики данного звука.

Определение механизма образования звука

Первым этапом работы было определение объекта, являющегося непосредственным источником звука. Была выдвинута гипотеза о достоверности одного из двух предполагаемых механизмов звукообразования при колебаниях линейки: акустического излучения самой линейки или поверхности стола вследствие передачи ему энергии линейки.

Для проверки была проведена серия измерений громкости звука в пяти местах вокруг установки: микрофон располагался над и под свободным концом линейки, перед линейкой, над закрепленным концом линейки и над закрепляющей его на конце стола струбциной.

Эксперимент показал выраженную анизотропию звукового излучения. Максимальная громкость наблюдалась в областях, расположенным над и под свободным концом линейки, тогда как вблизи поверхности стола (над струбциной и закрепленным концом линейки) интенсивность звука была существенно ниже, а перед линейкой — умеренной. Полученные результаты позволяют предположить, что основной вклад в образование звука вносит именно линейка, что согласуется с рассуждениями об образовании по разные стороны от поверхности линейки при совершении ею колебаний переменных зон разрежения и сжатия [6], соответствующих локальным изменениям давления, из-за чего возмущения, возникающие за счет компенсации разницы давления, распространяются от балки в виде продольной звуковой волны [6].

Исследование механических колебаний линейки

Для исследования механических колебаний линейки с помощью скоростной камеры была снята зависимость координаты свободного конца линейки от времени, причем движение края в полной мере описывалось моделью затухающих колебаний [7]:

, (Уравнение 1)

где A — начальная амплитуда, γ — коэффициент затухания, ω — угловая частота, — начальная фаза.

Использование модели затухающих колебаний обусловлено тем, что реальная система не является консервативной: при движении часть механической энергии рассеивается за счет внутреннего трения материала линейки, передачи энергии в место закрепления, вязкого сопротивления воздуха и акустического излучения.

Аппроксимация экспериментальных данных с хорошей точностью соответствия теоретической модели, из чего можно сделать вывод, что в первом приближении суммарные диссипативные потери могут быть эффективно описаны одним коэффициентом затухания. По результатам обработки была найдена соответствующая механическая частота затухающих колебаний линейки, равная 39.1 Гц.

Спектральный анализ звука

Излучаемый колеблющейся линейкой звук записывался на профессиональный рекордер в комнате звукозаписи для избежания влияния шумов на получаемый спектр и далее обрабатывался в программе Audacity при помощи преобразования Фурье, которое позволяет представить временной сигнал как суперпозицию синусоидальных компонент различных частот [5]. Для линейных систем это особенно удобно, так как каждая собственная мода проявляется в спектре звука как отдельный пик.

Спектральный анализ звука показал наличие выраженных пиков мод на широком диапазоне частот, и первая наблюдаемая частота соответствовала вышеупомянутой механической частоте затухающих колебаний линейки.

Наличие множества частот соответствует теории колебаний консольной балки. В теоретической постановке подобная система обладает бесконечным набором собственных мод, каждая из которых обладает собственной пространственной формой изгиба. Например, вышеупомянутая механическая частота колебаний линейки является первым пиком в спектре звука. Именно первая мода обычно возбуждается наиболее эффективно при простом отклонении свободного конца, поскольку начальная форма деформации имеет наибольшее перекрытие с пространственной формой первой собственной моды (cм. рис. 1).

Рис. 1. Формы собственных мод консольной балки

Теоретически форма линейки в движении может быть представлена в качестве суперпозиции бесконечного числа независимых мод колебаний, однако в реальном эксперименте наблюдаются только те частоты, которым при возбуждении колебаний линейки передается достаточное для возникновения количество энергии, и амплитуда данных мод которых превышает чувствительность детектирования программы.

Кроме того, высокочастотные моды обычно возбуждаются сложнее по двум причинам: начальное отклонение линейки по форме сильнее похоже на низшие частоты, а также более высокие моды обладают более сложной пространственной структурой и требуют передачи энергии в более локализованные деформации системы.

Таким образом, наблюдаемый спектр интерпретируется как набор возбужденных собственных мод линейки.

Теория собственных колебаний консольной балки

Для теоретического описания частотного спектра звука колеблющейся линейки была использована классическая теория изгибных колебаний тонких балок Эйлера–Бернулли. Основным уравнением, описывающим малые поперечные изгибные колебания балки, является основное волновое уравнение теории балок Эйлера-Бернулли [3]:

(Уравнение 2)

где E — модуль Юнга материала балки, I — момент инерции поперечного сечения балки, — плотность материала балки, A — площадь поперечного сечения балки, — поперечное смещение точки балки.

Физический смысл данного уравнения интерпретируем далее по частям. Первое слагаемое, содержащее четвертую производную по координате, характеризует упругий отклик балки на изгиб и определяет ее сопротивление деформации: с увеличением произведения модуля Юнга и момента инерции, называемого изгибной жесткостью балки, сопротивление системы изгибу будет также увеличиваться. Второе слагаемое отвечает за инерционные свойства системы и описывает сопротивление массы балки ускоренному движению.

Для нахождения собственных частот консольной балки рассматривается задача о ее свободных колебаниях при заданных граничных условиях фиксации: на закрепленном конце линейки отсутствуют как смещение, так и поворот, тогда как на свободном конце отсутствуют изгибающий момент и поперечная сила. Данные граничные условия определяют допустимые формы колебаний системы.

Решение основного волнового уравнения в вышеописанных граничных условиях сводится к задаче с дискретными значениями, соответствующим собственным модам колебаний консольной балки.

В процессе решения данного уравнения возникает безразмерный коэффициент (где n — натуральный номер моды), значения которого определяются из характеристического уравнения, получаемого после подстановки граничных условий. Каждому значению данного коэффициента соответствуют собственная мода колебаний балки со уникальной пространственной формой.

Таким образом, формула собственных частот колебаний консольной балки выглядит следующим образом [1]:

Уравнение (3)

где L — длина свободного края линейки.

На основе данной формулы далее в работе закономерно будут рассмотрены и экспериментально проверены следующие основные зависимости: частоты определенного порядкового номера от длины свободного края линейки, частоты от ее порядкового номера, а также параметрически, для разных материалов линейки, частоты определенного порядкового номера от длины свободного края линейки при разных толщинах системы.

Исследование зависимости частоты определенного порядкового номера от длины свободного края

Одним из ключевых параметров, влияющих на собственные частоты колебаний консольной балки, является длина ее свободного края. Для экспериментальной проверки теоретической зависимости проводилась серия измерений, в которой длина свободного конца линейки последовательно изменялась от 2 до 20 см с шагом 2 см. Для каждого промежуточного значения длины записывался спектр излученного из-за колебаний линейки звука, после чего определялись количественные значения первых четырех наблюдаемых мод. Снимать значения более высоких частот было нецелесообразным, так как из-за описанных во введении причин погрешности определения мод давали существенное различие между измеренными и действительными данными.

Значения каждой моды при разных длинах свободного края соединялись кривыми на общем графике частоты определенного порядкового номера от длины свободного края. Эксперимент показал, что все исследуемые моды демонстрируют одинаковую качественную тенденцию: при увеличении длины свободного края частоты монотонно уменьшаются. Это полностью соответствует теоретическим предсказаниям согласно модели консольной балки.

Качественно данная зависимость объясняется изменением эффективной жесткости системы: при уменьшении длины балки возрастает ее изгибное сопротивление относительно характерного масштаба деформации, вследствие чего система становится динамически более жесткой, а ее собственные частоты увеличиваются (см. рис. 2).

Рис. 2. График зависимости частоты от длины свободного края линейки для первых пяти мод

Для проверки закона обратной квадратичной зависимости экспериментальные данные были линеаризованы. На большей части диапазона длины зависимость хорошо описывалась законом:

, (Уравнение 4)

Однако при малых длинах свободного края наблюдались заметные отклонения от теоретических соображений. На линеаризованном графике точки, соответствующие малым длинам, систематически выпадали из линейного тренда (см. рис. 3).

Рис. 3. Линеаризованный график зависимости частоты от длины свободного края линейки

На данный момент данное расхождение объясняется экспериментальным фактом. Вероятной причиной наблюдаемого отклонения является неполная применимость теории Эйлера-Бернулли при малых длинах балки, так как отношение изгиба к длине перестает быть несущественным.

Исследование зависимости частоты от ее порядкового номера

Далее проводилось сравнение экспериментально измеренных значений частот с теоретическими данными для нескольких начальных мод. Для первых частот наблюдалась высокая точность соответствия теоретических и экспериментальных значений, что подтверждает корректность интерпретации наблюдаемых пиков в спектре звука как собственных мод консольной балки, однако с увеличением номера моды начинают проявляться систематическое завышение теоретических точек (см. рис. 4).

Рис. 4. График зависимости частоты от ее порядкового номера для фиксированной длины свободного края линейки

Данный эффект на текущем этапе рассматривается как экспериментальный факт, возможным объяснением которого является нарушение границ применимости модели Эйлера-Бернулли для высокочастотных мод. Более точное описание модели может потребовать учет дополнительных эффектов, таких как, например, поперечный сдвиг или вращательная инерция.

Исследование влияния материала и толщины

Следующим этапом работы стало исследование влияния толщины линейки на значение первой частоты при фиксированной длине свободного края у разных материалов линейки. Распишем момент инерции прямоугольного сечения I [2] и его поперечную площадь A через ширину балки b и толщину h соответственно и подставим обе переменные в формулу собственных частот консольной балки (см. формула 3) для определения корреляции между собственной модой и толщиной балки:

(Уравнение 5)

(Уравнение 6)

Тогда будут верными следующие корреляции:

, (Уравнение 7)

, (Уравнение 8)

В работе сравнивались теоретические и экспериментальные значения первой частоты двух толщин линеек, единичной и двух вместе скрепленных, у двух материалов: пластика и дерева. Ниже приведена таблица 1 физических характеристик линеек обоих материалов.

Таблица 1

Физические характеристики пластиковой и деревянной линеек

Теоретические и экспериментальные значения частоты от длины свободного края линейки для единичной и удвоенной толщин линеек обоих материалов соотносятся с достаточно хорошей точностью, однако наблюдаются незначительные, но стабильные занижения экспериментальных значений частот линеек обоих материалов. Данный факт может быть связан с неоднородностью скрепленных линеек из-за наличия зазора между ними или проскальзывания. У линейки двойной толщины, вероятно, наблюдалось бы более высокая точность схождения теоретических и экспериментальных данных. Удовлетворительное соответствие полученных и ожидаемых данных означает возможность приближения реальной модели к расчетной с учетом поправок ввиду неоднородности действительной системы.

Исследование относительных амплитуд спектральных компонент

После анализа частотной характеристики звука была поставлена задача исследовать его амплитудную компоненту. Предсказать абсолютную громкость отдельной частоты не представлялось возможным в рамках нашего эксперимента, так как в отличие от частоты, амплитуда мод колебаний зависит от многих внешних факторов, например, от чувствительности микрофона, особенностей распространения звука в помещении или эффективности преобразования механических колебаний в акустические. По этой причине в работе был проведен анализ не абсолютного значения громкости, а разницы громкостей отдельных мод.

Звуковое давление пропорционально амплитуде, и нами было предположено, что степень пропорциональности величин α равна 1. На основе данной гипотезы была проведена следующая часть работы.

Громкость n-ной частоты выражается следующим образом через нормальное давление и давление n-ной моды [4]:

, (Уравнение 9)

Таким образом, искомая разность громкостей n-ной и m-ной частот выражается аналогичным образом через звуковое давление n-ной и m-ной частот и через коэффициенты разложения и , отвечающие за вклад своей моды в суммарное движение, n-ной и m-ной частот соответственно:

λ n — λm = - = = (Уравнение 10)

Таким образом, для исследования амплитуды спектральных компонент необходимо определить коэффициенты разложения q этих частот. Для начала рассмотрим пространственную форму n-ной моды , качественно характеризующую способ деформации балки, который система способна поддерживать без внешнего воздействия [4]:

, (Уравнение 11)

где

, (Уравнение 12)

и пространственную форму линейки [8]:

, (Уравнение 13)

Выразим коэффициент разложения n-ной моды через обе пространственные формы n-ной моды и линейки

, (Уравнение 14)

Для одновременного выполнения теоретической и экспериментальной составляющих исследования амплитуды собственных частот консольной балки был проведен следующий эксперимент: в статичном положении отгиба были сняты фотографии профиля линейки для дальнейшей аппроксимации ее формы по количеству точек, достаточному для достижения высокой точности приближения к реальной форме, для выполнения теоретической компоненты задачи, а при отпускании линейки был снят звук последующих колебаний линейки для выполнения экспериментальной компоненты задачи.

При сравнении расчетного и экспериментального спектров было установлено, что при α = 1 модель с хорошей точностью воспроизводит положения спектральных пиков и качественное соотношение их амплитуд, однако количественно замечено серьезное занижение теоретических пиков. При подстановке же α = 0.5 наблюдалось почти полное количественное схождение с экспериментом (см. рис. 5)

Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристика звука

На данный момент факт пропорциональности давления корню амплитуды рассматривается как экспериментальный, и его возможное объяснение может быть связано с нелинейностью механико-акустического преобразования и особенностями пространственного излучения мод.

Исследование затухания частот и его коэффициента

Заключительным этапом работы стал анализ затухания мод и его количественное описание коэффициентом затухания. Наличие затухания проявляется в частотной области через конечную действительную ширину спектральных пиков. В идеальной незатухающей системе каждая мода соответствовала бы бесконечно узкому спектральному пику, в то время как в реальной системе каждый пик имеет конечную измеряемую ширину [9].

Для количественного анализа коэффициент затухания традиционно принимался за ширину пика на его полувысоте [9]. При подстановке коэффициентов разложения мод в формулу громкостей (см. формула 14), было получено, что полувысота пиков составляет 6 дБ — именно на данном значении относительно верхнего конца пиков и определялись их ширины.

Экспериментально было выявлено, что коэффициент затухания изменяется с номером моды сравнительно слабо (см. рис. 6). В пределах точности измерений выраженной зависимости коэффициента затухания от номера моды обнаружено не было. Это может свидетельствовать о том, что основные механизмы диссипации энергии в рассматриваемом диапазоне частот воздействуют на все наблюдаемые моды примерно одинаковым образом.

Рис. 6. График зависимости ширины спектральных пиков от порядкового номера его моды

Заключение

Таким образом, в работе была построена согласованная механико-акустическая модель звукообразования колеблющейся линейки, закрепленной консольно-балочным способом. Было установлено, что частотный спектр излучаемого звука определяется набором возбужденных собственных мод консольной балки и с хорошей точностью описывается теорией Эйлера–Бернулли в ее границах применимости.

Экспериментально подтверждены зависимости частоты от ее порядкового номера и частоты определенного порядкового номера от длины свободного края линейки и ее толщины для пластиковой и деревянной линеек: частота пропорциональна ее порядковому номеру, частота определенного порядкового номера обратно пропорциональна длине свободного края линейки, частота пропорциональна толщине линейки.

Были исследованы относительные амплитуды спектральных компонент через модовое разложение и затухание мод колебаний, описанное количественно через коэффициент затухания.

Экспериментально показано, что в пределах точности измерения зависимости между коэффициентом затухания моды и ее порядковым номером выявлено не было.

Полученные расхождения между теоретическими и экспериментальными данными для высоких мод и модели громкости, в частности степенной связи звукового давления и амплитуды, представляют интерес для дальнейшего исследования и могут быть связаны с эффектами, выходящими за рамки классической модели тонкой балки.

Литература:

1. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко, Д. Х. Янг, У. Уивер. — 4-е изд. — М.: «Машиностроение», 1984. — 470 с. — Текст: непосредственный.
2. Тимошенко, С. П. Механика материалов / С. П. Тимошенко, Дж Гере. —1976. — 672 с. — Текст: непосредственный.
3. Mauro, Caresta Vibrations of a Free-Free Beam / Caresta Mauro. — 6 с. — Текст: непосредственный.
4. Алешкевич, В. А. Курс общей физики. Механика / В. А. Алешкевич, Л. Г. Деденко, В. А. Караваев. — М.: Физматлит, 2011. — 472 с. — Текст: непосредственный.
5. Ronald, N. B. The Fourier Transform and its Applications / N. B. Ronald. —, 1986. — Текст: непосредственный.
6. Fundamentals of Acoustics / L. Kinsler, A. Frey, A. Coppens, J. Sanders. — 4-е изд. — Текст: непосредственный.
7. Goldstein, H. Classical Mechanics / H. Goldstein, C. Poole, J. Safko. — 3-е изд. —: Addison Wesley, 2001. — 638 с. — Текст: непосредственный.
8. Rao, S. S. Mechanical Vibrations / S. S. Rao. — 4-е изд. —: Pearson, 2017. — 1084 с. — Текст: непосредственный.
9. Inman, D. J. Engineering Vibration / D. J. Inman. — 5-е изд. —: Pearson, 2014. — 55 с. — Текст: непосредственный.