Композиционные материалы: методики измерений характеристик и поверки средств измерений

 

Поверка средств измерений (СИ) предполагает построение их градуировочных характеристик (ГХ), под которыми понимается функциональная зависимость  ( и  — соответственно входная и выходная величины), построенная на основе результатов измерений (), ; может представляться таблицей, графиком, формулой. Погрешность градуировочной характеристики в точке  будет равна

,

где  — истинное значение выходной величины  в точке . В числе наиболее распространенных функциональных зависимостей:

-          линейные ; ; ;

-          степенные, показательные и дробно-линейные функции ; приводятся к линейным путем замены переменных , , ;

-          нелинейные ,  — известные функции;  — определяемые коэффициенты (, ; разложения по ортогональным полиномам ,  при ; .

При их получении используются априорные данные:

-          о значениях входных величин ;

-          о функциональном виде ГХ;

-          о виде распределения случайных погрешностей измерений величин  и ;

-          о характеристиках погрешностей измерений  и .

При линейном или полиномиальном виде и точно известных значениях  при их построении используются: при гауссовских распределениях погрешностей измерений  — метод наименьших квадратов (МНК); при распределениях погрешностей измерений , отличных от гауссовских — робастные методы (усеченный МНК или М-оценки Хубера).

При существенных погрешностях измерений в предположении линейной зависимости используются: в случае гауссовского распределения погрешностей (,  выбираются исследователем и выполняется  наблюдений при каждом ) — МНК; для случаев, когда  определяются условиями эксперимента и не могут быть выбраны исследователем, — один из конфлюэнтных методов (табл.1).

Таблица 1

Методы построения ГХ

№	Априорная информация				Методы построения ГХ
	Вид ГХ	Распределения погрешностей	Дисперсии погрешностей	Значения аргументов
1	Линейный	Гауссовские	Постоянны	Точные	Метод наименьших квадратов (МНК)
2			Известны веса		МНК с весами
3			Постоянны	Планируемые	МНК с учетом приведенных погрешностей
4		Близки к гауссовским		Точные	Усеченный МНК
5			Известны веса		Усеченный МНК с весами
6					М-оценки Хубера
7	Линейный	Гауссовские	Известны  или	Содержат погрешности	Модифицированный МНК
8			Известно		Метод ортогональной регрессии
9		Произвольны	Постоянны	Известен порядок	Дробно-линейные оценки
10				Равномерны по диапазону	Оценка Хаузнера-Бреннана
11				Разбиты на 2 или 3 группы	Оценки Вальда или Бартлетта
12	Приводим к линейному	Гауссовские	Постоянны	Точные	МНК с весами
13			Известны веса		МНК с модифицированными весами
14		Близки к гауссовским	Известны веса	Точные	М-оценки Хубера с весами
15		Гауссовские	Постоянны	Планируемы	МНК с учетом погрешностей
16			Известны  или	Содержат погрешности	Модифицированный МНК
17	Полином		Постоянны	Точные	МНК
18			Известны веса		МНК с весами
19		Близки к гауссовским	Постоянны		Усеченный МНК
20					М-оценки Хубера

 

При заданных границах погрешностей  и  оцениваются границы суммарной погрешности в точке  или общие границы по диапазону ; при известных СКО  и случайных погрешностей и границах  и  систематических погрешностей — характеристики , составляющих погрешности.

Границы погрешностей ГХ при заданных границах погрешностей измерений величин  и  оцениваются в виде:

,  — в точке ;

 — по диапазону .

При отсутствии априорных данных о коэффициентах  принимается:

.

Если заданы характеристики составляющих погрешностей входных и выходных величин, то характеристики погрешностей в точке  оценивают по формулам:

, .

Доверительные границы случайной погрешности в точке :

,

где  — коэффициент Стьюдента при вероятности  с числом степеней свободы ;  и  — объемы выборок при оценивании  и . Если ГХ есть функция заданного вида , то оценивание погрешностей производится по линеаризованному разложению. При известных погрешностях исходных данных  и  или, если их систематические составляющие изменяются нерегулярным образом в заданных границах, можно построить приближенные доверительные границы погрешности в точке  или ее систематической составляющей. При точно известных значениях входных величин  и гауссовских распределениях погрешностей измерений выходных величин параметры линейной ГХ  определяются по методу наименьших квадратов ( — среднее (взвешенное) значений ).

При равноточных многократных измерениях выходных величин оценки коэффициентов ГХ определяются по формулам:

; ;;;.

Границы погрешностей определения коэффициентов :

, , ;

, , ;

, ;

граница погрешности ГХ в точке  определяется в виде:

, ;

, ;

.

Характеристики погрешностей для различных видов измерений приводятся в [1].

Если погрешности измерений  изменяются нерегулярным образом в заданных границах , то приближенные доверительные границы погрешностей коэффициентов и расчетных значений ГХ определяются по формулам:

Если систематические погрешности измерений  изменяются нерегулярным образом в заданных границах , то приближенные доверительные границы систематических погрешностей коэффициентов и расчетных значений ГХ определяются по формулам:

;;.

Доверительные границы случайных погрешностей коэффициентов и расчетных значений ГХ определяются по формулам:

где  — коэффициент Стьюдента, с числом степеней свободы , соответствующим используемой оценке СКО .

Указанные методы построения градуировочных характеристик использовались при построении по экспериментальным данным ряда аналитических зависимостей для описания кинетических процессов формирования физико-механических характеристик композитов [2…7].

 

Литература:

 

1.                  Планирование эксперимента. Обработка опытных данных: монография/ И. А. Гарькина [и др.]; под ред. проф. А. М. Данилова. — М.: Палеотип. — 2005. — 272с.

2.                  Данилов А. М., Гарькина И. А. Интерполяция, аппроксимация, оптимизация: анализ и синтез сложных систем: монография. — Пенза: ПГУАС. –2014. — 168 с.

3.                  Данилов А. М., Гарькина И. А. Теория вероятностей и математическая статистика с инженерными приложениями. — Пенза: ПГУАС. — 2010. — 228 с.

4.                  Гарькина И. А. Формализация оценки структуры и свойств композиционных материалов специального назначения / Строительные материалы. — 2007. — № 1. — С. 70–72.

5.                  Будылина Е. А., Гарькина И. А., Сухов Я. И. Математическое моделирование кинетических процессов в дисперсных системах / Молодой ученый. — 2013. — № 12 (59). — С. 104–107.

6.                  Гарькина И. А., Данилов А. М., Смирнов В. А.Флокуляция в дисперсных системах / Системы управления и информационные технологии. — 2008. — № 2.3 (32). — С. 344–346

7.                  Гарькина И. А., Данилов А. М., Домке Э. Р.Промышленные приложения системных методологий, теорий идентификации и управления / Вестник Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ). — 2009. — № 2. — С. 77–81.