От физических открытий — к математическим вызовам

В конце 1938 года в химической лаборатории Отто Гана и Фрица Штрассмана произошло событие, изменившее ход истории. Облучая уран нейтронами, физики обнаружили барий — элемент с вдвое меньшим атомным номером. Сомнений не оставалось: ядро урана не просто захватывает нейтрон, а раскалывается на две примерно равные части. Этот процесс, названный делением, был тут же объяснён Лизой Мейтнер и Отто Фришем. И тут же родилась идея, способная привести как к невиданному источнику энергии, так и к оружию абсолютной разрушительной силы, — цепная реакция.

Ключевой факт: при делении одного ядра урана‑235 вылетает в среднем 2-3 новых нейтрона. Каждый из них способен вызвать деление соседнего ядра. Казалось бы, процесс должен лавинообразно нарастать. Но в реальности нейтроны могут поглотиться (например, ядром урана‑238), вылететь наружу из куска урана или просто пролететь мимо. Так перед физиками встал первый важный вопрос: при каких условиях число нейтронов в активной зоне будет не падать, а расти?

Ответ пришёл в виде понятия критической массы. Если кусок делящегося материала слишком мал, большинство нейтронов покидают его, не встретив новое ядро. Если же размеры достаточны, каждый акт деления порождает в среднем хотя бы один следующий акт — реакция становится самоподдерживающейся. Математически это условие выражается через так называемый коэффициент размножения нейтронов k . При k < 1 реакция затухает, при k = 1 идёт стационарно (ядерный реактор), при k > 1 нарастает взрывным образом.

Но физики предоставили лишь качественную модель. Чтобы превратить её в цифры — вычислить ту самую критическую массу, предсказать поведение нейтронного потока, оценить энергию взрыва, — потребовался мощный математический аппарат. Этого аппарата в середине XX века ещё не существовало в готовом виде: его предстояло создать заново.

Как математика обрела голос в атомном проекте

Перед математиками, привлечёнными к советскому атомному проекту (в США аналогичную работу вела группа Джона фон Неймана и Станислава Улама), стояли задачи, которые сегодня мы отнесли бы к вычислительной физике. Поведение нейтронов в веществе описывается кинетическим уравнением — интегро-дифференциальным уравнением в частных производных. Движение ударной волны, сжатие плутониевой сферы, выделение тепла — всё это нелинейные системы, которые в аналитическом виде не решаются. Никаких суперкомпьютеров тогда не было; в лучшем случае — арифмометры и логарифмические линейки.

Тем не менее выдающиеся умы нашли выход. Михаил Келдыш, Леонид Канторович, Андрей Тихонов, Сергей Соболев создали то, что позже назовут вычислительной математикой. Вместо поиска точных формул они разработали численные методы: конечно-разностные аппроксимации, итерационные алгоритмы, методы прогонки. Группа Тихонова в 1948 году дерзнула выполнить прямой численный расчёт ядерного взрыва. Лев Ландау, услышав об этом, назвал затею научным подвигом. Подвиг действительно состоялся: к началу 1949 года расчёты были завершены, и они идеально легли в основу первой советской атомной бомбы РДС-1.

Таким образом, математика не просто помогла физике — она дала инженерам точные количественные ответы: сколько килограммов плутония нужно, какой должна быть форма заряда, как долго продлится цепная реакция. Без этих расчётов атомный проект остался бы собранием красивых, но бесполезных идей. Математика стала тем языком, на котором физические открытия переводились в рабочие чертежи.

Современный взгляд: примеры из ЕГЭ по физике и математике

Сегодня те знания, которые когда-то были доступны лишь избранным физикам-ядерщикам, в упрощённом виде вошли в школьную программу. Задачи ЕГЭ по физике и математике на тему цепной реакции — это прямая дань тому самому историческому симбиозу. Рассмотрим два примера, которые могли бы встретиться на экзамене.

Пример из ЕГЭ по физике (тема «Ядерные реакции, коэффициент размножения нейтронов»)

Условие. В некоторой активной зоне коэффициент размножения нейтронов k = 1,05. Начальное число нейтронов N ₀ = 1000. Каждый цикл (поколение) длится τ = 10 ^–7 с. Через какое время число нейтронов достигнет значения N = 10 ⁶ ? Определите, во сколько раз изменится энерговыделение за это время. Считать, что при каждом делении выделяется энергия E = 200 МэВ.

Решение (физико-математическая часть).

После одного поколения число нейтронов станет , после двух — , после n поколений — .

Находим n из уравнения: ⇒ ⇒ .

Вычисляем: и ⇒ . Так как поколения целые, берём n = 142.

Время (менее 15 микросекунд!).

Энергия, выделившаяся за это время: . Если бы реакции не было ( k = 1), выделилось бы всего . Рост в 1000 раз — наглядное доказательство лавинообразности.

Математика здесь: геометрическая прогрессия и логарифмы.

Пример из ЕГЭ по математике (профильный уровень, задача на оптимизацию или на показательный рост)

Такие задачи часто маскируются под «реальные приложения». Вот адаптированный вариант.

Условие. При создании атомной бомбы требуется, чтобы за время порядка 10 ^–7 с (время одного поколения нейтронов) число делений увеличилось с N ₀ до N , причём . Каким должен быть коэффициент размножения k (считается постоянным)? Запишите формулу для k и вычислите его приближённо, используя натуральные логарифмы.

Решение.

, где n — число поколений. По условию, (если взять t = 10 ^–7 с, то n = 1). Но это дало бы — нереально с точки зрения физики: k не может быть больше 2–3. Значит, время нарастания больше. Пусть, например, t = 10 ^–5 с (как в предыдущей задаче), тогда поколений.

Тогда ⇒ .

Вычисляем:

Отсюда: ⇒ .

Именно такие значения (1,2–1,3) характерны для взрывной цепной реакции.

Математика в этом примере: показательная функция, натуральные логарифмы, приближённые вычисления.

Итог

История создания атомной бомбы — это история стремительного перевода физической идеи на язык дифференциальных уравнений, конечных разностей и логарифмов. Математика не просто обслуживала физику — она была её равноправным соавтором. И сегодня, когда школьники на ЕГЭ решают задачи про рост нейтронной популяции, они невольно прикасаются к тому самому научному подвигу, который в середине XX века сблизил две великие науки навсегда.

Литература:

1. Атомный проект СССР. Документы и материалы: в 3 т. / Российская академия наук; отв. сост. Л. И. Кудинова. — Москва : Наука, 1998. — Т. 1, ч. 1: 1938–1945. — 1998. — 431, [1] с. — ISBN 5-02-015008-8.

2. Иойрыш, А. И. Советский атомный проект. Судьбы, документы, свершения / А. И. Иойрыш. — Москва : ЮНИТИ-ДАНА, 2008. — 356 с. — ISBN 978-5-238-01514-9.

3. Горобец, Б. С. Об истории Атомного проекта СССР: Ядерный реванш Советского Союза. Книга первая / Б. С. Горобец. — Москва : URSS, 2026. — 360 с.

4. Атомный проект СССР: Атомная бомба. 1945–1954: в 7 кн. — Саров : РФЯЦ — ВНИИЭФ, 2000. — Кн. 3. — 215 с.

5. РФЯЦ — ВНИИЭФ (Предыстория, история создания и развитие). Первый этап отечественного атомного проекта / под ред. Р. И. Илькаева. — 2-е изд., испр. и доп. — Саров : РФЯЦ — ВНИИЭФ, 2000. — 215 с.

6. Богатов, Е. М. О вкладе математиков первой величины в советский атомный проект / Е. М. Богатов, В. П. Богатова // Прикладная математика и физика. — 2022. — Т. 54, № 2. — С. 98–113. — URL: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=pmf&paperid=343 (дата обращения 18.06.2026).

7. Соболев, С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев. — Москва : Наука, 1950. — 255 с.

8. Пространство Соболева // Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт» для страны и мира. — URL: https://nrcki.ru/product/press-nrcki/-48161 (дата обращения 18.06.2026).

9. Келдыш, М. В. Научные труды в области атомной энергетики и вычислительной математики // Вестник РАН. — 2021. — Т. 91, № 2. — С. 190–194.

10. Канторович, Л. В. Биография // История Росатома. — URL: https://www.biblioatom.ru/persons/kantorovich_leonid_vitalevich/ (дата обращения 18.06.2026).

11. Тихонов, А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации / А. Н. Тихонов // Доклады АН СССР. — 1963. — Т. 151, № 3. — С. 501–504.

12. Канторович, Л. В. Методы приближенного решения уравнений в частных производных / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. — Москва; Ленинград : Гостехиздат, 1936. — 484 с.

13. Вычислительная математика // Википедия. — URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Вычислительная_математика (дата обращения 18.06.2026).

14. ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений». — URL: https://fipi.ru/ (дата обращения 18.06.2026).