Аддитивные задачи для вычетов по модулю k

Рассматриваются задачи о сложении классов вычетов по растущему модулю. В частности, получены условия, при которых плотность классов вычетов, представимых в виде суммы двух классов из заданных множеств, положительна, то есть число представимых классов по модулю больше, чем , где − положительная константа. Устанавливается, что представление классов вычетов по модулю в виде суммы двух примитивных классов вычетов можно рассматривать как аналог бинарной проблемы Гольдбаха для группы . Получена точная формула для числа представлений натурального числа в виде суммы двух примитивных классов по модулю .

Problems about addition of classes of deductions on the growing module are considered. In particular, the following conditions are received at which the density of classes of deductions, representable in the form of the sum of two classes from the set sets, is positive, that is the number of representable classes on the module k is more than сk, where с – is a positive constant. It is established that representation of classes of deductions on the module k in the form of the sum of two primitive classes of deductions can be considered as analogue of a binary problem of Goldbah for group z_k. The exact formula is received for number of representations of natural number n in the form of the sum of two primitive classes on the module k.

Пусть - натуральное число. Мы будем рассматривать вопросы о представлении класса вычетов по модулю в виде суммы нескольких классов вычетов по модулю , принадлежащих некоторым заданным подмножествам группы Например, так как все простые числа за исключением простых делителей находится в примитивных классах вычетов по модулю , причем имеются в каждом примитивном классе вычетов по модулю , то вопрос о представлении классов вычетов по модулю в виде суммы двух примитивных классов вычетов можно рассматривать как аналог бинарной проблемы Гольдбаха для группы

В отличие от классической проблемы Гольдбаха этот ее аналог для группы решается полностью.

Пусть - целое число, обозначим через - число представлений в виде суммы двух примитивных вычетов по модулю , т.е. число решений сравнения в примитивных вычетах и Имеем:

где - число решений сравнения В силу мультипликативности функции по первому аргументу, отсюда следует;

Из определения функции , следует, что

Поэтому

Таким образом, мы получили точную формулу для числа представлений целого числа в виде суммы двух примитивных вычетов по модулю . Из нее в частности следует, что при нечетном такое представление существует для любого , а при четном указанное представление допускает все четные и только они.

Более сложные задачи получаются при рассмотрении аналогов известных задач о представлении натуральных чисел в виде суммы двух слагаемых, одно из которых является простым числом, а другое принадлежит некоторой редкой последовательности. Первой из таких задач является задача о представлении натуральных чисел в виде суммы простого числа и степени некоторого заданного целого числа, рассмотренные Н.П.Романовым [1] ,который доказал, что множество представимых чисел имеет положительную асимптотическую плотность.

Мы докажем, что некоторый аналог теоремы Романова справедлив на группе .

Отметим прежде всего, что тождество Романова, на котором основано доказательство его теоремы, можно обобщить на любую аддитивную группу.

Пусть - аддитивная абелева группа, и - какие-либо подмножества группы , - некоторое конечное множество пар где Для каждого обозначим через - число представлений элемента в виде суммы где Тогда

где - число пар множества

Это и есть аналог тождества Романова для группы . Применим его к случаю когда множество примитивных классов по модулю множество вычетов по модулю чисел где - заданное целое число взаимно простое с (таким образом, в данном случае ),

Заметим для дальнейшего, что наряду с тождеством Романова для аддитивной группы справедливы также аналоги неравенств Романова-Шнирельмана и Романова-Эрдеша. Действительно, в силу неравенств Коши

Отсюда и из тождества Романова следует

(аналог неравенства Романова-Шнирельмана).

Далее,

(аналог неравенства Романова-Эрдеша).

Подсчитаем величины и в интересующем нас случае. Так как общее число примитивных классов по модулю равно а число различных вычетов чисел по модулю равно -показателю числа по модулю , то

Так как пробегает вместе с приведенную систему вычетов по модулю то для подсчета внутренней суммы можно использовать полученный ранее результат о представлении целых чисел суммой двух примитивных вычетов по модулю Получаем:

.

Отметим, что если и одновременно четны то при и при соответствующие слагаемые равны 0, а слагаемые, отвечающие остальным значениям и , отличны от нуля (так как в них разность является четной &#﴿;.

Если же и не являются одновременно четными, то все слагаемые положительны ввиду четности разности при нечетном .

Введем обозначение

Тогда, если и не являются одновременно четными, то

Случай, когда и одновременно четны, рассматривается аналогично. Отсюда вытекает следующая оценка сверху для

В силу сходимости ряда Романова последняя сумма ограничена константой, зависящей только от так что

Отсюда и из неравенства Романова-Шнирельмана для группы следует: Число классов вычетов по модулю , представимых в виде суммы примитивного класса и класса, порожденного некоторой степенью числа больше чем

Так как

то отсюда следует

Теорема 1. Пусть - число классов вычетов по модулю , представимых в форме суммы примитивного класса и вычета некоторой степени числа по модулю Тогда справедливо неравенство

где - положительная константа.

Поскольку общее число классов вычетов по модулю равно , это означает, что множество классов вычетов по модулю , представимых в указанным образом имеет положительную асимптотическую плотность при

Литература:

1. Romanov N.P Uber einige Starze der additiven Zahlentheorie, Math. Ann.109 (1934).668-678.

2. Selberg S. A. generalization of a theorem of Romanoff, Kong. Norske vid.Selsc. For handl. 35,17 (1962),91-95.

3. Файнлейб А.С., Оразов М. Бинарные аддитивные задачи с показательной функцией. Литовский математический сборник.1978.№4. 187-198.

4. Оразов М. Аддитивные задачи с редкими последовательностями, канд. диссертация, Чарджоу,1982.