К вопросу о проверке параметрических статистических гипотез в схемах Бернулли | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №6 (65) май-1 2014 г.

Дата публикации: 29.04.2014

Статья просмотрена: 773 раза

Библиографическое описание:

Ластивка И. А. К вопросу о проверке параметрических статистических гипотез в схемах Бернулли // Молодой ученый. — 2014. — №6. — С. 19-23. — URL https://moluch.ru/archive/65/10447/ (дата обращения: 19.08.2018).

Показано, что проверка гипотез о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли и равенстве вероятностей «успеха» в двух независимых схемах Бернулли с использованием критерия  равносильна проверке тех же гипотез с использованием двустороннего критерия, основанного на нормальном приближении относительных частот «успеха».

Ключевые слова: испытания Бернулли, вероятности «успеха», критерий  Пирсона, двусторонний критерий.

1. Вступление

Наряду с традиционной методикой, основанной на нормальном приближении относительной частоты, гипотезу о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли можно проверить с использованием критерия Пирсона как гипотезу о распределении индикатора события. Однако в учебной литературе данная возможность почему-то не освещается. В связи с этим возникает потребность в сравнении обоих подходов.

То же самое касается и проверки гипотезы о равенстве вероятностей «успеха» в двух независимых схемах Бернулли, которую можно трактовать как гипотезу об однородности, и возможности использования для ее проверки критерия  Пирсона.

Сказанное и побудило автора к написанию данной статьи.

2. Постановка задачи

В данной работе ставится задача продемонстрировать «хи»-квадрат методику к проверке гипотез о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли и равенстве вероятностей «успеха» в каких-либо двух независимых схемах Бернулли, и ее сравнение с традиционной методикой, основанной на нормальном приближении относительных частот.

Математическая постановка задач приводится в пунктах 3, 4.

3. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли

Пусть в  испытаниях Бернулли «успех» имел место  раз. Необходимо проверить нулевую гипотезу , где —  вероятность «успеха» в отдельном испытании,  — фиксированное число ().

В стандартном учебном курсе математической статистики [1] критерий проверки этой гипотезы строится на сравнении заданного числа  с относительной частотой «успеха» . Если  достаточно большое, а  заметно отличается от 0 и 1, то в качестве статистики критерия берут статистику [1, с. 318, 2, с. 305]

.                                                                                                    (1)

В формуле (1)  — случайная величина.

При условии правильности нулевой гипотезы  статистика (1) имеет распределение, близкое к нормальному распределению  [1, с. 317, 2, с. 305].

Критическая область для уровня значимости  выбирается в зависимости от вида альтернативной гипотезы. В частности, для альтернативной гипотезы  критическая область определяется неравенством [2, с. 306, 3, с. 208]

,                                                                                                                      (2)

где  — выборочное значение статистики (1),  — квантиль нормального распределения  порядка .

Для альтернативных гипотез  и  критические области определяются неравенствами  и  соответственно.

Эту же гипотезу  можно проверить с использованием критерия  Пирсона. В связи с этим рассмотрим случайную величину  — индикатор «успеха» ( приобретает значение 1 в случае «успеха» и значение 0 в случае «неудачи»). Это позволяет сформулировать нашу гипотезу  в равносильном виде

случайная величина  имеет распределение

                                                                           (3)

и воспользоваться критерием  Пирсона.

Пусть для проверки нулевой гипотезы (3) проведено  испытаний Бернулли и «успех» наступил  раз.

Результаты испытаний относительно случайной величины  представим в виде:

Таблица 1

Результаты испытаний

0

1

Область возможных значений  разбита на  множества: , . При условии, что гипотеза  правильная,

, .

Для выборочного значения статистики критерия  получаем

.                                                             (4)

Это значение сравнивается с квантилем . Здесь  — квантиль -распределения с одной степенью свободы порядка . В случае  гипотеза  отклоняется.

Теперь покажем, что критерий проверки гипотезы о числовом значении вероятности «успеха» с использованием соотношения (4) равносилен двустороннему критерию (1), (2).

Действительно, квадрат выборочного значения статистики критерия  (4) равен квадрату выборочного значения статистики (1), то есть . Кроме того, справедливо равенство квантилей

.                                                                                                                (5)

В результате получаем равносильность неравенств

 ().

Таким образом, нулевая гипотеза  с использованием критерия  отклоняется тогда и только тогда, когда она отклоняется в случае использования двустороннего критерия (1), (2).

Осталось доказать равенство квантилей (5). Для этого рассмотрим случайную величину  с нормальным распределением  и воспользуемся равенством

.

Учитывая, что по определению -распределения , получим

,

откуда следует равенство (5).

Следует помнить, что в отличие от первого подхода методика с использованием критерия  Пирсона не дает возможности строить двусторонние критерии проверки гипотезы .

Кроме того, в соответствии с доказанным методика  предусматривает те же условия нормального приближения относительной частоты «успеха». Если эти условия не выполняются, следует пользоваться критериями, основанными на точном (биномиальном) распределении относительной частоты.

4. Проверка гипотезы о равенстве значений вероятностей «успеха» в двух независимых схемах Бернулли

Рассмотрим независимо друг от друга две последовательности испытаний Бернулли. Пусть в  испытаниях первой последовательности событие  появляется  раз, а в  испытаниях второй последовательности —  раза. Обозначим через  и  вероятности наступления события  («успеха») в отдельном испытании соответственно первой и второй последовательностей. Необходимо проверить гипотезу . Критерий этой проверки основывается на сравнении относительных частот «успеха»  и .

В качестве статистики критерия принимают статистику [2, с. 324, 3, с. 222]

.                                                                                                (6)

При условии правильности гипотезы  распределение этой статистики близко к нормальному распределению . При вычислении выборочного значения  статистики (6) в качестве неизвестного параметра  принимают оценку

,                                                                                                                (7)

где  и  — выборочные значения величин  и  соответственно.

Критическая область определяется неравенствами:

 — для альтернативной гипотезы ;

 — для альтернативной гипотезы ;

 — для альтернативной гипотезы .

Гипотезу о равенстве вероятностей «успеха» можно проверить с помощью критерия  Пирсона.

Предположим, что независимо друг от друга проводятся две последовательности испытаний Бернулли. Пусть в  испытаниях первой последовательности «успех» появляется  раз. Обозначим через  вероятность «успеха» в отдельном испытании первой последовательности. Пусть в  испытаниях второй последовательности «успех» появляется  раза. Вероятность «успеха» в отдельном испытании второй последовательности обозначим через .

Необходимо проверить гипотезу. Поскольку эта гипотеза эквивалентна гипотезе об однородности двух выборок с объемами  и , можно воспользоваться критерием .

С учетом обозначений

выборочное значение статистики этого критерия приобретает вид

.

Поскольку легко убедиться в справедливости равенств

,

получаем

                                                                                            (8)

Проверка гипотезы  сводится к сравнению (8) с квантилем

.

Сопоставляя (8) с выборочным значением статистики (6) при , видим, что . Кроме того, справедливо равенство (5)

Поэтому критерий  Пирсона при проверке гипотезы  дает тот же результат, что и приведенный выше критерий (6) при альтернативной гипотезе .

5. Выводы

На рассматриваемых в статье вопросах целесообразно акцентировать внимание в учебной литературе, а также использовать их в учебном процессе.

Литература:

1.         Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов. 9-е изд., стер. М.: Высш. шк. — 2003. — 479 с.

2.         Михайленко, В. В., Ластівка, І. О. Теорія ймовірностей і математична статистика: підручник. К.: НАУ. — 2013. — 564 с.

3.         Ластівка, І. О., Михайленко, В. В. Математика для економістів: навч. посіб. у 3-х ч. Ч. 3. Теорія ймовірностей і математична статистика. К.: НАУ. — 2012. — 272 с.

Основные термины (генерируются автоматически): альтернативная гипотеза, проверка гипотезы, случайная величина, использование критерия, гипотеза, двусторонний критерий, нормальное распределение, нулевая гипотеза, отдельное испытание, выборочное значение статистики, нормальное приближение.


Ключевые слова

испытания Бернулли, вероятности «успеха», критерий Пирсона, двусторонний критерий.

Похожие статьи

Проверка статистических гипотез в психолого-педагогических...

если Т (статистика критерия) принадлежит области принятия нулевой гипотезы, то нулевая гипотеза принимается, а в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.

Проблемы применения статистических критериев проверки...

Ключевые слова:выборка, генеральная совокупность, статистические критерии проверки гипотез, параметрические и непараметрические критерии. Одной из важнейших задач математической статистики на сегодняшний день является разработка и применение...

Об опыте использования табличного процессора Excel при...

Проверить гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона при уровне значимости 0,05. Ответ: см. последний рисунок.

Аналитическая модель префиксного дерева на основе...

В дополнение к этому эмпирическое распределение подверглось проверке гипотезы на нормальное распределение по критерию согласия Пирсона [7]. Значения критерия χ2 показали подтверждение гипотезы с достоверностью ≈ 0,92.

Оценка параметров распределения амплитуд в управляющих...

Займемся проверкой гипотезы о нормальности закона распределения амплитуд импульсов в управляющих воздействиях оператора транспортной эргатической системы. Статистический ряд, полученный по экспериментальным данным, приводится в таблице 1.

Методы математической статистики в технических исследованиях

Для нормального распределения эти величины нулевые.

IV. Проверка гипотезы (с помощью выбранной математической модели).

Проверка статистических гипотез в психолого-педагогических исследованиях с применением критерия Стьюдента.

О модели степени износа насосных агрегатов...

Выражение (3) является основным критерием проверки правильности найденного уравнения регрессии.

Вероятность нулевой гипотезы (p-level) значительно меньше 0,05, что говорит об общей значимости уравнения регрессии.

Экспериментальная оценка применения модульно-рейтинговой...

В качестве альтернативной гипотезы выбирается гипотеза Н1: совокупности имеют разные медианы.

Для проверки гипотез с помощью медианного критерия на основе наблюдений, записанных в таблице 7, подсчет ведется по формуле

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Проверка статистических гипотез в психолого-педагогических...

если Т (статистика критерия) принадлежит области принятия нулевой гипотезы, то нулевая гипотеза принимается, а в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.

Проблемы применения статистических критериев проверки...

Ключевые слова:выборка, генеральная совокупность, статистические критерии проверки гипотез, параметрические и непараметрические критерии. Одной из важнейших задач математической статистики на сегодняшний день является разработка и применение...

Об опыте использования табличного процессора Excel при...

Проверить гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона при уровне значимости 0,05. Ответ: см. последний рисунок.

Аналитическая модель префиксного дерева на основе...

В дополнение к этому эмпирическое распределение подверглось проверке гипотезы на нормальное распределение по критерию согласия Пирсона [7]. Значения критерия χ2 показали подтверждение гипотезы с достоверностью ≈ 0,92.

Оценка параметров распределения амплитуд в управляющих...

Займемся проверкой гипотезы о нормальности закона распределения амплитуд импульсов в управляющих воздействиях оператора транспортной эргатической системы. Статистический ряд, полученный по экспериментальным данным, приводится в таблице 1.

Методы математической статистики в технических исследованиях

Для нормального распределения эти величины нулевые.

IV. Проверка гипотезы (с помощью выбранной математической модели).

Проверка статистических гипотез в психолого-педагогических исследованиях с применением критерия Стьюдента.

О модели степени износа насосных агрегатов...

Выражение (3) является основным критерием проверки правильности найденного уравнения регрессии.

Вероятность нулевой гипотезы (p-level) значительно меньше 0,05, что говорит об общей значимости уравнения регрессии.

Экспериментальная оценка применения модульно-рейтинговой...

В качестве альтернативной гипотезы выбирается гипотеза Н1: совокупности имеют разные медианы.

Для проверки гипотез с помощью медианного критерия на основе наблюдений, записанных в таблице 7, подсчет ведется по формуле

Задать вопрос