Поверка средств измерений (СИ) предполагает построение их градуировочных характеристик (ГХ), под которыми понимается функциональная зависимость (
и
— соответственно входная и выходная величины), построенная на основе результатов измерений (
),
; может представляться таблицей, графиком, формулой. Погрешность градуировочной характеристики в точке
будет равна
,
где — истинное значение выходной величины
в точке
. В числе наиболее распространенных функциональных зависимостей:
- линейные ;
;
;
- степенные, показательные и дробно-линейные функции ; приводятся к линейным путем замены переменных
,
,
;
- нелинейные ,
— известные функции;
— определяемые коэффициенты (
,
; разложения по ортогональным полиномам
,
при
;
.
При их получении используются априорные данные:
- о значениях входных величин ;
- о функциональном виде ГХ;
- о виде распределения случайных погрешностей измерений величин и
;
- о характеристиках погрешностей измерений и
.
При линейном или полиномиальном виде и точно известных значениях при их построении используются: при гауссовских распределениях погрешностей измерений
— метод наименьших квадратов (МНК); при распределениях погрешностей измерений
, отличных от гауссовских — робастные методы (усеченный МНК или М-оценки Хубера).
При существенных погрешностях измерений в предположении линейной зависимости используются: в случае гауссовского распределения погрешностей (
,
выбираются исследователем и выполняется
наблюдений при каждом
) — МНК; для случаев, когда
определяются условиями эксперимента и не могут быть выбраны исследователем, — один из конфлюэнтных методов (табл.1).
Таблица 1
Методы построения ГХ
№ |
Априорная информация |
Методы построения ГХ |
|||
Вид ГХ |
Распределения погрешностей |
Дисперсии погрешностей |
Значения аргументов |
||
1 |
Линейный |
Гауссовские |
Постоянны |
Точные |
Метод наименьших квадратов (МНК) |
2 |
Известны веса |
МНК с весами |
|||
3 |
Постоянны |
Планируемые |
МНК с учетом приведенных погрешностей |
||
4 |
Близки к гауссовским |
Точные |
Усеченный МНК |
||
5 |
Известны веса |
Усеченный МНК с весами |
|||
6 |
М-оценки Хубера |
||||
7 |
Линейный |
Гауссовские |
Известны |
Содержат погрешности |
Модифицированный МНК |
8 |
Известно |
Метод ортогональной регрессии |
|||
9 |
Произвольны |
Постоянны |
Известен порядок |
Дробно-линейные оценки |
|
10 |
Равномерны по диапазону |
Оценка Хаузнера-Бреннана |
|||
11 |
Разбиты на 2 или 3 группы |
Оценки Вальда или Бартлетта |
|||
12 |
Приводим к линейному |
Гауссовские |
Постоянны |
Точные |
МНК с весами |
13 |
Известны веса |
МНК с модифицированными весами |
|||
14 |
Близки к гауссовским |
Известны веса |
Точные |
М-оценки Хубера с весами |
|
15 |
Гауссовские |
Постоянны |
Планируемы |
МНК с учетом погрешностей |
|
16 |
Известны |
Содержат погрешности |
Модифицированный МНК |
||
17 |
Полином |
Постоянны |
Точные |
МНК |
|
18 |
Известны веса |
МНК с весами |
|||
19 |
Близки к гауссовским |
Постоянны |
Усеченный МНК |
||
20 |
М-оценки Хубера |
При заданных границах погрешностей и
оцениваются границы суммарной погрешности в точке
или общие границы по диапазону
; при известных СКО
и
случайных погрешностей и границах
и
систематических погрешностей — характеристики
,
составляющих погрешности.
Границы погрешностей ГХ при заданных границах погрешностей измерений величин и
оцениваются в виде:
,
— в точке
;
— по диапазону
.
При отсутствии априорных данных о коэффициентах принимается:
.
Если заданы характеристики составляющих погрешностей входных и выходных величин, то характеристики погрешностей в точке оценивают по формулам:
,
.
Доверительные границы случайной погрешности в точке :
,
где — коэффициент Стьюдента при вероятности
с числом степеней свободы
;
и
— объемы выборок при оценивании
и
. Если ГХ есть функция заданного вида
, то оценивание погрешностей производится по линеаризованному разложению. При известных погрешностях исходных данных
и
или, если их систематические составляющие изменяются нерегулярным образом в заданных границах, можно построить приближенные доверительные границы погрешности в точке
или ее систематической составляющей. При точно известных значениях входных величин
и гауссовских распределениях погрешностей измерений выходных величин параметры линейной ГХ
определяются по методу наименьших квадратов (
— среднее (взвешенное) значений
).
При равноточных многократных измерениях выходных величин оценки коэффициентов ГХ определяются по формулам:
;
;
;
;
.
Границы погрешностей определения коэффициентов :
,
,
;
,
,
;
,
;
граница погрешности ГХ в точке определяется в виде:
,
;
,
;
.
Характеристики погрешностей для различных видов измерений приводятся в [1].
Если погрешности измерений изменяются нерегулярным образом в заданных границах
, то приближенные доверительные границы погрешностей коэффициентов и расчетных значений ГХ определяются по формулам:
Если систематические погрешности измерений изменяются нерегулярным образом в заданных границах
, то приближенные доверительные границы систематических погрешностей коэффициентов и расчетных значений ГХ определяются по формулам:
;
;
.
Доверительные границы случайных погрешностей коэффициентов и расчетных значений ГХ определяются по формулам:
где — коэффициент Стьюдента, с числом степеней свободы
, соответствующим используемой оценке СКО
.
Указанные методы построения градуировочных характеристик использовались при построении по экспериментальным данным ряда аналитических зависимостей для описания кинетических процессов формирования физико-механических характеристик композитов [2…7].
Литература:
1. Планирование эксперимента. Обработка опытных данных: монография/ И. А. Гарькина [и др.]; под ред. проф. А. М. Данилова. — М.: Палеотип. — 2005. — 272с.
2. Данилов А. М., Гарькина И. А. Интерполяция, аппроксимация, оптимизация: анализ и синтез сложных систем: монография. — Пенза: ПГУАС. –2014. — 168 с.
3. Данилов А. М., Гарькина И. А. Теория вероятностей и математическая статистика с инженерными приложениями. — Пенза: ПГУАС. — 2010. — 228 с.
4. Гарькина И. А. Формализация оценки структуры и свойств композиционных материалов специального назначения / Строительные материалы. — 2007. — № 1. — С. 70–72.
5. Будылина Е. А., Гарькина И. А., Сухов Я. И. Математическое моделирование кинетических процессов в дисперсных системах / Молодой ученый. — 2013. — № 12 (59). — С. 104–107.
6. Гарькина И. А., Данилов А. М., Смирнов В. А.Флокуляция в дисперсных системах / Системы управления и информационные технологии. — 2008. — № 2.3 (32). — С. 344–346
7. Гарькина И. А., Данилов А. М., Домке Э. Р.Промышленные приложения системных методологий, теорий идентификации и управления / Вестник Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ). — 2009. — № 2. — С. 77–81.