Реализация численного алгоритма метода вариаций в пространстве управлений | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Информатика

Опубликовано в Молодой учёный №9 (89) май-1 2015 г.

Дата публикации: 04.05.2015

Статья просмотрена: 85 раз

Библиографическое описание:

Григорьев И. В., Мустафина С. А. Реализация численного алгоритма метода вариаций в пространстве управлений // Молодой ученый. — 2015. — №9. — С. 110-115. — URL https://moluch.ru/archive/89/18303/ (дата обращения: 20.11.2018).

В статье разработан алгоритм и реализована программа решения задачи оптимального управления на основе метода вариаций. Реализованный алгоритм был апробирован на тестовых примерах.

Ключевые слова: метод вариаций, оптимальное управление, численное решение.

 

Введение. Задачи оптимального управления встречаются в различных сферах человеческой деятельности. Каждое разумное действие является в определенном смысле и оптимальным, ибо оно, как правило, выбирается после сравнения с другими вариантами. Интерес к задачам наилучшего выбора был высоким всегда, но особенно возрос в последние годы в связи с интенсивным развитием науки и техники. В связи с этим возникает проблема выбора из множества вариантов решения задачи того, который обеспечивает наилучшее или наиболее эффективное распределение ресурсов. Этот наилучший вариант и называется оптимальным. Выбор оптимального варианта определяется каким-либо показателем, который называется критерием оптимизации.

Постановка задачи. Пусть управляемый процесс представлен системой дифференциальных уравнений:

                                                                                        (1)

где  — фазовые переменные, а  — переменные управления, .

При заданы все начальные значения фазовых переменных :

, .                                                                                                   (2)

На управление и фазовые переменные наложены ограничения типа:

                                                                                     (3)

Область, ограниченную неравенством для управлений в пространстве переменных , будем называть допустимой областью .

Критерий оптимизации пусть задан в терминальном виде:

                                                                                 (4)

Требуется найти такое управление , удовлетворяющее условиям (3), чтобы величина  приняла минимальное значение.

Для численного решения данной задачи был составлен алгоритм метода вариации в пространстве управлений:

1.                  Интегрируя систему (1) при  с начальными условиями (2) в интервале , вычисляем значение критерия I. Запоминаем значение критерия и управление в достаточном числе точек.

2.                  Варьируем управление по направлениям  в точке . Интегрируем систему (1) при с начальными условиями (2) в интервале , вычисляем значение критерия I. Если критерий улучшился, и при этом выполняются условие (3), то запоминаем это значение критерия и управление в достаточном числе точек.

3.                  Переходим к следующей точке  и выполняем п.2 со «старым» приближением . После того, как пробежим все точки отрезка , переходим к . Повторяем цикл до тех пор, пока не выполнится условие . Если критерий на отрезке не улучшился, то уменьшаем вариацию вдвое, т. е. .

Тестирование алгоритма. На основе созданного алгоритма реализована программа. Рассмотрим работу полученного алгоритма на следующих примерах. Для вычисления погрешностей будем использовать евклидову норму:

  

Пример 1. Допустим, что некоторый процесс описывается системой дифференциальных уравнений:

                                                                                                    (5)

с начальными условиями:

,                                                                                                       (6)

и следующими ограничениями на переменную времени:

                                                                                                                      (7)

и на управление:

                                                                                                                            (8)

Критерий оптимизации имеет вид

                                                                                            (9)

Требуется найти оптимальное программное управление  и соответствующую ему траекторию , которые удовлетворяют уравнениям (5)-(6), ограничениям (7)-(8) и условию (9).

Аналитическое решение данной задачи представлено в [2].

На рис. 1 — рис. 2 изображено численное решение данной задачи, при начальном приближении .

Рис. 1. Графики оптимальных траекторий для примера 1

 

Рис. 2. График оптимального управления для примера 1

 

Сравнивая полученные численные и аналитические значения, вычислим погрешности для управления и траекторий.

  

Пример 2. Пусть управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений:

                                                                                                                (10)

с начальными условиями:

,                                                                                                     (11)

и следующими ограничениями на переменную времени:

                                                                                                                      (12)

и на управление, фазовые переменные:

                                                                                                             (13)

Критерий оптимизации имеет вид

                                                                            (14)

Требуется найти оптимальное программное управление  и соответствующую ему траекторию , которые удовлетворяют уравнениям (10)-(11), ограничениям (12)-(13) и условию (14).

Аналитическое решение данной задачи представлено в [1].

На рис. 3 — рис. 4 изображено численное решение данной задачи, при начальном приближении .

Рис. 3. Графики оптимальных траекторий для примера 2

 

Рис. 4. График оптимального управления для примера 2

 

Сравнивая полученные численные и аналитические значения, вычислим погрешности для управления и траекторий.

  

Пример 3. Пусть управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений:

                                                                                               (15)

с начальными условиями:

,                                                                                                       (16)

и следующими ограничениями на переменную времени:

                                                                                                                         (17)

и на управление:

                                                                                                                       (18)

Критерий оптимизации имеет вид

                                                                                               (19)

Требуется найти оптимальное программное управление  и соответствующую ему траекторию , которые удовлетворяют уравнениям (15)-(16), ограничениям (17)-(18) и условию (19).

Аналитическое решение данной задачи представлено в [1].

На рис. 5 изображено численное решение данной задачи, при начальном приближении .

Рис. 5. Графики численного решения примера 3

 

Сравнивая полученные численные и аналитические значения, вычислим погрешности для управления и траекторий.

  

Выполненный сравнительный анализ приближенного и аналитического решения задач показал их удовлетворительное согласование между собой.

 

Литература:

 

1.      Островский Г. М., Волин Ю. М. Методы оптимизации сложных химико-технологических схем. — М.: Химия. 1970. 328 с.

2.      Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука. 1976. 392 с.

3.      Мустафина C. А., Валиева Ю. А., Давлетшин Р. С., Балаев А. В., Спивак С. И. Оптимальные технологические решения для каталитических процессов и реакторов // Кинетика и катализ. 2005. Т. 46. № 5. С. 749–756.

4.      Мустафина С. А., Балаев А. В., Смирнов Д. Ю., Спивак С. И. Моделирование каталитического процесса дегидрирования метилбутенов // Системы управления и информационные технологии. 2006. Т. 23. № 1. С. 10–14.

5.      Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: Наука. 1978. 488 с.

Основные термины (генерируются автоматически): численное решение, Критерий оптимизации, оптимальное управление, значение критерия, управление, управляемый процесс, оптимальное программное управление, начальное приближение, задача, аналитическое решение.


Похожие статьи

Сравнительный анализ численного решения задач...

Ключевые слова: метод последовательных приближений, метод вариаций, оптимальное управление, фазовые ограничения. Проблеме численного решения задач оптимизации химико-технологических процессов уделяют особое внимание [1]...

Математическая модель управления обучением и её решение...

Математическое моделирование социальных процессов, решение задач оптимального управления и планирования приобретают всё большую актуальность в настоящее время в самых разнообразных сферах человеческой деятельности ([1], [2], [3]...

Алгоритмы оптимизации системы управления запасами...

Решение таких задач способствуют развитию теории управления запасами, оптимизации подходов к выбору критериев и методов решения. Исследования в сфере распределения ресурсов часто сталкиваются с проблемами неопределенности и риска...

Организация решения задач динамического программирования

Критерием оптимальности при этом может служить прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует оптимизировать, или суммарные

Использование методик параллельного программирования при численном решении задач оптимизации методами координатного и...

Управление качеством строительных технологий на основе...

Если под оптимальным понимать критерий оптимальности.

Задача 2. Обосновать принятие решений по вложению затрат заданного уровня в приращение значения определенного

В линейном приближении, из полного приращения для выбранной стадии состояния согласно (3).

Формирование оптимальной производственной программы на...

Постановка задачи определения оптимального плана производства может выполняться с различными экономическими оценками. Способ решения задачи оптимизации зависит от математического вида целевой функции и ограничений.

Деревья решения для задач построения рейтинга коммерческих...

Сравнительный анализ численного решения задач оптимального управления. Использование программных пакетов для решения экологических задач. Поиск решения как средство решения задач оптимизации и теории игр.

Использование программной системы MPRIORITY для принятия...

Сравнительный анализ численного решения задач оптимального управления. Применение программной системы Digital Security Office для проведения аудита безопасности информационной системы обработки персональных данных.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Сравнительный анализ численного решения задач...

Ключевые слова: метод последовательных приближений, метод вариаций, оптимальное управление, фазовые ограничения. Проблеме численного решения задач оптимизации химико-технологических процессов уделяют особое внимание [1]...

Математическая модель управления обучением и её решение...

Математическое моделирование социальных процессов, решение задач оптимального управления и планирования приобретают всё большую актуальность в настоящее время в самых разнообразных сферах человеческой деятельности ([1], [2], [3]...

Алгоритмы оптимизации системы управления запасами...

Решение таких задач способствуют развитию теории управления запасами, оптимизации подходов к выбору критериев и методов решения. Исследования в сфере распределения ресурсов часто сталкиваются с проблемами неопределенности и риска...

Организация решения задач динамического программирования

Критерием оптимальности при этом может служить прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует оптимизировать, или суммарные

Использование методик параллельного программирования при численном решении задач оптимизации методами координатного и...

Управление качеством строительных технологий на основе...

Если под оптимальным понимать критерий оптимальности.

Задача 2. Обосновать принятие решений по вложению затрат заданного уровня в приращение значения определенного

В линейном приближении, из полного приращения для выбранной стадии состояния согласно (3).

Формирование оптимальной производственной программы на...

Постановка задачи определения оптимального плана производства может выполняться с различными экономическими оценками. Способ решения задачи оптимизации зависит от математического вида целевой функции и ограничений.

Деревья решения для задач построения рейтинга коммерческих...

Сравнительный анализ численного решения задач оптимального управления. Использование программных пакетов для решения экологических задач. Поиск решения как средство решения задач оптимизации и теории игр.

Использование программной системы MPRIORITY для принятия...

Сравнительный анализ численного решения задач оптимального управления. Применение программной системы Digital Security Office для проведения аудита безопасности информационной системы обработки персональных данных.

Задать вопрос