Сведение одной функциональной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений к двухточечной задаче

Рассматривается система интегро-дифференциальных уравнений

                                  (1)

где

                                                     (2)

и функции  дифференцируемы. Ищется решение  системы (1), удовлетворяющие интегральным условиям.

                                                           (3)

причем   при   

Введем новые неизвестные функции равенствами

                      (4)

Дифференцируя обе части (4) по х, имеем

                                                           (5)

Предположим, что   .  Тогда из (5) находим

                                            (6)

где алгебраические дополнения элементов

Продифференцируем еще раз равенства (5).

                                   (7)

С учетом системы (1), равенств (2) и формул (6), (7) получим

                         (8)

где

         (9)

Такую систему (8) можно записать в виде

                    (10)

если положить

                                                   (11)

Имея (2) и (3) для системы (10) получаем граничные условия

                                                                         (12)

Таким образом задача (1), (3) свелась к двухточечной задаче для системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая изучена в известных работах  .

Литература.

1. Исраилов С.В., Юшаев С.С. Многоточечные и функциональные краевые задачи для ОДУ. Нальчик.: «Эль-Фа». 2004.. С.440

2. Ешуков Л.Н., Веков С.С. и др. Проблемы и библиография теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. // Тр. Рязанского радиотехнического института. 1972. Вып. 42. С. 164-192.