Применение методов математического и системного анализа в прогнозировании тенденций современной экономики

Одной из важных задач в экономике является задача прогнозирования. Практически любой параметр экономической системы можно спрогнозировать, чем и занимаются аналитики бирж, финансисты, игроки валютного рынка, банкиры и многие другие. При этом под прогнозом понимается научно обоснованное, то есть основанное на системе доказательств, которые устанавливают причинно-следственные связи, установление исходов развития явлений и процессов в более или менее отдаленном будущем. Использование методов системного, математического анализа и экспертных оценок в прогнозировании помогает достигать поставленных целей наиболее точно.

Ключевые слова: метод, анализ, прогнозирование, экспертные оценки, экономика, экономические процессы

One of the important tasks in Economics is the problem of forecasting. Virtually any parameter of the economic system can be predicted, and engaged in intelligence exchanges, financiers, currency market players, bankers and many others. In this case, a forecast refers to a science-based, based on the evidence that establish a causal relationship, the establishment of outcomes of the development of phenomena and processes in a more or less distant future. The use of methods of system and mathematical analysis, and expertise in forecasting helps to achieve the goals most accurately.

Keywords: method, analysis, forecasting, expert estimation, Economics, economic processes

Исторически определение математического и системного анализа сложилось как изучающее дифференциальное и интегральное исчисление. Основные и широко известные ученые основоположники математического анализа — Лейбниц, Эйлер, Лагранж — на работах, которых основан современный математический анализ. Математический анализ широко используется с другими дисциплинами: линейной алгеброй, теорией вероятностей, аналитической геометрией. В развитие классического математического анализа были сформулированы такие направления как комплексный анализ, которым занимался ученый-математик Коши. Пуассон и Фурье продолжили свои исследования в гармоническом анализе. Каким же образом математический и системный анализ получил свое развитие в целом в экономической науке и в менеджменте в частности.

Одной из важных задач в менеджменте является задача прогнозирования. Практически любой параметр экономической системы можно спрогнозировать, чем и занимаются аналитики бирж, финансисты, игроки валютного рынка, банкиры и многие другие. При этом под прогнозом понимается научно обоснованное, то есть основанное на системе доказательств, которые устанавливают причинно-следственные связи, установление исходов развития явлений и процессов в более или менее отдаленном будущем.

Для прогнозирования методами математического анализа применяют: а) классические полиномы Лагранжа, Ньютона, Чебышева; б) метод канонических разложений; в) автокорреляционные методы; г) авторегрессионные методы; д) комплексные методы.

Полином суть есть отражение кривых какого-либо вида, в простейшем варианте — прямой. Поэтому интерполяционными полиномами удобно как описать тенденцию, так ее и спрогнозировать в следующие точки. Методы канонических разложений относят к случайным процессам и применяют в дискретных рядах. Автокорреляционные методы применяют для описания таких зависимостей, значения которых в будущем зависит от значений в прошлом. Например, эффективность рекламных вложений в будущих периодах зависит от вложений в прошлых периодах, так как в рекламе есть накопительный эффект. Авторегрессионные модели описывают такие случайные процессы временных рядом, когда величина в настоящее время зависит от этой же величины в предыдущий период. Например, спрос на товар сегодня зависит от спроса на товар в предыдущие периоды. Так, например, работает мода на товары.

Дальнейшее развитие численных методов в экономике создало специфические математические методы, основанные на методах исчисления математического анализа: эконометрия и исследование операций. Эти две дисциплины наиболее известны широкому кругу экономистов и чаще всего применяются в изучении экономических явлений и процессов. Эконометрика (или эконометрия) — наука, изучающая математический связи экономических показателей с помощью статистических методов, в основе которого лежит метод наименьших квадратов.

Изучение массы статистических данных началось с политики, а именно с политической арифметики, для изучения национального дохода еще в ХVII веке. Но в 1930-х годах эконометрия выделилась в отдельную науку, чему очень способствовал ученый Фишер. Эконометрика изучала связи между экономическими явлениями, изучала свойства таких явлений, например такие, как цикличность, сезонность. Позже, в 1950–1960-х годах эконометрика, как статистический метод, широко начал применяться в больших бюрократических корпорациях. Появилось множество товаров, массовое производство и массовое потребление вынуждало предпринимателей подробно анализировать происходящее, для принятия более точных решений. С развитием компьютерной техники, эконометрия широко применяется в компаниях любого профиля, когда скорость вычислений прикладными программными продуктами типа Statistica, Statgraph, R и множеством других моделирование стало доступно любому менеджеру.

Эконометрия широко применяется как метод при изучении спроса и предложения, анализа ассортимента, прогнозировании. Другим широко известным методом является исследование операций. Задачи и методы исследования операций разбиваются на определенные классы в зависимости от типа операции или процесса, для анализа которой они используются. В настоящее время наибольшее внимание исследователей привлекает анализ следующих типов операций: 1) операции массового обслуживания; 2) операции управления запасами; 3) операции установления износа и замены оборудования; 4) операции распределения; 5) операции составления расписаний и календарного планирования; 6) конфликтные ситуации.

Для разрешения конфликтных ситуаций применяют методы теории игр. Теория игр — теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта и неопределенности. При этом конфликт не обязательно понимается как антагонистический; в качестве конфликта можно рассматривать любое разногласие. Большинство принципов оптимального поведения игроков и коалиций, выработанные теорией игр, имеет характер принципов устойчивости: отклонение от ситуации, сложившейся в результате оптимального поведения, либо должно оказаться невыгодным само по себе, либо же после такого отклонения должна появиться возможность с выгодой перейти к новой ситуации, достижимой при помощи оптимального поведения. Теория игр и исследование операций относятся теории массового обслуживания — прикладной области теории случайных процессов.

Методы анализа в экономике значительно шире описанных выше. К ним так же относятся такие группы как: задачи линейного программирования, где широко известны симплекс-метод и транспортная задача; методы принятия решений: критерий Байеса, критерий Сэвиджа, критерий азартного игрока, критерий произведений, критерий Гурвица; факторный анализ, где применяется метод главных компонент: кластерный анализ: иерархический метод и метод k-средних.

Прогноз — это научно-обоснованное суждение о вероятных изменениях технико-экономического, технологического, социального состояния объекта управления или его отдельных частей.

Особенности прогнозирования: альтернативность и многовариантность направлений. Альтернативность — это возможность выбора единственного решения из взаимоисключающих возможностей. Составление прогноза о состоянии объекта в будущем провоцирует проводить научные исследования закономерностей и тенденций развития сообщества, альтернативных направлений развития научно-технического прогресса, возрастающих социальных потребностей, инновационных технических возможностей производств.

Экспертные методы основаны на идеях, в основе которых лежит неформальный подход к решению проблемы. Причиной тому служит то, что во многих практических задачах не представляется возможным полностью формализовать проблему при системном подходе к их решению так, чтобы применить известные математические модели для ее формального решения. Такие задачи носят название слабоструктурированные.

Прогнозирование реализуется на основании суждений эксперта или их группы относительно конкретной задачи. Экспертами могут быть: высококвалифицированные специалисты, которые могут сделать достоверный вывод об объекте прогнозирования.

Суждение специалиста — это итог логического анализа, обобщения таких процессов, которые касаются прошлого, настоящего и будущего, на основе личного опыта, квалификации и интуиции.

Метод экспертной оценки имеет несколько видов: индивидуальное экспертное оценивание; коллективная экспертная оценка; метод психоинтеллектуальной генерации идей; метод экспертных комиссий; метод анализа иерархий.

Отдельным блоком принято рассматривать методы моделирования на основа экспертных оценок. Особо на сегодняшний день получили развитие методы нечеткой логики (fuzzy logic).

Методом попарного сравнения принято считать метод анализа иерархий.

Пусть А1, А2,..., Аn — набор факторов. Тогда для определения структуры объекта заполняется матрица парных сравнений, где ее элементы aij, причем:

, где доля фактора Аi.

Если значение неизвестные заранее, то попарные сравнения элементов производятся с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале, а затем решается проблема нахождения компонента . Тогда, нужно найти значение вектора (). Отметим, что эксперт, при сравнении n факторов действительно сравнивает количество раз, равное величине: n*(n-1)/2.

Соотношение aij = aik * akj справедливо для всех значений индекса k; проводится сравнение факторов Аi и Аj через соответствующие сравнения каждого фактора с фактором Ак. Отметим, что сделанное замечание, позволяет утверждать, что эксперт делает значительно больше сравнений, чем показывает первая оценка n*(n-1)/2.

Искомый вектор является собственным вектором матрицы парных сравнений, которые соответствуют максимальному собственному числу (). В этом случае отыскивается векторное управление: .

На последнем шаге метода парного сравнения альтернатив производится иерархический синтез, который заключаются в последовательном определении векторов приоритетов относительно элементов Аi, которые находятся на всех иерархических уровнях, кроме последнего.

Вычисление векторов приоритетов делается в направлении от нижних уровней к верхнему учитывая конкретные связи между элементами, принадлежащими к разным уровням. Вычисление производится путем умножения векторов и матриц. При этом, результат — это вектор глобальных приоритетов сопоставимых альтернатив (). Итоговый анализ значений окончательного вектора указывает, наиболее важный критерий соответствует максимальное значение результирующего.

Важно отметить, что метод анализа иерархий весьма просто в применении для большинства практических задач, что позволяет использовать его при анализе результатов экономической деятельности на предприятиях.

Для применения метода анализа иерархий достаточно квалификации аналитика, что позволит успешно решить поставленные руководством задачи.

Практическое применение прогнозирования на основе экспертных оценок

Рассмотрим пример применения метода анализа иерархий. Допустим, текстильному предприятию по производству тканей необходимо рассмотреть все альтернативные формы поведения на конкурентном рынке и установить наиболее эффективную стратегию поведения, по мнению экспертов. Экспертами в данном случае могут выступать: сотрудники предприятия; партнеры, поставщики, крупные заказчики, постоянные клиенты.

Рассматривая каждую альтернативу, необходимо проанализировать все её достоинства и недостатки. Обычно при решении какой-либо проблемы выявляется очень много альтернатив, которые в процессе разработки отсеиваются по разным причинам. Часто случается так, что остаётся только одна альтернатива. Но лучше, если их будет много.

Гипотеза о факторах, влияющих на состояние внешней среды, позволила сформировать следующий набор критериев и их альтернатив:

1. рыночная конъюнктура :

 соотношение спроса и предложения на рынке текстильных изделий ;

 деятельность операторов оптового рынка текстильных товаров, в том числе хлопковолокна ;

 влияние экономической стабильности в России ;

2. действия конкурентов :

 объемы наращивания производственных мощностей ;

 возможности транспортировки готовой продукции к месту реализации ;

 выпуск новых видов продукции ;

 ассортимент производимых изделий ;

 уровень затрат на рекламу ;

3. изменение предпочтений конечных потребителей :

 присутствия на рынке товаров иностранных производителей ;

 качество производимой продукции ;

 уровень цен ;

4. производственно-экономические характеристики предприятия :

 ожидаемый доход от реализации ;

 уровень цен на сырье и материалы ;

 возможность транспортировки готовой продукции ;

 возможность наращивания производственных мощностей ;

 наличие квалифицированного персонала .

После проведения экспертизы матрицы сравнения важности факторов и альтернатив, имеют следующий вид (табл. 1 — 5).

Таблица 1

Матрица попарного сравнения важности факторов

Таблица 2

Матрица попарного сравнения важности возможных альтернатив для критерия

Матрица попарного сравнения важности возможных альтернатив для критерия

Таблица 4

Матрица попарного сравнения важности возможных альтернатив для критерия

Таблица 5

Матрица попарного сравнения важности возможных альтернатив для критерия

Результаты применения метода анализа иерархий представлены в таблице 6.

Таблица 6

Результаты применения метода анализа иерархий

Таким образом, с помощью МАИ получен обоснованный набор факторов, влияющих на достижение цели, поставленной перед проведением рекламной кампании:

 деятельность операторов оптового рынка текстильных товаров, в том числе хлопковолокна ;

 соотношение спроса и предложения на рынке изделий из хлопковолокна ;

 ожидаемый доход от реализации ;

 уровень затрат на рекламу ;

 ассортимент производимых изделий .

Для методов оценки качества используются методы нечеткой логики.

Одним из важнейших этапов определения качества является разработка критериев оценки их качественного уровня. Одним из наиболее перспективных направлений научных исследований в области анализа, прогнозирования и моделирования социально-экономических явлений и процессов является нечеткая логика (fuzzy logic). Нечетко-множественные модели, часто представлены в виде программного обеспечения для персональных компьютеров, позволяет как менеджерам различного уровня, так и владельцам предприятий принимать экономически грамотные решения.

Рассмотрим пример применения методов нечеткой логики для оценки качества обслуживания на предприятии. Разработать критерии оценки качества обслуживания предприятия предлагается методом нечеткой классификации, который позволит отнести объект, заданный вектором экспертных оценок качества обслуживания в один из классов.

Математическая теория нечетких множеств позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы относительно их низкого или высокого уровня, оказывается особенно полезным для процессов определения стратегий развития, поскольку: на их ход влияют объективные и субъективные факторы; они являются слишком сложными для формализации и анализа только с помощью общепринятых количественных методов; доступные источники информации интерпретируются недостаточно точно, качественно и выразительно; по технологии процессы формирования стратегий совпадают с процессами человеческого мышления и естественных языков.

Наличие математических средств отображения нечеткости исходной информации позволяет построить модели, адекватные реальности. Для пространства функции принадлежности . В общем случае нечеткое множество определяется как:

(1)

Функция принадлежности класса γ определяется как:

(2)

Для определения границ показателя возможности предприятия по обеспечению качества облуживания по качественным уровням «недостаточный», «достаточный» целесообразно построить функции принадлежности, для чего осуществлен опрос 15 экспертов, которые отметили в диапазоне от 0,1 до 1,0, границы низкого уровня присвоением 1 балла, и высокого уровня присвоением 2 баллов. Результаты опроса экспертов представлены в табл. 7.

Таблица 7

Результаты опроса экспертов, для определения недостаточного идостаточного уровня показателя качества обслуживания

Для оценки согласованности мнений экспертов применим энтропийный коэффициент конкордации [2]:

,(2)

где Н — энтропия,

— максимальное значение энтропии.

где

— оценка вероятности j-ранга, которые присваиваются i- объекту.

m — количество экспертов.

количество экспертов, присвоили оценку j-ранга i- объекту.

,(4)

где n — количество рангов.

Результаты расчетов энтропийного коэффициента конкордации проведены в табл. 8.

Таблица 8

Результаты определения энтропийного коэффициента конкордации

Согласованность мнений экспертов определена энтропийным коэффициентом конкордации, и имеет значение 0,847: .

Графическое распределение функций принадлежности показателя качества обслуживания отражено на рис. 1.

Рис. 1. Функции принадлежности качества обслуживания

Расчет точек пересечения найдено при интерполяции кривых до значений координат, можно считать прямыми. Таким образом, были построены системы одновременных линейных уравнений.

Координаты точки недостаточного уровня условий внешней среды (0,5; 7) и (0,6; 13).

Координаты точки достаточного уровня условий внешней среды (0,5; 8) и (0,6; 2).

Система одновременных линейных уравнений для функции принадлежности качества сервисного облуживания:

Координата точки пересечения этих двух прямых в значении (0,51; 7,6).

Шкала количественно-качественных характеристик показателя качества обслуживания представлены в табл. 9, где количественное значение соответствует точкам функций принадлежности (рис. 1).

Шкала количественно-качественных характеристик качества обслуживания

Таким образом, оценивая качество обслуживания конкретного предприятия достаточно определить диапазон, в который он входит, чтобы установить достаточный или недостаточный это уровень.

В каких же областях менеджмента применяют эти методы?

Собственно, в анализе систем и процессов, установлении связей между показателями, для чего используют факторный анализ; группировки объектов по признакам — кластерный анализ; критерии принятия решений для выбора управленческого решений, экспертные методы для качественной и количественной обработки результатов опросов и анкет.

Абсолютно все методы применимы при реализации основных функций менеджмента: планирования, организации, мотивации, контроля и координации.

В широком смысле, анализ фокусируется на структуре и показывает, как работает система. Синтез сосредотачивается на функции и показывает почему она так функционирует. Поэтому анализ дает знание, синтез — понимание. Первый позволяет описывать, второй — объяснять.

Будущее за теми предприятиями, менеджеры которых будут владеть методами анализа и синтеза, так как высокая доступность информации и технологий уравнивает производителей в возможностях завоевания рынка.

Литература:

1. Лопатников Л. И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — 5-у изд., перераб. и доп. — М.: Дело, 2003. — 520 с.
2. Моделирование процессов принятия решений в производственно-экономической системе / Макаров К. Г., Очкас М. В., Петренко В. Л., Ремпель А. Г.; Донец. гос. ун-т. — Донецк: ДонГУ, 1998. — 27 с.
3. Недосекин А. О. Применение теории нечетких множеств к задачам управления финансами [Электронный ресурс] / А. О. Недосекин // Аудит и финансовый анализ. — 2000. — № 2. — Режим доступа: http://www. cfin.ru/press /afa/2000–2/08.shtml
4. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. — М.: Наука, 1981. — 184 с.
5. Шапиро Л. Д. и др. Экономико-математическое моделирование / Л. Д. Шапиро, Г. В. Виноградов, Л. М. Лотош; Под ред. Л. Д. Шапиро; Том. гос. им. Куйбышева. — Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1987. — 247 с.