В работе приведен метод построения двух точек в 8-ми октантах в пространственной системе координат и в плоскости — эпюры. Описана схема построения данных по численным значениям двух точек. Приведены графические примеры построения этих точек.
Ключевые слова:октант, точка, плоскость, горизонталь, фронталь, профиль, система, координата, ось, эпюра, проекция, ортогональ.
При проведении занятий по разделу «Точки в четвертях и октанта пространства» задается в качестве примера одна точка по проецированию точки в различных положениях квадранта плоскости проекции [1]. Нами предлагается для лучшего усвоения темы задавать в различных октантах по две точки, например, и
. Одну точку
задаём постоянной величиной координат, например, точку
, которая располагается в пространстве над плоскостями
,
,
системы, а другую точку
по переменной величине, которая находится во фронтальной или горизонтальной (профильной) плоскостях, т. е. в первом октанте задаются численные значения —
; во втором октанте —
и т. д. Здесь даем некоторое их пояснения, т. к. точка является абстрактной величиной, то не имеет размеров, поэтому показывается на чертеже в виде кружочки. Также объясняем, что точка может быть каким-нибудь геометрической фигурой (шар, цилиндр) или деталем узла механизма: подшипником, колесом, сателлитом, т. е. точка является каким-то условным понятием в начертательной геометрии.
При решении задачи, студентам показываем макет пространственной системы координат с 8-ю октантами (рисунок 1, а) и объясняем их суть: показываем точку на первом октанте с белой отметкой, а другую точку
— с красной отметкой, в дальнейшем при переходе на второй октант располагаем точку
— по координатной оси с белым цветом, а точку
— красным цветом и т. д. вплоть до 8-го октанта. Затем показываем расположение точек
и
в эпюре (рисунок 1, б), здесь полы макета пространственной системы является подвижными, вращая переднюю полу горизонтальной плоскости
вокруг оси
, горизонталь
опускаем вниз до вертикальной линии, которая совмещается с фронтальной плоскостью
, при этом задняя часть горизонтальной плоскости
поднимается вверх до совпадении с фронтальной плоскостью
. Также происходит изменения и с профильной плоскостью
, передняя часть плоскости
при вращении вокруг оси
направо совпадает с фронтальной плоскостью
, а задняя часть профильной плоскости
вращаясь налево совпадает с фронтальной плоскостью
.
На рисунке 2 и 3 показаны примеры проецирования двух точек и
в различных октантах пространственной системы координат и в эпюре, например:
1. По заданным численным значениям находим точку , которая находится в первом октанте (рисунок 2, а, б), здесь горизонтальная проекция
точки
расположена под осью
, вертикальная проекция
— над осью
, а профильная проекция
над осью
. Точку
задаем другим численным значением
. Здесь точка
принадлежит фронтальной
плоскости и расположен на верхней полуплоскости
так что вертикальная проекция
располагается над осью
, а горизонтальная проекция
лежит на оси
, поскольку проектирующий луч совпадает с плоскостью
. Также, только на другой оси
лежит профильная проекция
.
Рис. 1. Пространственная (а) и плоскостная (б) модель октантов.
Все точки и
равномерно расположены во всех трех четвертях проекции эпюры. При совмещении плоскостей проекций надо иметь в виду, что ось
как бы распадается на две прямые, из которых одна остаётся на горизонтальной плоскости
, а другая — на фронтальной плоскости
. И между этими двумя осями
и
образуется разрывная или нулевая плоскость, где не приводится ортогональные проекции точки, а используется для вспомогательной части чертежа, т. е. проводятся дуговые линии. Поэтому в эпюре (рисунок 2, б) используется из имеющихся четырех плоскостей только три плоскости:
;
;
, а четвертая плоскость используется как вспомогательная плоскость, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет
.
2. Точка находится во втором октанте (рисунок 2, в, г). Проектируя точку
на плоскости
и
, получим её проекции: горизонтальную
— на задней полуплоскости
, вертикальную
— на верхней полуплоскости
, а профильная
— также на задней полуплоскости
. Численные значения точки
заданы и по ним можно определить, что точка
принадлежит горизонтальной
плоскости, тогда одна проекция точки
— горизонтальная
будет расположена над осью
, а две другие проекции — фронтальная
и профильная
будет лежать на оси
. При совмещении плоскости
с
задняя полуплоскость
плоскости
перемещается вверх, а задняя профильная полуплоскость перемещается влево
фронтали
и ось проекции расположатся выше оси
и на одном перпендикуляре к ней, т. е. все точки
и
располагаются в одной четверти эпюры, а остальные три четверти плоскостей не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет
.
3. Точки и
находятся в третьем октанте и изображаются в эпюре по двум четвертям проекции (рисунок 2, д, е). Горизонтальная проекция
расположена над осью
, а фронтальная
и профильная
под осью
. Точка
также располагается по двум четвертям проекции, но фронтальная
и профильная
проекции расположены на оси
, а горизонтальная
проекция над осью
. Здесь проекционные точки
и
используются в двух четвертях плоскости, а остальные две четверти плоскости не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет
.
4. Точки и
находятся в четвертом октанте пространственной системы и также в эпюре располагаются по двум четвертям плоскости, только в нижней части эпюры (рисунок 2, ж, з). Горизонтальная
и фронтальная проекции расположены под осью
, а профильная
проекция расположена под осью
. Точка
здесь также располагаются по двум четвертям плоскости эпюры в нижней части, при этом фронтальная
проекция точки расположена на оси
; профильная
проекция расположена на оси
, а горизонтальная
проекция расположена под осью
. Здесь также проекционные точки
и
используются в двух нижних четвертях плоскости эпюры, а остальные две верхние четверти не используются, коэффициент использования плоскостей эпюры,
. 3
Рис. 2. Проецирование точек и
в I-IV октантах
5. На рисунке 3, и, к показана эпюра пятого октанта пространственной системы. Точки и
в эпюре располагаются в двух четвертях плоскости проекции, только с правой стороны. Фронтальная
и профильная
проекции точки
располагаются над осью
, а горизонтальная
проекция под осью
. Точка
принадлежит фронтальной
плоскости и проекции точки
также располагаются по двум четвертям плоскости эпюры с правой стороны; горизонтальная
проекция лежит на оси
, а фронтальная
и профильная
проекции точки расположены над осью
. Здесь используются в двух четвертях с правой стороны эпюры, а остальные две четверти плоскости с левой стороны эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет
.
Рис. 3. Проецирование точек и
в V-VIII октантах
6. На рисунке 3, л, м приводится эпюра шестого октанта пространственной системы. Точки и
в эпюре располагаются по двум четвертям плоскости проекции, которые находятся в верхней части эпюры. Горизонтальная
и фронтальная
проекция располагается над осью
. Проекции точки
, также располагаются по двум четвертям и находятся в верхней части эпюры, фронтальная
проекция точки лежит на оси
; профильная
— на оси
, а горизонтальная
проекция — над осью
. Здесь используются в двух четвертях верхней части плоскости эпюры, а остальные две четверти в нижней части плоскости эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет
.
7. Точки и
находятся в седьмом октанте и в эпюре (рисунок 3, н, о) располагаются по трем четвертям плоскости проекции. Горизонтальная
проекция точки расположена над осью
; фронтальная
— под осью
, а профильная
проекции точки под осью
. Проекция точки
располагаются в тех же проекциях: горизонтальная
проекция точки лежит на оси
; профильная
лежит на оси
, а фронтальная
расположена под осью
. В эпюре используется из имеющихся четырех плоскостей только три плоскости:
;
;
, а четвертая используется как вспомогательная плоскость, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет
.
8. На рисунке 3, н, р приводится эпюра восьмого октанта пространственной системы. Все точки и
в эпюре располагаются в одной четверти. Горизонтальная
, фронтальная
и профильная
проекции точки расположены под осью
. Проекции точки
лежит на оси проекции
и очевидно, что три её проекции
,
и
совпадают с точкой
на оси
. Здесь все ортогональные точки
и
располагаются в одной четверти плоскости эпюры, а остальные три четверти плоскости эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет
.
Вышеизложенное позволяет сделать следующие выводы:
1. В эпюре видно, что используется три плоскости , а четвертая плоскость является вспомогательной, для проведения дуговой линии.
2. Наглядно видно, что из восьми октантов эпюры плоскостей наиболее благоприятным октантом является первый октант, так как коэффициент использования плоскостей эпюры равно .
3. Из двух пространственной и плоскостной модели координатных плоскостей для лучшего чтения чертежей приемлемым является плоскостная модель — эпюра.
4. В эпюре имея две ортогональные точки, всегда можно построить по ним и третью.
Литература:
1. Фролов С. А. Начертательная геометрия. // Учебник. — М.:, 1998. — С. 240.