Введение. Вычислительная гидродинамика (Computational Fluid Dynamics, CFD) является одним из основных инструментов численного исследования процессов переноса, аэродинамики и течений жидкости. Современные CFD-подходы широко применяются при моделировании внешнего обтекания транспортных средств, задач теплообмена, распространения примесей и конвективно-диффузионных процессов. Для сложных геометрий аналитические решения, как правило, отсутствуют, поэтому основным методом исследования становятся численные методы. Одним из наиболее распространённых численных подходов является метод конечных объёмов (Finite Volume Method, FVM), обладающий консервативностью, устойчивостью и возможностью применения на неструктурированных сетках. Использование неструктурированных треугольных сеток особенно важно при моделировании сложной геометрии транспортных средств, поскольку позволяет выполнять локальное сгущение элементов вблизи поверхности объекта и более точно описывать границы расчётной области. Однако применение triangular unstructured meshes сопровождается рядом численных трудностей, включая non-orthogonality, skewness и увеличение численной диффузии. При больших числах Пекле задача становится convection-dominated, что может приводить к появлению нефизических осцилляций и ухудшению устойчивости решения. Для подавления подобных эффектов широко применяются upwind- и hybrid-схемы дискретизации. В последние годы наблюдается активное развитие finite volume методов для convection–diffusion и Navier–Stokes задач на неструктурированных сетках. Современные исследования посвящены повышению устойчивости схем, уменьшению numerical diffusion и моделированию течений вокруг сложных инженерных объектов, включая транспортные средства и внешние аэродинамические конфигурации. В данной работе рассматривается численное моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса вокруг двумерной геометрии грузового автомобиля с использованием метода конечных объёмов на неструктурированных треугольных сетках. Геометрия расчётной области была создана в программном комплексе Gmsh, после чего выполнена генерация сетки с локальным сгущением вблизи поверхности объекта. В работе реализованы импорт сетки, вычисление геометрических характеристик контрольных объёмов, дискретизация конвективных и диффузионных потоков, upwind-аппроксимация и решение системы линейных алгебраических уравнений. Проведён анализ влияния коэффициента диффузии на структуру распределения скалярного поля и поведение решения в convection-dominated режимах.

Целью данной работы является численное моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса вокруг сложной двумерной геометрии грузового автомобиля с использованием метода конечных объёмов на неструктурированных треугольных сетках.

Обзор литературы. Метод конечных объёмов является одним из наиболее распространённых численных подходов в вычислительной гидродинамике благодаря консервативности, устойчивости и возможности применения на сетках сложной структуры. Основные принципы построения конечно-объёмных схем для задач теплообмена, динамики жидкости и переноса подробно рассмотрены в работах С. В. Патанкара [1], H. K. Versteeg и W. Malalasekera [2], а также J. H. Ferziger и M. Perić [3]. В современных CFD-задачах особое значение имеет использование неструктурированных сеток, позволяющих более точно описывать сложные геометрические контуры и выполнять локальное сгущение элементов в областях больших градиентов. Подробное изложение метода конечных объёмов на неструктурированных сетках, включая аппроксимацию потоков, обработку граничных условий и особенности построения матриц коэффициентов, представлено в работе F. Moukalled, L. Mangani и M. Darwish [4]. Вопросы численной устойчивости, аппроксимации конвективных членов и применения CFD к задачам внешнего и внутреннего течения также рассмотрены в работах C. Hirsch [5], J. Blazek [7] и J. D. Anderson [8]. Для задач конвективно-диффузионного переноса важную роль играет выбор схемы аппроксимации конвективного потока. Центральные схемы обладают более высоким порядком точности, однако при доминировании конвекции могут приводить к нефизическим осцилляциям. Для повышения устойчивости широко применяются upwind-, TVD- и другие монотонные схемы [10, 15, 16]. Основы конечно-объёмных методов для гиперболических задач и анализа численного переноса подробно изложены в работе R. J. LeVeque [6]. При моделировании течений на неструктурированных сетках возникают дополнительные численные трудности, связанные с неортогональностью, скошенностью ячеек и ошибками восстановления градиентов. Эти вопросы подробно обсуждаются в работах, посвящённых error analysis и построению конечно-объёмных схем для сложных расчётных областей [9, 19]. Для решения уравнений движения жидкости и связанных с ними задач давления и скорости важное значение имеют алгоритмы расщепления, включая SIMPLE-подход, предложенный R. I. Issa [13], а также метод Rhie–Chow interpolation для устранения неустойчивостей давления на коллокационных сетках [14].

Таким образом, анализ литературы показывает, что метод конечных объёмов является эффективным инструментом для моделирования конвективно–диффузионных процессов и задач CFD на сложных геометриях. Однако применение неструктурированных треугольных сеток требует дополнительного внимания к устойчивости схемы, численной диффузии, качеству сетки и корректной аппроксимации потоков через грани контрольных объёмов. В связи с этим исследование конвективно-диффузионного переноса вокруг сложной геометрии грузового автомобиля на неструктурированной сетке является актуальной задачей.

Математическая постановка задачи . Уравнение конвекции–диффузии . В качестве математической модели рассматривается двумерное нестационарное уравнение конвекции–диффузии:

где ϕ — скалярная величина; U — вектор скорости; Γ — коэффициент диффузии; t — время.

Левая часть уравнения (1) описывает конвективный перенос скалярной величины потоком жидкости, а правая часть отвечает за диффузионный перенос.

Для стационарного случая уравнение принимает вид:

Компонентная форма уравнения. Для двумерного случая уравнение можно записать в компонентной форме:

Число Пекле. Для анализа соотношения конвективного и диффузионного переноса используется число Пекле:

где U — характерная скорость; L — характерный размер области; Γ — коэффициент диффузии.

При малых значениях Pe преобладает диффузионный перенос, а при больших — конвективный.

Граничные условия. Расчётная область представляет собой прямоугольную область с внутренним контуром грузового автомобиля.

На входной границе x = 0 задаётся условие Дирихле:

На выходной границе x = Lx используется условие нулевого градиента:

На верхней и нижней границах области:

На поверхности грузового автомобиля задаётся условие непроницаемой стенки:

Начальное условие:

Расчётная область. Размеры расчётной области выбирались таким образом, чтобы минимизировать влияние искусственных граничных условий на структуру потока вокруг объекта.

Метод конечных объёмов . Основная идея метода . Метод конечных объёмов основан на интегрировании исходного дифференциального уравнения по контрольному объёму:

После применения теоремы Гаусса:

получаем:

Таким образом, задача сводится к вычислению потоков через грани контрольного объёма.

Дискретизация временного члена . Для временной дискретизации использовалась неявная схема:

Неявная схема обладает высокой устойчивостью и позволяет использовать большие временные шаги.

Конвективный поток . Конвективный поток через грань определяется как:

Тогда конвективный вклад записывается в виде , где вектор площади грани; — значение скаляра на грани.

Центральная схема . Центральная аппроксимация имеет вид:

где P — текущая ячейка; N — соседняя ячейка. Данная схема обладает вторым порядком точности, однако может становиться неустойчивой при больших числах Пекле.

Upwind-аппроксимация . Для повышения устойчивости использовалась upwind-схема (схема против потока).

Если:

то:

иначе:

Тогда поток записывается как:

Upwind-схема имеет первый порядок точности, но обеспечивает устойчивость расчёта при конвективном доминировании.

Диффузионный поток . Диффузионный поток через грань аппроксимируется следующим образом:

где — площадь грани; — расстояние между центрами соседних ячеек. Тогда суммарный диффузионный поток равен:

Итоговая дискретизированная система. После суммирования потоков по всем граням контрольного объёма получаем алгебраическое уравнение для каждой ячейки:

где — диагональный коэффициент; коэффициенты соседних ячеек; b — правая часть. В матричной форме система уравнений имеет вид:

Неструктурированные сетки. Треугольные сетки . Для описания сложной геометрии использовалась неструктурированная треугольная сетка. Преимущества: высокая гибкость; возможность локального сгущения; точное описание сложных контуров. Недостатки: skewness (скошенность ячеек); неортогональность; повышенная численная диффузия.

Неортогональность. Для неструктурированных сеток направление между центрами ячеек может не совпадать с нормалью к грани:

Это приводит к дополнительной ошибке аппроксимации. Для повышения точности градиент раскладывается на ортогональную и корректирующую составляющие:

Ортогональная часть:

Корректирующая часть учитывает касательный вклад.

Геометрия и генерация сетки . Геометрия грузового автомобиля была создана в программном комплексе Gmsh. Расчётная область включала входную границу, выходную границу, верхнюю и нижнюю границы, а также внутренний контур грузового автомобиля. Вблизи поверхности объекта выполнялось локальное сгущение сетки для более точного разрешения градиентов. После генерации сетка экспортировалась в формате.msh.

Рис. 1. Геометрия расчётной области

Рис. 2. Сгущение сетки около грузовика

Общая структура алгоритма. Численный алгоритм решения задачи включает следующие этапы:

— Импорт сетки Gmsh.

— Построение граней контрольных объёмов.

— Вычисление геометрических характеристик.

— Задание физических параметров.

— Формирование коэффициентов матрицы.

— Дискретизация конвективных потоков.

— Дискретизация диффузионных потоков.

— Сборка разреженной матрицы.

— Решение системы линейных уравнений.

— Постобработка результатов.

Используемые библиотеки. Для реализации численного метода использовались: NumPy, SciPy, Matplotlib и Numba.

Импорт сетки . Чтение сетки:

points, cells = read_msh(«truck3.msh»)

Построение граней:

faces = build_faces(cells)

Вычисление геометрии:

centers, volumes, faces = compute_geometry(points, cells, faces)

Физические параметры

Gamma = 0.3

Ux = 1.0

Uy = 0.0

velocity = np.array([Ux, Uy])

где Gamma — коэффициент диффузии; Ux, Uy — компоненты скорости.

Upwind-дискретизация

if F >= 0.0:

aP_conv = F; aN_conv = 0.0

else:

aP_conv = 0.0; aN_conv = -F

Диффузионный поток

D = (Gamma * areas [i] / dmag [i])

Сборка матрицы

A = sp.csr_matrix((data, (rows, cols)), shape=(Nc, Nc))

Решение системы:

phi = spla.spsolve(A, b)

Ускорение вычислений

@njit

def build_matrix_numba(...):

Использование Numba позволяет существенно сократить время сборки матрицы при больших размерах сетки.

Сходимость решения . Контроль сходимости осуществлялся по невязке:

Расчёт продолжался до достижения заданного уровня невязки.

Рис. 3. График сходимости residuals

Визуализация результатов

contour = ax.tricontourf(points [:, 0], points [:, 1], triangles, node_phi, levels=100)

Полученное поле визуализирует распределение скалярной величины вокруг объекта.

Анализ результатов и обсуждение. Для более глубокого анализа численного решения были исследованы распределения скалярного поля и профильные зависимости вдоль центральной линии расчётной области. На рисунке 4 представлены профили скалярной величины φ для различных значений коэффициента диффузии Γ. Сравнение кривых позволяет проследить изменение структуры решения при переходе от конвективно-доминирующего режима к режиму с преобладанием диффузионных процессов. При минимальном значении коэффициента диффузии Γ = 0.01 наблюдается ярко выраженное доминирование конвекции. Профиль имеет резкие скачки и локальные колебания, особенно в области за препятствием. Такие осцилляции связаны с тем, что перенос скалярной величины осуществляется в основном потоком, а влияние диффузионного сглаживания оказывается недостаточным. В области x ≈ 16–18 наблюдается резкое снижение значения φ, что соответствует зоне формирования следа за грузовым автомобилем. После прохождения препятствия профиль сохраняет колебательный характер на значительном расстоянии, что указывает на высокую чувствительность решения к локальным изменениям поля при малой диффузии. Для промежуточных значений коэффициента Γ = 0.1 и Γ = 0.3 характер распределения существенно изменяется. Амплитуда численных колебаний уменьшается, а профиль становится более плавным. Следовая область начинает расширяться, а её границы становятся менее резкими. Это объясняется усилением действия диффузионного механизма, который перераспределяет скалярное поле в поперечном направлении и уменьшает локальные градиенты. Несмотря на это, в зоне резкого изменения решения всё ещё сохраняются небольшие осцилляции, обусловленные сложным взаимодействием конвективного и диффузионного членов уравнения. Наиболее устойчивое и сглаженное решение наблюдается при Γ = 1.0. В данном случае диффузионный перенос начинает преобладать над конвекцией, вследствие чего профиль становится гладким практически на всей длине области. После препятствия отсутствуют выраженные скачки и высокочастотные колебания, а изменение скалярного поля происходит постепенно. Следовая область становится значительно шире, однако её контрастность уменьшается. Физически это означает, что интенсивное диффузионное рассеивание препятствует сохранению узкого концентрированного следа и способствует более равномерному распределению скалярной величины в потоке. Особого внимания заслуживает область резкого падения профиля при x ≈ 15–17. Именно в этой зоне наблюдается максимальное влияние препятствия на структуру течения. Здесь возникают наиболее интенсивные пространственные градиенты, происходит перестройка поля и формируется следовая область. При малых значениях Γ данный переход носит практически скачкообразный характер, тогда как увеличение коэффициента диффузии приводит к более плавному изменению решения. Такое поведение соответствует физической природе конвективно-диффузионного переноса и подтверждает корректность реализованной математической модели.

Рис. 4. Профильное сравнивание

Рис. 5. Влияние коэффициента диффузии

Дополнительно анализ графиков показывает, что увеличение коэффициента диффузии приводит к уменьшению максимальных и минимальных локальных экстремумов. Иными словами, поле становится более однородным. Это является характерным признаком усиления процессов выравнивания концентрации за счёт диффузии. В то же время при малых Γ наблюдается сохранение локальных неоднородностей на значительном расстоянии downstream от объекта, что характерно для convection-dominated режимов. С точки зрения численной реализации полученные результаты подтверждают устойчивость разработанного алгоритма. Использование неявной схемы интегрирования позволило обеспечить стабильность вычислений даже при сравнительно больших временных шагах. Применение upwind-дискретизации эффективно устраняет неустойчивые нефизические осцилляции, возникающие при доминировании конвекции, однако сопровождается появлением дополнительной численной диффузии. Это особенно заметно при больших значениях Γ, где профиль становится ещё более сглаженным. Несмотря на это, метод сохраняет физическую корректность решения и обеспечивает адекватное воспроизведение основных закономерностей переноса. Таким образом, проведённый анализ демонстрирует, что разработанная модель успешно воспроизводит взаимодействие конвективных и диффузионных процессов на неструктурированной треугольной сетке сложной геометрии. Полученные результаты согласуются с теоретическими представлениями о поведении решений конвективно-диффузионного уравнения и подтверждают эффективность метода конечных объёмов для моделирования подобных задач вычислительной гидродинамики.

Заключение. Вданной работе была разработана численная модель конвективно-диффузионного переноса вокруг сложной геометрии грузового автомобиля с использованием метода конечных объёмов на неструктурированных треугольных сетках. В процессе исследования была создана геометрия расчётной области, выполнена генерация сетки в среде Gmsh и реализован импорт сеточных данных в Python. Для каждого контрольного объёма были вычислены геометрические параметры, после чего выполнена дискретизация конвективных и диффузионных потоков с использованием upwind-аппроксимации и неявной схемы интегрирования по времени. Также была реализована сборка разреженной матрицы коэффициентов и решение системы линейных алгебраических уравнений, что позволило получить распределения скалярного поля в области течения вокруг объекта. Проведённые вычислительные эксперименты показали, что метод конечных объёмов обеспечивает устойчивое и физически корректное решение задач конвективно-диффузионного переноса даже на неструктурированных сетках сложной геометрии. Анализ результатов продемонстрировал существенное влияние коэффициента диффузии на структуру поля и характеристики следовой области. При малых значениях коэффициента диффузии преобладают конвективные механизмы переноса, что приводит к формированию вытянутого следа и резких градиентов, тогда как увеличение диффузии вызывает сглаживание распределения и уменьшение контрастности поля. Было установлено, что использование upwind-схемы обеспечивает устойчивость расчёта при конвективном доминировании, а локальное сгущение сетки вблизи поверхности объекта позволяет повысить точность численного решения.Разработанная модель может служить основой для дальнейшего развития более сложных вычислительных алгоритмов. В перспективе возможно расширение работы на решение полной системы уравнений Навье–Стокса, реализацию SIMPLE-алгоритма для расчёта давления и скорости, применение схем второго порядка точности, использование турбулентных моделей и переход к трёхмерному моделированию. Дополнительно перспективным направлением является внедрение адаптивного сгущения сетки и технологий параллельных вычислений для повышения эффективности и точности расчётов при моделировании реальных инженерных задач.

Литература:

1. Патанкар С. В. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. — М.: Энергоатомиздат, 1984.
2. Versteeg H. K., Malalasekera W. An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method. — Pearson Education, 2007.
3. Ferziger J. H., Perić M. Computational Methods for Fluid Dynamics. — Springer, 2002.
4. Moukalled F., Mangani L., Darwish M. The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics. — Springer, 2016.
5. Hirsch C. Numerical Computation of Internal and External Flows. — Butterworth-Heinemann, 2007.
6. LeVeque R. J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. — Cambridge University Press, 2002.
7. Blazek J. Computational Fluid Dynamics: Principles and Applications. — Elsevier, 2015.
8. Anderson J. D. Computational Fluid Dynamics. — McGraw-Hill, 1995.
9. Jasak H. Error Analysis and Estimation for the Finite Volume Method with Applications to Fluid Flows. — Imperial College London, 1996.
10. Darwish M., Moukalled F. TVD schemes for unstructured grids // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2003.
11. OpenFOAM User Guide. — OpenFOAM Foundation.
12. Gmsh Documentation. — Gmsh Developers.
13. Issa R. I. Solution of the implicitly discretised fluid flow equations by operator-splitting // Journal of Computational Physics. — 1986.
14. Rhie C. M., Chow W. L. Numerical study of the turbulent flow past an airfoil with trailing edge separation // AIAA Journal. — 1983.
15. Barth T. J., Jespersen D. C. The design and application of upwind schemes on unstructured meshes // AIAA Paper. — 1989.
16. Leonard B. P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1979.
17. Spalding D. B. A novel finite difference formulation for differential expressions involving both first and second derivatives // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 1972.
18. Perić M. Finite volume methods for the prediction of fluid flows // AIAA Journal. — 1985.
19. Eymard R., Gallouët T., Herbin R. Finite Volume Methods // Handbook of Numerical Analysis. — 2000.
20. Fletcher C. A. J. Computational Techniques for Fluid Dynamics. — Springer, 1991.