Авторы: Григорьев Игорь Владимирович, Мустафина Светлана Анатольевна

Рубрика: Информатика

Опубликовано в Молодой учёный №9 (89) май-1 2015 г.

Дата публикации: 04.05.2015

Статья просмотрена: 80 раз

Библиографическое описание:

Григорьев И. В., Мустафина С. А. Реализация численного алгоритма метода вариаций в пространстве управлений // Молодой ученый. — 2015. — №9. — С. 110-115.

В статье разработан алгоритм и реализована программа решения задачи оптимального управления на основе метода вариаций. Реализованный алгоритм был апробирован на тестовых примерах.

Ключевые слова: метод вариаций, оптимальное управление, численное решение.

 

Введение. Задачи оптимального управления встречаются в различных сферах человеческой деятельности. Каждое разумное действие является в определенном смысле и оптимальным, ибо оно, как правило, выбирается после сравнения с другими вариантами. Интерес к задачам наилучшего выбора был высоким всегда, но особенно возрос в последние годы в связи с интенсивным развитием науки и техники. В связи с этим возникает проблема выбора из множества вариантов решения задачи того, который обеспечивает наилучшее или наиболее эффективное распределение ресурсов. Этот наилучший вариант и называется оптимальным. Выбор оптимального варианта определяется каким-либо показателем, который называется критерием оптимизации.

Постановка задачи. Пусть управляемый процесс представлен системой дифференциальных уравнений:

                                                                                        (1)

где  — фазовые переменные, а  — переменные управления, .

При заданы все начальные значения фазовых переменных :

, .                                                                                                   (2)

На управление и фазовые переменные наложены ограничения типа:

                                                                                     (3)

Область, ограниченную неравенством для управлений в пространстве переменных , будем называть допустимой областью .

Критерий оптимизации пусть задан в терминальном виде:

                                                                                 (4)

Требуется найти такое управление , удовлетворяющее условиям (3), чтобы величина  приняла минимальное значение.

Для численного решения данной задачи был составлен алгоритм метода вариации в пространстве управлений:

1.                  Интегрируя систему (1) при  с начальными условиями (2) в интервале , вычисляем значение критерия I. Запоминаем значение критерия и управление в достаточном числе точек.

2.                  Варьируем управление по направлениям  в точке . Интегрируем систему (1) при с начальными условиями (2) в интервале , вычисляем значение критерия I. Если критерий улучшился, и при этом выполняются условие (3), то запоминаем это значение критерия и управление в достаточном числе точек.

3.                  Переходим к следующей точке  и выполняем п.2 со «старым» приближением . После того, как пробежим все точки отрезка , переходим к . Повторяем цикл до тех пор, пока не выполнится условие . Если критерий на отрезке не улучшился, то уменьшаем вариацию вдвое, т. е. .

Тестирование алгоритма. На основе созданного алгоритма реализована программа. Рассмотрим работу полученного алгоритма на следующих примерах. Для вычисления погрешностей будем использовать евклидову норму:

  

Пример 1. Допустим, что некоторый процесс описывается системой дифференциальных уравнений:

                                                                                                    (5)

с начальными условиями:

,                                                                                                       (6)

и следующими ограничениями на переменную времени:

                                                                                                                      (7)

и на управление:

                                                                                                                            (8)

Критерий оптимизации имеет вид

                                                                                            (9)

Требуется найти оптимальное программное управление  и соответствующую ему траекторию , которые удовлетворяют уравнениям (5)-(6), ограничениям (7)-(8) и условию (9).

Аналитическое решение данной задачи представлено в [2].

На рис. 1 — рис. 2 изображено численное решение данной задачи, при начальном приближении .

Рис. 1. Графики оптимальных траекторий для примера 1

 

Рис. 2. График оптимального управления для примера 1

 

Сравнивая полученные численные и аналитические значения, вычислим погрешности для управления и траекторий.

  

Пример 2. Пусть управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений:

                                                                                                                (10)

с начальными условиями:

,                                                                                                     (11)

и следующими ограничениями на переменную времени:

                                                                                                                      (12)

и на управление, фазовые переменные:

                                                                                                             (13)

Критерий оптимизации имеет вид

                                                                            (14)

Требуется найти оптимальное программное управление  и соответствующую ему траекторию , которые удовлетворяют уравнениям (10)-(11), ограничениям (12)-(13) и условию (14).

Аналитическое решение данной задачи представлено в [1].

На рис. 3 — рис. 4 изображено численное решение данной задачи, при начальном приближении .

Рис. 3. Графики оптимальных траекторий для примера 2

 

Рис. 4. График оптимального управления для примера 2

 

Сравнивая полученные численные и аналитические значения, вычислим погрешности для управления и траекторий.

  

Пример 3. Пусть управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений:

                                                                                               (15)

с начальными условиями:

,                                                                                                       (16)

и следующими ограничениями на переменную времени:

                                                                                                                         (17)

и на управление:

                                                                                                                       (18)

Критерий оптимизации имеет вид

                                                                                               (19)

Требуется найти оптимальное программное управление  и соответствующую ему траекторию , которые удовлетворяют уравнениям (15)-(16), ограничениям (17)-(18) и условию (19).

Аналитическое решение данной задачи представлено в [1].

На рис. 5 изображено численное решение данной задачи, при начальном приближении .

Рис. 5. Графики численного решения примера 3

 

Сравнивая полученные численные и аналитические значения, вычислим погрешности для управления и траекторий.

  

Выполненный сравнительный анализ приближенного и аналитического решения задач показал их удовлетворительное согласование между собой.

 

Литература:

 

1.      Островский Г. М., Волин Ю. М. Методы оптимизации сложных химико-технологических схем. — М.: Химия. 1970. 328 с.

2.      Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука. 1976. 392 с.

3.      Мустафина C. А., Валиева Ю. А., Давлетшин Р. С., Балаев А. В., Спивак С. И. Оптимальные технологические решения для каталитических процессов и реакторов // Кинетика и катализ. 2005. Т. 46. № 5. С. 749–756.

4.      Мустафина С. А., Балаев А. В., Смирнов Д. Ю., Спивак С. И. Моделирование каталитического процесса дегидрирования метилбутенов // Системы управления и информационные технологии. 2006. Т. 23. № 1. С. 10–14.

5.      Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: Наука. 1978. 488 с.

Основные термины (генерируются автоматически): системой дифференциальных уравнений, численное решение, оптимального управления, оптимальное программное управление, численные и аналитические значения, начальном приближении, График оптимального управления, управляемый процесс, Графики оптимальных траекторий, управления и траекторий, задачи оптимального управления, решения задачи, Задачи оптимального управления, метода вариаций, алгоритма метода вариаций, решение задач оптимального, Выбор оптимального варианта, значение критерия, вариантов решения задачи, численного решения примера.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос