This paper examines a nonlocal reaction-diffusion equation describing the development of a viral infection in tissues. The infection spreads as a reaction-diffusion wave, considering the virus distribution in genotype space, the antiviral immune response, and natural genotype-dependent viral death. A Cauchy problem is posed for this equation. It is shown that the problem under consideration can be reduced to a nonlinear Volterra integral equation of the second kind. The method of successive approximations is then applied.

Keywords: virus density distribution, genotype, nonlocal reaction-diffusion equation, wave propagation, infection development, Volterra integral equation.

Введение

Математическое моделирование биологических систем в настоящее время является одной из наиболее активно развивающихся областей междисциплинарной науки. Повышенный интерес к данному направлению обусловлен необходимостью изучения механизмов возникновения и развития широко распространённых заболеваний, а также различных нарушений функционирования организма человека. Полученные результаты имеют важное практическое значение и могут быть использованы при разработке методов диагностики, профилактики и лечения заболеваний в современной медицине и системе здравоохранения.

Несмотря на значительные достижения, достигнутые в области теоретической и клинической медицины, многие физиологические процессы отличаются высокой степенью сложности. Это нередко ограничивает возможности применения исключительно экспериментальных и эмпирических методов исследования. В связи с этим возрастает роль математического и компьютерного моделирования, позволяющего получить более точное количественное описание происходящих процессов. Создание и анализ математических моделей в биомедицинских исследованиях способствует более глубокому пониманию механизмов функционирования организма как в нормальном состоянии, так и при развитии различных патологий. Кроме того, такие модели могут служить инструментом для прогнозирования течения заболеваний и оценки эффективности возможных методов лечения.

В последние годы одним из перспективных направлений в данной области стало применение нелокальных реакционно-диффузионных уравнений. Подобные модели позволяют учитывать ряд сложных явлений, играющих важную роль в биологических и биомедицинских процессах, в частности при исследовании распространения инфекций. Вирусные заболевания и особенности их взаимодействия с иммунной системой человека остаются важным объектом научных исследований и медицинской практики. Это связано с распространённостью и социальной значимостью таких инфекций, как СПИД, туберкулёз, гепатит, COVID-19 и других.

При построении математических моделей развития вирусных инфекций необходимо учитывать пространственно-временную динамику распространения вируса в тканях организма. Учет таких факторов позволяет более адекватно описывать процессы инфицирования и реакции иммунной системы. Таким образом, разработка и исследование математических моделей иммунного ответа, создание новых методов моделирования инфекционных заболеваний, а также проведение их численного анализа представляют собой актуальную научную задачу.

Процесс превращения может иметь различную природу. В частности, он может описывать химические реакции, а также изменение численности биологических популяций, например, клеток или микроорганизмов. Уравнение вида (1) широко известно в математической биологии и физике как уравнение реакции–диффузии.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение в частных производных

(1)

Данное уравнение относится к классу параболических уравнений и описывает изменение концентрации во времени и пространстве под воздействием двух основных процессов:

– диффузии с коэффициентом ,

– локальных превращений, происходящих с суммарной скоростью .

Процесс превращения может иметь различную природу. В частности, он может описывать химические реакции, а также изменение численности биологических популяций, например, клеток или микроорганизмов. Уравнение вида (1) широко известно в математической биологии и физике как уравнение реакции–диффузии .

Впервые нелинейное уравнение такого типа было применено для описания пространственной динамики популяций в 1937 году советскими математиками А . Н . Колмогоровым, И. Г. Петровским и Н. С. Пискуновым [1]. Практически одновременно была опубликована работа Р . А . Фишера [2], в которой была предложена математическая модель распространения благоприятного гена в пространственно распределённой популяции.

В этих работах рассматривалась модель, со случайным движением и

воспроизводством популяции.

Авторы исследовали решения в виде реакционно-диффузионных волн, описывающих распространение популяции в пространстве.

В рассматриваемой модели используется логистический член

который отражает тот факт, что скорость роста популяции пропорциональна её плотности 𝑢 и количеству доступных ресурсов с положительным коэффициентом .

Пусть Рассмотрим следующую задачу Коши для нелинейного уравнение реакции диффузии:

(2)

(3)

где

Приведем некоторые сведения связанные с преобразованием Фурье, а также их свойства, используемые в данной работе [3].

Напомним [1], что преобразованием Фурье функции называется отображение, которое каждой функции ставит в соответствие функцию , зависящей от параметра и определяемую следующим несобственным интегралом:

, (4)

Для восстановления исходной функции по её Фурье-образу используется обратное преобразование Фурье , которое задаётся формулой

, . (5)

Прямое и обратное преобразования Фурье определены, в частности, для функций, которые являются абсолютно интегрируемыми на интервале . При они стремятся к нулю.

1. Линейность. Пусть для функций и существуют преобразования Фурье. Тогда для любых чисел и , для функции

преобразование Фурье также существует, причем

.

Аналогичное свойство выполняется и для обратного преобразования Фурье.

2. Преобразование Фурье производных

Пусть функция абсолютно интегрируема на (–∞,+∞) и имеет n непрерывных и также абсолютно интегрируемых производных. Тогда для преобразования Фурье её производной выполняется соотношение

3. Свертка функций

Поставим в соответствие паре функций и функцию ( ,, определяемую несобственным интегралом, зависящим от параметра x :

Эта операция называется свёрткой функций .

4. Преобразование Фурье свёртки

Если для функций и существуют преобразования Фурье, то преобразование Фурье их свёртки равно произведению преобразований:

Перейдём к исследованию задачи (2), (3). Применив к уравнению (2) и начальному условию (3), преобразование Фурье по переменной и используя перечисленные выше свойства, получаем

, (6)

. (7)

Задача (6), (7) представляет собой задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Ее решением будет функция

(8)

Остается найти ту функцию ), преобразованием Фурье которой является .

Пусть По формуле обращения (5) и таблицу из [3], найдем

Другими словами

,

Отсюда имеем

Здесь мы воспользовались свойством 4 о преобразовании Фурье

свертки двух функций.

Следовательно, функция u ( x , t ), преобразованием Фурье которой является функция , имеет вид

Отсюда с учетом вида функции имеем

(9)

Уравнение (9) представляет собой нелинейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода относительно функции , которое можно найти методом последовательных приближений

(10)

где

Пусть класс непрерывных и ограниченных на функций. В этом случае интегральное уравнение (10) имеет единственное решение [см.4]

Итак, доказана

Теорема. Если ,то интегральное уравнение (10) имеет единственное решение, следовательно, является классическим решением задачи (2), (3).

Литература:

1. Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме [Текст] // Бюллетень МГУ. Сер. А. Математика и Механика. — 1937. — Т. 1, № 6. — С. 1–26.
2. Fisher R. The wave of advance of advantageous genes [Текст] // Annals of Eugenics. — 1937. — Т. 7, № 4. — С. 355–369.
3. Мартинсон Л. К. Дифференциальные уравнения математической физики: учеб. для студ. втузов / Л. К. Мартинсон, Ю. И. Малов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002.- 367с. — (Математика в техническом университете, Вып 12).
4. Аблабеков Б. С. Интегральные уравнения Вольтерра и их приложения: Учебное пособие// КГТУ им. И.Раззакова, Б. С. Аблабеков. — Бишкек: ИЦ «Текник», 2008.– 148с.