Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для системы уравнений смешанного типа

1. Постановка задачи

Начало исследованиям задачи Геллерстедта в своих трудах положил в 1937 году С. Геллерстедт [1]. Это было первым обобщением классического результата Ф. Трикоми [2]. Для уравнения

                                                      

 где  – натуральное нечетное число, в области  ограниченной простой кривой Жордана  лежащей в полуплоскости  с концами в точках  и  а при  – характеристиками  уравнения (0.1), где    и  он исследовал краевые задачи с данными на  (задача ) и с данными на  (задача ). Существование упомянутых задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда  совпадает с "нормальной" кривой  Для более общего уравнения

                (0.2)

в [3] изучены аналоги задач  в классе обобщенных решений К.И.Бабенко, когда на эллиптической границе  задано третье граничное условие. При этом существенными оказываются условия малости коэффициентов уравнения вблизи  Относительно  предполагаются выполненными известные условия К.И.Бабенко [4]. В совместной работе К.Б.Сабитова, А.Н.Кучкаровой [5] для одного уравнения смешанного типа вида (0.2) установлены принципы максимума решения задач  и  из которых следует единственность решений без каких-либо ограничений геометрического характера на эллиптическую границу области. Задача Геллерстедта для общих линейных систем уравнений смешанного типа рассматривалась лишь в работе [6]. В ней рассматривается система вида

                  (0.3)

 где , при  для всех  Методом "abc" при некоторых ограничениях на коэффициенты системы (0.3) и границу эллиптической части области доказана единственность решения  однородной задачи В работе К.Б.Сабитова [7] устанавливаются экстремальные свойства модуля решения задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа (0.3), когда  – числовые функции,  – квадратная матрица порядка  на основании которых следует единственность решения поставленной задачи без каких-либо ограничений на эллиптическую границу области и при более слабых условиях на коэффициенты системы. На основании этих результатов в статье К.Б.Сабитова, Р.Г.Идрисова [8] установлен принцип максимума модуля решения задачи Геллерстедта для системы уравнений смешанного типа (0.3), где  – числовые функции, . В совместной работе К.Б.Сабитова, М.В.Мугафарова [9] устанавливаются экстремальные свойства решений задачи Трикоми, где под максимумом решения  согласно [10] понимаетcя число  В данной работе идея, предложенная в [9], [8], реализуется для доказательства экстремальных свойств решения задачи Геллерстедта для системы уравнений смешанного типа.

Рассмотрим систему

                   (1)

где  при   – заданные числовые функции,  – квадратная матрица,  в области  ограниченной простой кривой Жордана  лежащей в полуплоскости  с концами в точках  характеристиками  системы (1) при  где   и  Пусть  – параметрические уравнения кривой  – длина дуги кривой, отсчитываемой от  к   – длина кривой  Обозначим через  Будем предполагать, что

В областях  и  перейдем в характеристические координаты  

 Тогда система (1) примет вид

                         (2)

Область  отобразится в  ограниченную отрезками   и  а область  отобразится в  ограниченную отрезками  и  При этом за образами точек  оставлены те же обозначения прообразов.

Для системы (1) в области  рассмотрим задачу Геллерстедта (задачу ).

Задача . Найти функцию  удовлетворяющую условиям

                                                       (3)

                                     (4)

                                 (5)

                                                        (6)

                                                 (7)

                                               (8)

где   – заданные достаточно гладкие вектор-функции,

2. Экстремальные свойства решений системы в области эллиптичности

Лемма 1. Пусть 1) функция  и  в  при всех  2) коэффициенты системы (1) в области  ограничены и

                                 (9)

Тогда если   то этот максимум (минимум) достигается только на границе области

Доказательство. Пусть  Допустим, что  Тогда в точке  

                                              (10)

В силу условий (9) и (10) получаем

                           

Но, с другой стороны,  Полученное противоречие доказывает справедливость принципа максимума с условиями (9).

Лемма 2. Пусть 1) функция  и  в  при всех  2) коэффициенты системы (1) в области  ограничены и

                                  (11)

при этом функции  не равны постоянной в любой подобласти области  Тогда если   то этот максимум (минимум) достигается только на границе области

Доказательство. Введем вспомогательную функцию  где  которая в области  является решением системы

                                              

и  в   Значит, функция  в  является решением эллиптического уравнения

                                    (12)

                                    

В силу условия (11) правая часть уравнения (12) неотрицательна в области  В самом деле,

    

Пусть  Поскольку оператор  локально равномерно эллиптичен при  где  – достаточно малое число, и его коэффициенты в  ограничены, то в силу теоремы Хопфа [11]  что невозможно. Значит,

Лемма 3. Пусть 1) функция  в  при  2) в области  коэффициенты системы (1) ограничены и удовлетворяют условиям (11); 3)    Тогда

                                                                (13)

Доказательство. Пусть  Рассуждая аналогично доказательству леммы 2, введем новую функцию  При этом функция  является решением эллиптического уравнения (12), правая часть которого в силу условия (11) в области  неотрицательна. Тогда коэффициенты уравнения (12) и функция  удовлетворяют условиям леммы 1 [12]. Поэтому                                  Отсюда уже следует неравенство (13).

Лемма 4. Пусть 1) В области  коэффициенты системы (1) ограничены и

                                              (14)

2)  3)  4) функция  имеет изолированный положительный максимум  в точке  5) в малой окрестности точки  а) функция  суммируема; б) производные  и  непрерывны вплоть до границы; в)  Тогда в любой выколотой окрестности  точки  найдется точка  такая, что

                                                                (15)

Доказательство. Пусть  т.е.  Допустим, что существует выколотая окрестность  точки  такая, что для всех :  Введем вспомогательную функцию  где  которая в области  является решением системы                               

 и  в   Значит, функция  в  является решением эллиптического уравнения

                                    (16)

В силу условия (14) правая часть уравнения  неотрицательна в области  В самом деле,

 

Пусть  Число  возьмем настолько близким к числу  чтобы кривая  составленная из линии уровня  целиком лежала в  и для всех точек  принадлежащих области  ограниченной кривой  и отрезками   Поскольку  является в  решением эллиптического уравнения  то в силу теоремы о представлении решений эллиптических уравнений следует существование такой кривой  Причем, не теряя общности рассуждений, можно считать, что кривая  является спрямляемой. Обозначим через  и  точки пересечения кривой  с отрезком

В области  рассмотрим функцию причем  которая является решением эллиптического уравнения

                           (17)

и удовлетворяют граничным условиям

                                                            (18)

                                                       (19)

Интегрируя тождество

                  

по области  с учетом условий (17) и (18), получим

 

Из последнего равенства в силу наложенных на коэффициенты условий и неравенства (19), следует, что  в  т.е.  в  значит,  что противоречит условию изолированности максимума в точке  Следовательно, в любой окрестности  точки  существует точка  такая, что справедливо неравенство (15).

 

3. Экстремальные свойства решений системы в области гиперболичности

Рассмотрим систему (2) на множестве  Пусть

Функции  непрерывны в , кроме, быть может, отрезка  и удовлетворяют условию:

                                     (21)

Функции  непрерывны в , кроме, быть может, отрезка  и удовлетворяют условию:

                                   (22)

Определение 1. Регулярным в  решением системы (2) назовем функцию , удовлетворяющую условиям: 1)  2)  3) производная  непрерывны на

Лемма 5. Пусть: 1) коэффициенты системы (2) обладают отмеченной выше гладкостью и удовлетворяют условиям (21), (22); 2)  – регулярное в  решение системы (2), равное нулю на  Тогда если  (), то этот максимум (минимум) достигается только на отрезке  

Доказательство. В области  рассмотрим тождество

и проинтегрируем его по отрезку  прямой , принадлежащему  Тогда получим

      (23)

Пусть ,  Ясно, что  Пусть  Из точки  проведем отрезок  до пересечения с характеристикой  в точке  В равенстве (23) в качестве отрезка  возьмем  и положим  Тогда

                       

                 

Последнее противоречит тому, что в точке  максимума функции  производная  неотрицательна. Тогда  Аналогично, рассматривая область  доказывается, что

 

4. Экстремальные свойства решений системы в смешанной области

Рассмотрим систему (1) во всей смешанной области

Определение 2. Регулярным в области  решением системы (1) назовем функцию , удовлетворяющую условиям (3) – (5), и, кроме того, производные  непрерывны на множествах  соответственно.

Теорема. Пусть: 1) коэффициенты системы (1) в области  удовлетворяют условию 2) леммы 2; 2) выполнено условие 5) леммы 4; 3) коэффициенты системы (1) в областях  и  в характеристических координатах  удовлетворяют, соответственно, условиям (21) или (22); 4)  – регулярное в  решение системы (1), равное нулю на характеристиках  и 5)  Тогда этот максимум достигается только на кривой

Доказательство. Пусть  Так как выполнены условия леммы 5, то точка  В силу леммы 1 точка  Тогда,  Пусть  т.е.  В этой точке из леммы 5 следует, что  Последнее согласно лемме 3 противоречит неравенству  Если точка  то рассуждая аналогично, получим противоречие. Следовательно,  Пусть  тогда  В этом случае  является единственной точкой изолированного глобального положительного максимума функции  Линии уровня  функции  где  в малой окрестности точки  будут располагаться в области  в виде концентрических линий вокруг точки  с концами  Докажем это. Допустим противное, т.е. в малой окрестности точки  на оси  существуют точки  и  такие, что  и  Тогда возможна линия уровня  Функция  в некоторой точке  имеет положительный максимум . Пусть  – область, ограниченная отрезком  оси  и линией уровня  такая, что при всех  В силу принципа экстремума для эллиптических уравнений .  Далее из точки  проведем характеристику системы (1) до пересечения с характеристикой  в точке  и рассмотрим область  ограниченную линиями  По лемме 5  достигается на отрезке  Не теряя общности рассуждений можно считать, что этот максимум достигается в точке  По лемме 3  а с другой стороны на основании леммы 5  Получено противоречие. Отсюда следует, что в малой окрестности точки  функция  при  монотонно возрастает к значению  Пусть  где  промежуток оси  где  возрастает при  Покажем, что  при всех  Пусть  – любая точка из  Из точки  опустим перпендикуляр с концом в точке  через точку  проведем характеристику системы (1) до пересечения с характеристикой  в точке  Обозначим через  область, ограниченную характеристиками  и отрезками  Аналогично лемме 5 можно показать, что  достигается только на отрезке  а именно в точке  Тогда в этой точке  Следовательно, в силу произвольности точки  на  Аналогично показывается, что существует отрезок  где  такой, что  при всех  Тогда  при всех  С другой стороны, в силу леммы 3 на  или на  найдется точка  такая, что  что противоречит неравенству  на  Следовательно, максимум не достигается в точке  и точка

Следствие. а) Если выполнено условие теоремы, то для всех  б) Если коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям теоремы и в классе регулярных в  решений системы (1) существует решение задачи  то оно единственно.

 

Литература

1.      Gellerstedt S. Quelques problemes mixtes pour l'equation // Arkiv Mat., Astr. och Fysik. 3. 1938. B.26A. P.1-32.

2.      Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа.Гостехиздат, 1947. 192 с.

3.      Салахитдинов М.С., Исломов Б. Краевые задачи типа задачи Геллерстедта для общего линейного уравнения смешанного типа.// Изв. АН УзССР. Серия физ.-мат. наук. – 1986. – №2. – С.39-43.

4.      Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа. 1985. 304 с.

5.      Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. О единственности решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа. /"Неклассические уравнения математической физики". Новосибирск. Изд-во ИМ СО РАН им. С.Л. Соболева. 2002. С. 206-220.

6.      Овезова М.М. О единственности решения задачи Геллерстедта для общей системы уравнений Чаплыгина . // Докл. АН СССР. – 1996. – Т.348, – №1. – С. 25-26.

7.      Сабитов К.Б. Экстремальные свойства модуля решений одного класса систем уравнений смешанного типа. // Докл. АН СССР. – 1990. – Т.310, – №1. – С. 33-36.

8.      Сабитов К.Б., Идрисов Р.Г. Задача Геллерстедта для систем уравнений смешанного типа.// Изв. вузов. Математика. – 2001. – №11. – С.22-33.

9.      Сабитов К.Б., Мугафаров М.Ф. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа. // Сиб. мат. журн. – 2002. – Т.43, – №3. – С.710-726.

10.  Сабитов К.Б. Принцип максимума для систем уравнений смешанного типа второго порядка. // Докл. АН СССР. – 1989. – Т.305, – №4. – С. 783-786.

11.  Hopf E.A. A remark on linear elliptic differetial equations of second order.//Proc. Amer. Math. Soc. – 1952. – V.3 – P. 791-793.

12.  Сабитов К.Б. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми// Дифференц. уравнения. – 1992. – Т.28,–  – C.2092 – 2101.