Методическая разработка по математике. Тема: «Решение показательных уравнений и неравенств»
Автор: Киренкова Татьяна Алексеевна
Рубрика: Методика преподавания учебных дисциплин
Опубликовано в Школьная педагогика №1 (8) март 2017 г.
Дата публикации: 28.01.2017
Статья просмотрена: 2909 раз
Библиографическое описание:
Киренкова, Т. А. Методическая разработка по математике. Тема: «Решение показательных уравнений и неравенств» / Т. А. Киренкова. — Текст : непосредственный // Школьная педагогика. — 2017. — № 1 (8). — С. 64-72. — URL: https://moluch.ru/th/2/archive/53/1923/ (дата обращения: 19.02.2025).
Данное учебно-методическое пособие содержит материал, расширяющий границы учебника, а также дополнительные сведения, необходимые для учащихся и учителя в их совместной деятельности. Особое место отводится методическим рекомендациям по изучению решения уравнений и неравенств данной темы, даются указания по работе с ними (алгоритм) и решения наиболее трудных из них с подробной записью преобразований. Изложение материала ведется с соблюдением примерного планирования учебного материала. Включены задания для самостоятельного решения.
Цели:
− Главная цель — развить навык в решении показательных уравнений и неравенств, предусмотренных уровнем обязательной подготовки.
− Увеличить объём умений и навыков за счёт упражнений «нового» типа.
− Продемонстрировать образцы логических приёмов для запоминания и воспроизведения учащимися.
− «Вооружить» путями поиска решений для дальнейшей самостоятельной работы, обеспечить эффективную организацию этой работы с учётом индивидуальных способностей и уровня математической подготовки учащихся.
− Активизировать познавательную деятельность учащихся для творческого применения полученных знаний в новых условиях так, чтобы учащиеся смогли обобщить и перенести данные приёмы и алгоритмы на изучение других разделов курса математики.
- Общий вид показательных уравнений. Характеристика. Теоремы.
Показательными уравнениями называют уравнения вида:af(x) = ag(x) (ах = аb), где а > 0, а ≠1, х — неизвестноеиуравнения, сводящиеся к этому виду (неизвестное содержится в показателе степени).
Рассмотрим и решим простейшие показательные уравнения графическим способом:
a) 2x = 1
b) 2x = 4
c) 2x = 8
d) 2x =
Решение:
a) Построив в одной системе координат графики функций y = 2x и у = 1, замечаем, что они имеют одну общую точку (0;1).
Значит, уравнение 2x = 1 имеет единственный корень х=0.
Итак, из уравнения 2x = 20 мы получили х=0.
b) Построив в одной системе координат графики функций y = 2x и у = 4, замечаем, что они имеют одну общую точку (2;4).
Значит, уравнение 2x = 4 имеет единственный корень х=2.
Итак, из уравнения 2x = 22 получили х=2.
c) и d) Исходя из тех же соображений, делаем вывод (теперь для отыскания корня графики можно и не строить).
2x = 8 и 2 x = , т. к.
=
=
2x = 23 2x = 2–4
х = 3 х = -4
В основе всех выводов при решении уравнений лежало свойство монотонности (возрастания) функции y = 2x и теоремы о единственности корня.
В указанной инструкции (самостоятельно) рассмотрите решение уравнений:
a) = 1
b) = 3
c) = 9
d) =
Убедитесь, чторешениями будут следующие числа:
a) х= 0
b) х= -1
c) х= -2
d) х= 2
В данных примерах выводы сделаны на основе свойства монотонности (убывания) функции y = итеоремы о единственности корня. Этот метод решения уравнений называется функционально-графический. Он основан на использовании графических иллюстраций:
1) построить графики функций левой и правой частей уравнения;
2) найти общую точку пересечения графиков.
Убедитесь самостоятельно, что уравнение вида: 2x = -4 не имеет корней.
Следовательно, мы убедились в справедливости двух теорем:
Теорема 1: Если а > 1, то равенство аt = аsсправедливо тогда и только тогда, когдаt=s.
Теорема 2: Если 0 < а < 1, то равенство аt = аsсправедливо тогда и только тогда, когдаt=s.
Опираясь на теоремы 1 и 2 мы можем сформулировать следующее утверждение:
Теорема: Показательное уравнение af(x) = ag(x) (где а > 0, а≠ 1) равносильно уравнению (x) = g(x).
Приведём примеры:
Пример 1. Решить уравнения:
a) 22х-4 = 64
Решение:
Представим 64 как 26, перепишем заданное уравнение в виде:
22х-4 = 26
Это уравнение равносильно уравнению
2х— 4 = 6
2х = 6 + 4
2х = 10
х = 5
Ответ: 5
b) =
Решение:
Представим через степень числа
:
=
=
=
получим:
=
Это уравнение равносильно уравнению:
2х— 3,5 = 0,5
2х = 0,5 + 3,5
2х = 4
х = 2
Ответ: 2
c) =
Решение:
Заданное уравнение равносильно уравнению:
х2–3х = 3х— 8
Далее имеем:
х2–3х— 3х + 8 = 0
х2–6х + 8 = 0
D = b2–4ac; D = 36–32 = 4
=
;
=
=
;
=
=
;
=
Ответ: 2; 4.
Пример 2. Решить уравнения:
a) = 1
Решение:
Необходимо уравнять основания. Мы знаем, что = 1.
Получаем:


+ 2x— 3 = 0
D = 4–4 ∙ 1 ∙ (-3) = 0
=
= 1
=
= -3
Ответ: -3; 1.
b) 16 ∙ =
Решение:
Так как уравнение содержит корень четной степени, необходимо определить ОДЗ.
ОДЗ: x + 1 ≥ 0
x ≥ -1
Преобразуем левую часть по свойствам степеней:
;
16 ∙ =
Получаем:
Затем:
Решая это иррациональное уравнение, получаем:

x = 0 или
Проверка:
Если x = 0;
116 ∙ =
— равенство неверное;
x = 0 — посторонний корень.
Если x = 24;
16 ∙ =

— равенство верное.
Исходному уравнению удовлетворяет только значение x = 24.
Ответ: 24.
c)
Решение:
В этом уравнении есть возможность и левую и правую части представить в виде степени с основанием 5.
− =
=
−
−
Заданное уравнение приобретает вид:

—
x = 5
Ответ: 5.
Этот рассмотренный метод решения показательных уравнений относится к так называемому методу уравнивания показателей. Мы применили этот метод в рассмотрении и решении примеров 1 и 2.
Из других показательных уравнений нужно отметить такие, которые так же приводятся к уравниванию показателей и решение которых сводится к вынесению общего множителя за скобки.
Рассмотрим пример:
Решить уравнение:
Решение:
По свойству степеней имеем

Выносим за скобки общий множитель .
= 16
=
x = 4
Ответ: 4.
И, наконец, на решении двух примеров разного уровня сложности рассмотрим третий из основных методов — метод введения новой переменной.
Пример 1. Решить уравнение:
Решение:
Заметим, что
а
Перепишем заданное уравнение в виде:
Есть смысл ввести новую переменную y=, тогда уравнение примет вид:
Решив квадратное уравнение относительноy, находим его корни:


Но y=,значит остается решить два уравнения:
= 4 и
= -6
нет корней, т. к. -6 < 0, а
> 0 при
x = 2 любых значениях x.
Ответ: 2.
Пример 2. Решить уравнение:
Решение:
Воспользуемся тем, что:
− =
∙ 5
−


− =
Получили:
∙ 5–13 ∙
+
= 0
Обе части уравнения разделим на ≠ 0, (уравнение однородное, второй степени), это позволит перейти к одному основанию.
5 ∙ — 13 ∙
+ 6 ∙
=
5 ∙ - 13 ∙
+ 6 = 0
Теперь «появилась» новая переменная t = , относительно которой уравнение имеет вид квадратного уравнения:
5— 13t + 6t = 0
Корнями этого уравнения служат числа:
=
и
= 2
Решим два уравнения:
1) =
2) = 2
Решим два уравнения:
=
x = -1
Решаем второе уравнение:
= 2. Проблема?
Как представить число 2 в виде некоторой степени числа ?
Решение существует. Забегая вперед, скажем, что корень находится через логарифм. (Вернемся к этому позже).
Покажем единственный корень этого уравнения, применив графическую иллюстрацию. Построим в одной системе координат графики:
y =

Ответ: = -1
— корень уравнения
= 2
Рассмотрим решение систем показательных уравнений
Для решения необходимо преобразовать уравнения системы к более простому виду.
Преобразуем 1 уравнение:
2∙
По свойству монотонности функции имеем:
1+
2 + x + y = 24x— 8y
23x— 9y = 2
Преобразуем 2 уравнение системы к более простому виду:
Введем новую переменную, т. к. 9 = и
Пусть, 3x + y = t, тогда
D = - 4ac; D = 1 + 288 = 289

Делаем обратную замену:
= 9 и
= -8— нет корней
=
x + y = 2— преобразованное второе уравнение.
Решим полученную систему:
32x = 20
x =
x =

Из уравнения ,находим y
+ y = 2
y = 2—
y = 1
Ответ: 1
- Показательные неравенства.
Теперь переходим к рассмотрению решения показательных неравенств.
Дадим определение: показательными неравенствами называются неравенства вида , где a > 0, a ≠ 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Необходимо пользоваться следующей теоремой:
Показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла f(x) > g(x), если a > 1 (т. е. знак не меняется, если функция y =
— возрастающая. Примеры: y =
; y =
; где 3 > 1 и 1,3 > 1).
Показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла f(x) < g(x), если 0 < a < 1 (т. е. знак неравенства меняется, если функция y =
— убывающая. Примеры: y =
или y =
т. к. 0 < 0,5 < 1; и 0 <
< 1).
Пример 1. Решить уравнения:
a)
Т. к. 2 > 1, то функция y = — возрастающая.
Получим:
2x— 4 > 6
2x > 10
x > 5
Ответ: (5; + ∞)
b)
т. к.



Перепишем
Т. к. 0 < < 1, то функция y =
— убывающая.
2x— 3,5 >
2x > 0,5 + 3,5
2x > 4
x > 2
Ответ: (2; + ∞)
c)

т. к. 0 < 0,5 < 1, то функция y =— убывающая.
т. е.
Получили неравенство второй степени, которое решаем методом интервалов.
Рассмотрим функцию: f(x) =
Нули функции: f(x) = 0
= 0
D = - 4ac; D = 36–32 =4
=
= 4


f(x) = (x— 2)∙(x— 4)
Определим знаки в каждом из интервалов:
f(0) = (0–2)∙(0–4) > 0
f(3) = (3–2)∙(3–4) < 0
f(5) = (5–2)∙(5–4) > 0
x € (-∞; 2] U [4; +∞)
Ответ: x € (-∞; 2] U [4; +∞)
Пример 2. Рассмотрим решение более сложного неравенства:
По свойству



Получим
Решаем методом интервалов:
Рассмотрим функцию f(x) =
Нули функции: f(x) = 0; = 0 → y— 9 = 0, т. о. y = 9
Нули знаменателя

3y = 1
y =
Применяем метод интервалов.
f(0) = > 0
f(1) = < 0
f(10) = > 0
Находим < y < 9
Возвращаемся к переменной x, получим двойное неравенство


<
<
т. к. 3 > 1, то функция y = — возрастающая.
—1 < x < 2
Ответ: (-1;2)
Для более полного объема информации решения неравенств, необходимо рассмотреть трансцендентные неравенства, в которых левая и правая части не приводятся к одному основанию. Их можно решить лишь графическим способом, используя иллюстрацию.
Например, решить неравентва:
a) ;
b)
Решение:
Построим в одной системе координат графики функций y =


y =
x |
-1 |
0 |
1 |
y |
1/5 |
1 |
5 |
y =
x |
0 |
3 |
y |
6 |
3 |
Графики пересеклись в одной точке (1; 5)
Абсцисса точки пересечения является единственным корнем уравнения
Нас интересует решение неравенства
По иллюстрации график показательной функции y = лежит выше прямой y =
, если
> 1 (хорошо видно из рисунка).
Значит, решение неравенства можно записать так: x ≥ 1
Ответ: [1;+∞)
б)

График y = ниже y =
при x < 1
Ответ: (-∞; 1)
Итак, обобщим полученный опыт в решении уравнений и неравенств через алгоритмы.
- Общий вид стандартного показательного уравнения:
- Приведение к одному основанию:
1)
2)
3) x = c
- Графический:
1)
2) Найти абсциссы (x) точек пересечения.
3) Ответ.
- Вынесение за скобку степени с наименьшим показателем:
1) Вынести степень за скобку (;
2) Вычислить числовое значение в скобках (?);
3) Разделить обе части на (?);
4) Прийти ;
5) Решить (см. выше);
6) Получить ответ.
- Приведение к квадратному уравнению:
1) Записать в виде:
A + B
+ C = 0
2) Обозначить = t
3) Решить квадратное уравнение A

4)
5) Решить стандартные уравнения
6) Ответ.
Для закрепления, анализа и самопроверки предлагаются следующие задания (алгоритм решения смотри выше).
Задания предлагаются для двух вариантов
- Какие из перечисленных ниже неравенств будут верными, если:
I ВариантII Вариант
a > 1 0 < a < 1
a)
b)
c)

d)
e)
- Решить уравнения:
I Вариант
1)
2)
3)
4)
II Вариант
1)
2)
3)

4)
- Решить уравнения
I Вариант
1)
2)
II Вариант
1)
2)
- Задания с применением классификации.
Выписать уравнения, решаемые способом приведения к общему основанию, и решить их.
I вариант
1)
2)

3)
4)
(задание повышенной сложности).
II вариант
1)
2)
3)
4)
(задание повышенной сложности)
- Выписать уравнения, решаемые только графическим способом и решить их.
I вариант
1)

2)
3)
II вариант
1)
2)
3)
Решить остальные уравнения.
- Решить неравенства:
I вариант
1)
2)
3)

4)
II вариант
1)
2)
3)
4)
Литература:
- Учебник: «Алгебра и начала анализа 10–11» / А. Г. Мордкович.
- Учебник: «Алгебра и начала анализа 10–11» / А. Н. Колмогоров.
- «Сборник заданий для проведения письменного экзамена 11 кл.» / Г. В. Дорофеев.
- «Тренировочные задания ЕГЭ» / ЭКСМО / Т. А. Корешкова.
- «Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ 2006» / Коммерсант / А. Г. Клово.
- Методические рекомендации по изучению тем «Показательная, логарифмическая, степенная функции» / Н. К. Беденко.
Похожие статьи
Разработка урока по алгебре в 7 классе по теме «Нестандартный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными»
В данной статье предлагается разработка урока алгебры в 7 классе по учебнику А. Г. Мордковича. Школьникам скоро предстоит сдавать экзамены, и многие из них хотят, как можно хорошо и быстро научиться решать задачи. И в таких случаях можно применять не...
Организация работы с текстом на уроках русского языка в 7-8 классах как средство развития познавательных УУД
Данная статья представляет основные направления методического проекта, разработанного на основе обобщения педагогического опыта, в котором найдены и апробированы типовые решения актуальной педагогической проблемы и вытекающих из нее профессиональных ...
Некоторые аспекты преподавания физики в школе
В работе изучено место и роль систематизации физических явлений, уделено внимание использованию в учебном процессе нестандартных лабораторных работ при изучении предмета физики. Показано, что при таком комбинированном использовании приведенные методи...
Проектирование системы задач и упражнений по учебной дисциплине «Математический анализ»
В центре внимания статьи — проектирование системы задач и упражнений по учебной дисциплине «Математический анализ» для математической подготовки бакалавров экономики. Представленные двадцать две типовые задачи охватывают все разделы математического а...
Основные методы, используемые при решении задач по химии
В данной статье рассмотрены способы решения стандартных (типовых) задач, в том числе и элементарных. Методика ориентирована в основном для школьников, впервые приступающих к решению задач повышенной сложности. Статья посвящена способам решения задач...
Использование «Словаря характеристики литературного героя» на уроках чтения в начальной школе
В данной статье представлен опыт работы с авторским учебно-методическим пособием «Моя шкатулка: справочник» Бершанской О. Н., Дегтеревой Г. Д. В данной работе представлены приемы работы со «Словарем характеристики литературного героя», способствующие...
Основные направления работы учителя русского языка и литературы при подготовке к ЕГЭ
Статья содержит описание приёмов, методов активизации знаний на уроках русского языка и литературы при подготовке к ЕГЭ. Описан педагогический опыт работы: анализ литературного произведения с точки зрения пространства, времени и круга основных пробле...
Программы и проекты, направленные на воспитание уважительного отношения к воинскому прошлому своей страны (из опыта работы)
В данной работе представлены материалы, раскрывающие инновационный опыт работы школы с детьми младшего школьного возраста по гражданско-патриотическому воспитанию, а также программы и проекты, направленные на уважительное отношение к воинскому прошло...
Векторы в геометрических задачах
В настоящей работе излагаются методы решения геометрических задач с использованием аппарата векторной алгебры. В отличие от большинства имеющихся задач, где основной акцент сделан на изучении и закреплении формальных операций над векторами, в данной ...
Проблемы анализа художественного произведения в программах академических лицеев
В настоящей статье на конкретном примере рассматривается место учебных программ в литературном образовании. Анализируя действующую программу по литературе для академических лицеев Республики Узбекистан, автор раскрывает основные требования к составле...
Похожие статьи
Разработка урока по алгебре в 7 классе по теме «Нестандартный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными»
В данной статье предлагается разработка урока алгебры в 7 классе по учебнику А. Г. Мордковича. Школьникам скоро предстоит сдавать экзамены, и многие из них хотят, как можно хорошо и быстро научиться решать задачи. И в таких случаях можно применять не...
Организация работы с текстом на уроках русского языка в 7-8 классах как средство развития познавательных УУД
Данная статья представляет основные направления методического проекта, разработанного на основе обобщения педагогического опыта, в котором найдены и апробированы типовые решения актуальной педагогической проблемы и вытекающих из нее профессиональных ...
Некоторые аспекты преподавания физики в школе
В работе изучено место и роль систематизации физических явлений, уделено внимание использованию в учебном процессе нестандартных лабораторных работ при изучении предмета физики. Показано, что при таком комбинированном использовании приведенные методи...
Проектирование системы задач и упражнений по учебной дисциплине «Математический анализ»
В центре внимания статьи — проектирование системы задач и упражнений по учебной дисциплине «Математический анализ» для математической подготовки бакалавров экономики. Представленные двадцать две типовые задачи охватывают все разделы математического а...
Основные методы, используемые при решении задач по химии
В данной статье рассмотрены способы решения стандартных (типовых) задач, в том числе и элементарных. Методика ориентирована в основном для школьников, впервые приступающих к решению задач повышенной сложности. Статья посвящена способам решения задач...
Использование «Словаря характеристики литературного героя» на уроках чтения в начальной школе
В данной статье представлен опыт работы с авторским учебно-методическим пособием «Моя шкатулка: справочник» Бершанской О. Н., Дегтеревой Г. Д. В данной работе представлены приемы работы со «Словарем характеристики литературного героя», способствующие...
Основные направления работы учителя русского языка и литературы при подготовке к ЕГЭ
Статья содержит описание приёмов, методов активизации знаний на уроках русского языка и литературы при подготовке к ЕГЭ. Описан педагогический опыт работы: анализ литературного произведения с точки зрения пространства, времени и круга основных пробле...
Программы и проекты, направленные на воспитание уважительного отношения к воинскому прошлому своей страны (из опыта работы)
В данной работе представлены материалы, раскрывающие инновационный опыт работы школы с детьми младшего школьного возраста по гражданско-патриотическому воспитанию, а также программы и проекты, направленные на уважительное отношение к воинскому прошло...
Векторы в геометрических задачах
В настоящей работе излагаются методы решения геометрических задач с использованием аппарата векторной алгебры. В отличие от большинства имеющихся задач, где основной акцент сделан на изучении и закреплении формальных операций над векторами, в данной ...
Проблемы анализа художественного произведения в программах академических лицеев
В настоящей статье на конкретном примере рассматривается место учебных программ в литературном образовании. Анализируя действующую программу по литературе для академических лицеев Республики Узбекистан, автор раскрывает основные требования к составле...