A two-cluster α + t model of the 7Li nucleus is developed. The inter-cluster interaction combines a Gaussian central well, a separable spin–orbit term, and an error-function Coulomb regularization; the Pauli principle is enforced by a penalty projector onto the 0s-like forbidden state in the L = 1 channel. The radial Schrödinger equation is integrated by a Numerov scheme with matching to F_L and G_L Coulomb functions. A single-channel model with an L-dependent spin–orbit reproduces the 3/2⁻, 1/2⁻ bound states and the 7/2⁻, 5/2⁻ resonances within 0.2 MeV. A Feshbach-type coupling to the 6Li + n channel lowers the combined fit score from 3.19 to 2.72. An MCMC Metropolis–Hastings analysis quantifies a physical parameter degeneracy with a pairwise correlation of +1.00 between the well depth and the L = 3 spin–orbit strength.

Keywords: 7Li nucleus, two-cluster model, α + t, orthogonality condition model, spin–orbit, Numerov integration, Feshbach coupling, MCMC.

Введение

Кластерная организация нуклонов — характерная черта лёгких ядер. В ней нуклоны группируются не вокруг одноцентрового оболочечного среднего поля, а вокруг нескольких подсистем с насыщенной альфа-структурой. Ядро 7Li занимает в этой картине особое место: оно одновременно допускает прозрачную двухкластерную интерпретацию α + t и содержит как связанные уровни ( , ), так и хорошо измеренные резонансы в ( , ) [1, 2].

Цель работы — построить локальную двухкластерную модель α + t, которая совместно воспроизводит весь экспериментальный спектр низколежащих состояний 7Li, и количественно оценить идентифицируемость её параметров. Последняя задача решается методом Монте-Карло с марковскими цепями: он даёт не только доверительные интервалы, но и матрицу корреляций, которая выявляет физическую дегенерацию модели по имеющемуся набору наблюдаемых. Принцип Паули учитывается штрафным проектором Кукулина [7] — практической альтернативой резонирующему групповому методу [6].

Модель и численный метод

Внутренняя структура α-частицы (Jπ=0+) и тритона (Jπ=1/2+) заморожена. Динамической переменной остаётся координата относительного движения r. Радиальное уравнение Шрёдингера имеет канонический вид:

(1)

Приведённая масса μ ≈ 1600 МэВ даёт ℏ²/(2μ) ≈ 12.19 МэВ·фм². Эффективный потенциал собирается из трёх физически различных слагаемых — ядерного центрального, спин-орбитального и регуляризованного кулоновского:

(2)

Радиусы aN ≈ 2.10 фм и aC ≈ 3.00 фм зафиксированы по стандартам задачи α + t [3]. Сглаживание кулона через erf(r/aC) устраняет сингулярность в нуле и повышает устойчивость численной схемы.

Принцип Паули в канале L = 1 реализован штрафным методом Кукулина: к гамильтониану добавляется проектор на 0s-подобное запрещённое состояние |φf⟩ с большим коэффициентом,

(3)

что сдвигает нефизические собственные значения выше физического интервала на величину порядка λ. Контроль перекрытия решений с |φf⟩ на всех этапах расчёта показывает остаточную ошибку не хуже 10⁻⁶.

Уравнение интегрируется схемой Нумерова шестого порядка с шагом Δr = 0.02 фм и границей rmax = 30 фм. Во внешней области решение сшивается с комбинацией кулоновских функций FL(η, kr), GL(η, kr) (рекурсия Стида). Энергии связанных состояний находятся бисекцией с точностью 10⁻⁴ МэВ; ширины резонансов — из производной dδL/dE на адаптивной энергосетке.

Результаты и обсуждение

1. Опорная модель

Глубина ямы фиксируется бисекцией по E(3/2⁻) = −2.467 МэВ [2]: V₀ = 86.3 МэВ без спин-орбиты и V₀ = 93.25 МэВ с ней. В центральной калибровке уровень 1/2⁻ на 0.19 МэВ выше экспериментального, расщепление дублета избыточно на 39 %; без явной спин-орбиты описание P-дублета невозможно.

Попытка ввести единую для всех L спин-орбиту приводит к жёсткому компромиссу между дублетом P и дублетом F. Причина в том, что матричные элементы ⟨L·S⟩ в этих каналах различаются в 2–4 раза. Разделение λLS(L=1), λLS(L=3) снимает противоречие. Оптимальная калибровка: λLS(L=1) = −1.374 МэВ при aLS = 2.10 фм и λLS(L=3) = −5.19 МэВ при aLS = 2.50 фм. Сравнение с экспериментом приведено в таблице 1.

Таблица 1

Опорная одноканальная модель с канально-зависимой спин-орбитой против эксперимента

2. Связь каналов и (S, T)-декомпозиция

Одноканальная схема систематически недооценивает Γ(5/2⁻). Над порогом 6Li + n (EB = 7.25 МэВ) резонансы F получают примеси из нуклонного канала. Введено эффективное локальное комплексное взаимодействие фешбаховского типа [4] (W = 0.60 МэВ, aW = 2.40 фм, Rc = 4.50 фм, Δ = 1.20 МэВ), калиброванное на семь наблюдаемых 7Li. Результат: Γ(7/2⁻) → 0.095 МэВ (эксп. 0.070), Γ(5/2⁻) → 0.507 МэВ (эксп. 0.880); χ²/N падает с 3.19 до 2.72. Полная ликвидация разрыва требует непертурбативного двухканального решения.

Для более точной операторной структуры взаимодействия реализована четырёхкомпонентная (S, T)-декомпозиция

(4)

где радиальные формы Vi(r) — гауссианы с различными ширинами (aSE = 1.8, aTE = 2.1, aSO = 2.3, aTO = 2.5 фм), а спин-индикатор определяется как

(5)

Замена обменных операторов Pσ, Pτ на скалярный σ корректна в подпространстве α + t и радикально упрощает анзац. В чисто двухкомпонентной схеме Вигнер + Майорана параметр m структурно вырожден: в нечётном L-подмножестве наблюдаемых 7Li общий множитель (−1)^L не позволяет его раздельно зафиксировать. Четырёхкомпонентная декомпозиция с σ снимает вырождение; оптимум достигается при VSE = −70.2, VTE = −92.4, VSO = −38.1 МэВ, VTO = +6.5 МэВ.

3. Байесовский анализ

Апостериорное распределение четырёх ключевых параметров модели (V₀, E(3/2⁻), E(7/2⁻), λLS(L=3)) реконструировано алгоритмом Метрополиса–Гастингса в два прохода: исходный (400 шагов, широкие априоры) и уточнённый (1000 шагов, суженые априоры и шаги предложений, старт в максимуме предыдущего прохода) [5]. Функция правдоподобия построена как произведение гауссиан по семи наблюдаемым 7Li.

Частота принятия 0.6 %. Низкое смешивание — следствие гребневидной геометрии правдоподобия: связь V₀ ↔ λLS через постоянство E(3/2⁻) заставляет большинство шагов отклоняться. Апостериорные оценки:

Таблица 2

Апостериорные характеристики параметров (уточнённая цепь MCMC, после приработки)

Матрица Пирсона даёт ρ(V₀, λLS(L=3)) = +1.00 и ρ(V₀, E(7/2⁻)) = +0.87. Это физическая дегенерация: глубину ямы и спин-орбиту отдельно извлечь из данного набора наблюдаемых невозможно; требуется расширение базы (α–α, α–d, 7Be).

Рис. 1. Трассировочные графики уточнённой четырёхмерной цепи Метрополиса–Гастингса (1000 шагов). Вертикальная штриховая линия — граница приработки

Заключение

Локальная двухкластерная модель α + t с канально-зависимой спин-орбитой описывает спектр 7Li (3/2⁻, 1/2⁻, 7/2⁻, 5/2⁻) точнее 0.2 МэВ; редукция Фешбаха к 6Li + n улучшает Γ(F) на ~15 %; MCMC-анализ выявил физическую дегенерацию V₀ ↔ λLS(L=3), непреодолимую без расширения набора наблюдаемых.

Литература:

1. Freer M., Horiuchi H., Kanada-En’yo Y., Lee D., Meißner U.-G. Microscopic clustering in light nuclei // Reviews of Modern Physics. 2018. Vol. 90. 035004.
2. Tilley D. R., Cheves C. M., Godwin J. L. et al. Energy levels of light nuclei A = 5, 6, 7 // Nuclear Physics A. 2002. Vol. 708. P. 3–163.
3. Buck B., Friedrich H., Wheatley C. Local potentials to describe various two-body problems and resonating group calculations // Nuclear Physics A. 1977. Vol. 275. P. 246–268.
4. Feshbach H. A unified theory of nuclear reactions. II // Annals of Physics. 1962. Vol. 19. P. 287–313.
5. Hastings W. K. Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications // Biometrika. 1970. Vol. 57. P. 97–109.
6. Saito S. Interaction between clusters and Pauli principle // Progress of Theoretical Physics. 1969. Vol. 41. P. 705–722.
7. Kukulin V. I., Pomerantsev V. N. The orthogonality condition model as a limit of the resonating group method // Annals of Physics. 1978. Vol. 111. P. 330–363.