К вопросу расчета пластин и оболочек с нарушениями регулярности



Современные технологии позволяют создавать конструкции с практически любыми геометрическими параметрами. Однако и на сегодняшний день точная оценка их напряженно-деформированного состояния представляет определенные трудности. Любые нарушения регулярности, неравномерный характер закреплений, нестандартные условия работы конструкций значительно усложняют моделирование ситуации и расчёты. Напряженно-деформированное состояние тонкостенных пространственных конструкций с нарушениями регулярности требует систематизации и дальнейших исследований.

Как в отечественной, так и в зарубежной практике широкое применение находят приближенные численные методы решения задач строительной механики. Построение замкнутого аналитического решения для большинства задач не представляется возможным, а проведение качественных экспериментальных исследований требует много времени и средств.

Ключевые слова: пластины, оболочки, методы расчёта конструкций, рёбра жёсткости, физическая нелинейность, геометрическая нелинейность.

Тонкостенные оболочки и пластины переменной толщины с различными типами закреплений, отверстиями, пазами, накладками и т. п. находят широкое применение в различных областях техники: от производства машин и механизмов, судов и самолётов до космических кораблей, а так же строительной отрасли: которые создаются из бетона, металла, дерева или пластмасс. Зачастую пластины и оболочки подкрепляются дополнительными ребрами для большей жесткости.

Для решения задач на расчет тонкостенных конструкций инженерами предложен ряд практических методов.

Аналитические методы появились первыми, и с их помощью решены большинство задач теории пластин и оболочек регулярной структуры. Решение метода определяются краевыми или начальными условиями задачи и не требуют разбивки на отдельные элементы. Исследование напряженно-деформированного состояния удобно вести с помощью методов Фурье и Канторовича-Власова, позволяющих представить решение в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. В некоторых случаях применялись асимптотические методы, которые широко использовали основоположники теории оболочек: В. З. Власов, А. Л. Гольденвейзер, А. И. Лурье, В. В. Новожилов.

Вариационные методы решения дифференциальных уравнений в теории пластин и оболочек являлись по сути аналитическими. К ним относятся методы Ритца, Бубнова-Галеркина и Тимошенко.

Численные методы по определению являются приближенными. Вместо того чтобы разыскивать сложные функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям, описывающим исследуемое явление, и краевым условиям, вводят набор известных простых (очень часто — кусочно-непрерывных) базисных функций, с помощью которых находят производные, входящие в дифференциальные уравнения.

Метод конечных разностей (МКР) является приближенным методом решения краевых задач для дифференциальных уравнений, его также называют методом сеток. Существенное преимущество МКР по отношению к другим численным методам — это несильная зависимость используемого алгоритма от вида дифференциальных уравнений и краевых условий задачи. Недостаток же состоит в том, что приходится решать системы алгебраических уравнений высоких порядков.

Вариационно-разностный метод (ВРМ) базируется на вариационных принципах механики и свободен от ряда недостатков, присущих МКР. В данном случае деформирование строительной конструкции описывается неким функционалом, чаще всего это выражение потенциальной энергии системы — функционал Лагранжа, который в положении равновесия системы является стационарным.

В последнее время для расчета строительных конструкций с помощью ЭВМ широкое распространение получил метод конечных элементов (МКЭ). Этот метод используется в большинстве программных комплексов для автоматизированных инженерных расчётов (ANSYS, SCAD, Lira и др.) Суть этого метода заложена в его названии: рассчитываемую систему (стержневую или континуальную) разбивают на определенное число отдельных частей конечных размеров (конечных элементов), имеющих те же физико-механические характеристики, что и заданная конструкция. После этого точно или приближенно изучают напряженно-деформированное состояние каждого конечного элемента методами, известными в строительной механике и теории упругости: сил, перемещений или смешанным, с целью определения в зависимости от принятого метода анализа усилий, или перемещений, или и того и другого в точках соединения конечных элементов между собой (узлах).

Метод конечных элементов весьма привлекателен для инженеров-расчетчиков в связи с тем, что возможная достаточно сложная геометрия объекта исследования (стержневая или тонкостенная пространственная система, объемное тело и т. д.) достаточно точно аппроксимируется конечно элементной моделью. Сравнительно легко учитываются условия закрепления конструкции и ее нелинейные свойства (геометрическая, физическая и конструктивная нелинейности). Реализация МКЭ связана с необходимостью разбиения на конечные элементы (дискретизации) всего рассматриваемого объекта, что в свою очередь приводит к необходимости решения систем алгебраических уравнений высоких порядков. Кроме того, метод не всегда обеспечивает непрерывность перемещений или их производных, т. е. совместность деформаций на границах контакта конечных элементов.

Метод граничных элементов (МГЭ) часто более эффективен, чем МКЭ, так как приводит к системе уравнений, содержащей значения искомых функций только на границе рассматриваемой области, а не внутри. Такая система, естественно, меньшего порядка, чем при использовании МКЭ. В МГЭ дискретизируются лишь граничные поверхности рассчитываемого объекта, а не весь объект, поэтому общая размерность решаемой задачи в МГЭ на единицу ниже, чем в МКЭ. МГЭ особенно эффективен для областей, содержащих часть границ, устремляющихся в бесконечность.

В наши дни проблемами расчетов оболочек и пластин с нарушениями регулярности занимаются многие ученые и инженеры, рассмотрим их.

В работе [1] изложены основы теории изгиба, устойчивости и собственных колебаний упругих пластин и оболочек. На примере уравнения изгиба пластинки обсуждаются аналитические, вариационные и численные методы расчета упругих конструкций.

В работе [2] предложен аналитический метод расчета линейно-упругих дискретно подкрепленных пологих оболочек с учетом сопротивления ребер осевой деформации, изгибу и кручению. На основании широкого применения аппарата обобщенных функций разработана математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек при дискретном введении узких ребер в предположении контакта ребра с оболочкой по линии с учётом крутильной жесткости ребер.

В [3] проводится анализ напряженно-деформированного состояния пологих оболочечных конструкций двоякой кривизны, подкрепленных со стороны вогнутости различным числом ребер численно-аналитическим методом.

В работе [4] представлена математическая модель деформирования подкрепленной конической оболочки. Приведен вывод нелинейных уравнений равновесия оболочки, подкрепленной дискретным набором шпангоутов с помощью аппарата векторного анализа. Рассмотрена геометрическая сторона задачи. При рассмотрении физической стороны приведены соотношения упругости для оболочки и дан вывод соотношений упругости шпангоута.

Работа [5] предлагает численно-аналитический метод расчета нелинейно-упругих оболочек, дискретно соединенных узкими взаимно ортогональными ребрами с учетом сопротивления ребер осевой деформации, изгибу и кручению. Разработана математическая модель деформирования нелинейно-упругих оболочек при дискретном введении узких ребер в предположении контакта ребер с оболочками по линиям. По предложенной методике был разработан алгоритм и составлена программа расчета указанных трехслойных оболочек.

В статье [6] представлены результаты теоретико-экспериментального исследования напряженного состояния конструкции, состоящей из двух тонкостенных цилиндров разной толщины, находящихся под действием внутреннего давления.

Примером решения задачи теории пластин и оболочек являются работы А. Н. Крылова [7], который, используя для решения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами метод Коши, получил фундаментальную систему функций — решение дифференциального уравнения 4-го порядка для расчета балки, лежащей на упругом основании, которая удовлетворяет произвольным начальным условиям. В предлагаемой работе аналогичная система функций названа функциями Коши–Крылова и определена средствами матричной алгебры для известной произвольной фундаментальной системы функций.

В работе [8] изучено влияние количества ребер между пластинами на характер их колебаний и контактное взаимодействие при продольном нагружении на верхнюю пластину. В ходе проведенных исследований выявлены сценарии перехода системы из гармонического в хаотическое состояние. Рассмотрены две задачи: 1) внутренний набор ребер состоит из двух балок, 2) внутренний набор ребер состоит из трех балок. Выявлено, что при хаотическом режиме в обеих задачах наблюдается явление перемещаемости частот, то есть смена интервалов времени с разными частотами и разными характерами колебаний. Достоверность решения обеспечена применением различных методов определения старшего показателя Ляпунова, сравнением результатов, полученных методом Бубнова-Галеркина и методом конечных разностей.

Автор [9] предлагает при расчете оболочек учет нарушений регулярности с помощью обобщенных функций, в том числе применительно к расчету физически и конструктивно нелинейных систем. Разработанным им методом вариационных аппроксимаций (МВА) получается полуаналитическое решение высокой точности. Предложена математическая модель и составлена программа расчета нелинейно-упругих оболочек, дискретно соединенных узкими ребрами.

В работе [10] предложен алгоритм применения метода наискорейшего спуска к решению задач строительной механики и механики деформируемого тела, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.

В статье [11] рассматриваются оболочки, подкрепленные ребрами переменной высоты. Применяется подход к введению ребер, позволяющий учитывать сдвиговую и крутильную жесткость. Приведены выражения усилий моментов для оболочки, функционал полной энергии деформации.

В работе [12] рассматриваются оболочки произвольного вида, подкрепленные со стороны вогнутости перекрестной системой ребер, направленных параллельно координатным линиям. Места расположения ребер по оболочке задаются с помощью единичных столбчатых функций, так что контакт ребра и обшивки происходит по полосе. Срединная поверхность обшивки принимается за координатную поверхность. Из условия минимума полного функционала энергии деформации оболочки выводятся уравнения в смешанной форме.

В работе [13] приведены результаты расчета устойчивости и напряженно-деформированного состояния тонкостенных оболочечных конструкций, подкрепленных ребрами жесткости. Для визуализации напряженно-деформированного состояния используется специально разработанный программный модуль в среде Microsoft.NET Framework (язык C#), сам расчёт в пакете ANSYS.

В работе [14] приводится математическая модель деформирования пологой оболочки, подкрепленной ребрами постоянной и переменной высоты. Ребра вводятся по методу конструктивной анизотропии, когда учитываются сдвиговая и крутильная жесткость ребер. Алгоритм исследования устойчивости оболочек основан на методе продолжения решения по параметру. Проведенные расчёты устойчивости оболочек показали, что при подкреплении оболочек ребрами переменной высоты по сравнению с равновеликими по объему ребрами постоянной высоты критические нагрузки остаются примерно одинаковыми, однако уровень напряжений снижается почти в два раза. Таким образом, показана эффективность подкрепления оболочки ребрами переменной высоты.

В работе [15] разработана математическая модель оболочки, подкрепленной ребрами, проходящими под углом к координатным линиям; при этом ребра вводятся как дискретно, так и по методу конструктивной анизотропии с учетом их сдвиговой и крутильной жесткости. Приводится пример расчета пологой оболочки, подкрепленной ребрами, подходящими под углом к координатным линиям, показана эффективность такого подкрепления.

В работе [16] предоставлены граничные условия и варианты аппроксимирующих функций для четырех видов закрепления контура тонкой оболочки. Приведены результаты расчёта нескольких задач методом Ритца.

В исследовании [17] с использованием разработанного программного комплекса получены величины допускаемых нагрузок на пологие железобетонные оболочки разных вариантов в линейно-упругой постановке. Проводится анализ результатов расчета величин допускаемых нагрузок на оболочки, подкрепленных ребрами, и сравнение их с аналогичными результатами расчета гладких оболочек. В программном комплексе реализованы математические модели деформирования и алгоритмы исследования напряжено-деформированного состояния (НДС) и прочности пологих железобетонных ребристых оболочек, в том числе с учетом физической нелинейности и развития деформаций ползучести бетона, основанные на методе Ритца и методе упругих решений А. А. Ильюшина.

В работе [18] на основе найденной зависимости напряжений от деформаций для бетонной оболочки и деформационной теории пластичности получен функционал полной энергии деформации пологой ребристой железобетонной оболочки. Алгоритм исследования прочности оболочки основан на методах Ритца и упругих решений.

А. Д. Матвеев в своей работе [19] предложил при анализе по МКЭ деформирования тонких пластин и оболочек многосеточные конечные элементы (МнКЭ) со свободной границей, которые описывают трехмерное напряженное состояние в пластинах и оболочках, учитывают их неоднородную структуру, сложный характер закрепления и нагружения, порождают дискретные модели малой размерности.

Напряженно-деформированное состояние стыка оболочек изучено в результате эксперимента, описанного в [20]. В нем провели оценку достоверности аналитических зависимостей из теории оболочек и пришли к выводу, что результаты опыта и аналитического расчета удовлетворительно совпадают.

Примером решения задачи теории пластин и оболочек являются работы А. Н. Крылова [21], который, используя для решения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами метод Коши, получил фундаментальную систему функций — решение дифференциального уравнения 4-го порядка для расчета балки, лежащей на упругом основании, которая удовлетворяет произвольным начальным условиям. В предлагаемой работе аналогичная система функций названа функциями Коши-Крылова и определена средствами матричной алгебры для известной произвольной фундаментальной системы функций.

Построен адаптивный к ЭВМ простейший способ определения функций Коши-Крылова для дифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами механики деформирования пластин и оболочек. Получен аналитический метод решения краевых задач прочности пластин и оболочек, который отличается простым решением задач механики деформирования пластин, оболочек и определенного класса тонкостенных конструкций.

Напряженно-деформированное состояние стыка оболочек изучено в результате эксперимента, описанного в работе [22]. В нем провели оценку достоверности аналитических зависимостей из теории оболочек и пришли к выводу, что результаты опыта и аналитического расчета удовлетворительно совпадают. Следовательно, предложенные формулы правомерно могут быть использованы в расчетной практике. Даны рекомендации по выбору расчетной модели.

Актуальность исследования механики деформирования цилиндрической оболочки определяется широким ее использованием в машиностроении, а также тем, что локальное воздействие на нее избежать не удается во многих тонкостенных конструкциях. При проектировании тонкостенных конструкций локальное воздействие на оболочку в расчетах часто идеализируется воздействием сосредоточенной силы. Это объясняется простотой построения алгоритма счета на ЭВМ: не нужно решать дифференциальные уравнения с правой частью, которая появляется при поверхностной нагрузке. Однако идеализация поверхностной нагрузки сосредоточенной требует оценки погрешности при расчете величин, определяющих прочность оболочки, которые при сосредоточенном воздействии имеют свои особенности. Теоретически с выделением особенности и построением асимптотических формул для искомых величин задачи решались многими авторами, но ими не определены даже приближенные оценки погрешностей, которые появляются неизбежно. В статье впервые оценена такая погрешность.

В работе [23] даны формулы априорных оценок погрешностей при расчетах на ЭВМ и экспериментальные результаты, полученные аналитически, которые подтверждаются с определенной погрешностью. Получены количественные оценки возможности использования идеализации локального воздействия сосредоточенной силой.

В работе [24] предлагается метод разложения в ряды Фурье использовать для описания сильно локализованных механических нагрузок, которые могут действовать на тонкостенные оболочечные конструкции в виде тел вращения. Приведены результаты расчетов для оболочек нагруженных различными видами локальных нагрузок. Проведено сопоставление результатов расчета напряженного состояния, полученного с применением рядов Фурье и метода конечных элементов.

Цель данной работы [25] используя известный подход, применяемый в теории оболочек, свести трехмерную задачу к решению одномерной задачи, что существенно снижает требования к вычислительным мощностям. Рассматривается задача об определении напряженного состояния оболочечных конструкций в виде тел вращения. Подход основан на интегрировании уравнений теории оболочек и разложении функций в ряды Фурье для разделения переменных. В работе использовано разложение в дискретный ряд Фурье по косинусам и синусам, которое описывает произвольные несимметричные механические нагрузки. Рассмотрена тонкостенная цилиндрическая конструкция, шарнирно закрепленная по торцам. Конструкция нагружена в трех местах распределенной силой, действующей по нормали к поверхности оболочки. После интегрирования системы уравнений для оболочки найденное напряженно-деформированное состояние оболочки определяется компонентами напряжений на внешней и внутренней поверхностях оболочки и компонентами перемещений. В работе приводится сравнение результатов расчета с помощью предлагаемой методики и метода конечных элементов. Показано, что использование методов теории оболочек, и предложенное разложение разрешающих функций и нагрузки в ряд Фурье, позволяет решать задачи с использованием небольших вычислительных ресурсов. При этом обеспечивается необходимая точность вычисления по всем компонентам напряженно-деформированного состояния конструкции.

В работе [26] разработан плоский прямоугольный конечный элемент оболочки с шестью степенями свободы в узле для моделирования призматических тонкостенных конструкций, имеющих значительную протяженность по сравнению с размерами поперечного сечения. Приведены результаты тестирования мембранной части разработанного элемента с тремя степенями свободы в узле, имеющего аналогию с теорией расчета стержней. Количество разработанных конечных элементов, необходимое для достижения приемлемой точности расчета удлиненных пластин, может быть на порядок меньше по сравнению с обычными элементами балки-стенки. Даны алгебраические выражения предлагаемых для изгибной части конечного элемента оболочки функций форм перемещений, также использующих аналогию с изгибом стержней. Приведены расчетные формулы для формирования матрицы реакций.

В статье [27] рассмотрено применение пакета прикладных программ MathCad для нахождения значений прогиба и моментов, построения графиков и поверстных диаграмм для расчета пластин, шарнирно закрепленных по краям.

В книге [28] рассмотрены различные аспекты решения задач нелинейной строительной механики тонкостенных пространственных систем. Необходимость расчета конструкций на устойчивость и стремление полнее использовать возможности конструкционных материалов потребовало учета конечных перемещений и перехода к общим нелинейным зависимостям напряжений от деформаций. Поэтому нелинейные задачи включены в число объектов, рассматриваемых строительной механикой. В книге обсуждаются и развиваются методы расчета тонкостенных пространственных систем, с помощью которых нелинейные задачи можно решать с помощью линейных уравнений. Это возможно сделать в рамках инкрементального подхода, когда

на основе нелинейных уравнений получают линейные инкрементальные уравнения, содержащие в качестве неизвестных приращения (инкременты) искомых функций.

В работе [29] предложен алгоритм расчета на определение собственных колебаний системы сочлененных пластин в аналитической форме. Решение предложено проводить методом Релея с применением функций перемещений. Намечены задачи по построению алгоритма расчёта пластин и оболочек на собственные колебания с учётом конструктивной, геометрической и физической нелинейностей.

Цель работы [30] построение неклассической теории устойчивости многослойных пологих оболочек и пластин с ортотропными слоями. Рассматриваемые конструкции имеют прямоугольный план и нагружены усилиями, действующими в координатной плоскости. Теория основана на гипотезах, полученных путем обобщения классической теории пологих оболочек. При этом учитывают давление слоев друг на друга, удлинение нормали в процессе деформации, поперечный сдвиг в слоях, а также параметрические члены высшего порядка, которые не принимает во внимание классическая теория. Причем все эти факторы, и в том числе ортотропность материала слоев, учтены введением лишь одной новой функции, названной в работе функцией сдвига. Для вывода разрешающих уравнений применен вариационный принцип упругой устойчивости В. В. Болотина. Он позволяет учитывать в строгой форме члены уравнений по точности на порядок выше по сравнению с классической теорией. В результате получена система разрешающих уравнений 12-го порядка, в то время как другие неклассические теории имеют более высокий порядок уравнений. Приведено уточненное выражение для параметрических членов, содержащих внешнюю нагрузку и непосредственно влияющих на устойчивость пластин и оболочек, а также уточняющих величину критической нагрузки. Далее система уравнений преобразуется в смешанную форму путем введения функции усилий в общеизвестной форме, что позволяет в некоторых случаях уменьшить порядок системы до восьми. Приведены численные примеры, даны сравнения для задач, решения которых известны. Рассмотрен случай устойчивости обшивок трехслойной пластины, когда у заполнителя модуль упругости меняется по толщине. Это влияет на величины критических нагрузок обшивок из-за взаимодействия обшивок с упругим основанием, роль которого выполняет заполнитель. Система уравнений позволяет решать и задачи изгиба, для которых также приведены примеры решения.

В настоящее время для расчета сложных ортотропных тонкостенных конструкций, в том числе тонкостенных ортотропных оболочек, часто используется метод конечных элементов (МКЭ). Обычно при расчете этим методом применяется один из двух подходов: в первом подходе используется упрощающая гипотеза (например, гипотеза Тимошенко), в которой пренебрегают распределением напряжений вдоль толщины тонкостенной конструкции, что снижает размерность задачи; во втором подходе используются соотношения трехмерной теории упругости без использования упрощающих гипотез. В представляемом методе, который очень похож на МКЭ, при расчете также используются соотношения трехмерной теории упругости без упрощающих гипотез.

В заключении отметим, что современные технологии позволяют создавать конструкции с практически любыми геометрическими параметрами. И на сегодняшний день точная оценка их напряженно-деформированного состояния представляет определенные трудности. Любые нарушения регулярности, неравномерный характер закреплений, нестандартные условия работы конструкций значительно усложняют моделирование ситуации и расчёты. Напряженно-деформированное состояние тонкостенных пространственных конструкций с нарушениями регулярности требует систематизации и дальнейших исследований. В приведённом кратком обзоре трудно описать все работы, посвященные расчету тонкостенных конструкций: пластин и оболочек с нарушениями регулярности, т. е. видно, что изучаемая тема является актуальной.

Литература:

1. Петров В. В., Теория расчета пластин и оболочек [Электронный ресурс]: Учебник. / В. В. Петров — М.: Издательство АСВ, 2018. — 410 с.
2. Кобелев Е. А. Расчет дискретно подкрепленных пологих оболочек с учетом сопротивления ребер кручению // Инновации и инвестиции. — 2018. — № 11. — С. 202–208.
3. Карпов, В. В. Напряженно-деформированное состояние ребристых оболочечных конструкций / В. В. Карпов, О. В. Игнатьев, А. А. Семенов // Инженерно-строительный журнал. — 2017. — № 6(74). — С. 147–160.
4. Дудченко А. А., Сергеев В. Н. Нелинейные уравнения равновесия конической оболочки, подкрепленной дискретным набором шпангоутов. Вестник ПНИПУ. Сер. Механика, 2017, № 2, с. 60–77.
5. Кобелев Е. А. Расчет нелинейно-упругих оболочек, дискретно соединенных ребрами // Перспективы науки. — 2018. — № 11(110). — 246 с. — С. 54–62.
6. Антоненко Э. В., Шульга Т. Э. Модели подкрепленного стыка двух тонкостенных цилиндров разной толщины // Известия Самарского научного центра Российской академии наук — 2014. — С. 303–307.
7. Виноградов Ю. И. Функции Коши-Крылова в расчётах на прочность пластин и оболочек // Известия высших учебных заведений. Машиностроение — 2013. — № 8 (641). — С. 15–19.
8. Яковлева Т. В., Крысько А. В., Кружилин В. С. Вынужденные колебания и контактное взаимодействие структуры, состоящей из двух параллельных пластин с внутренним набором локальных ребер, применяемой в теории гироскопов // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов — 2015. — № 3 — С. 74–94.
9. Кобелев Е. А. Метод вариационных аппроксимаций в теории нелинейного деформирования нерегулярных пространственных систем // Вестник гражданских инженеров, СПб. — 2018. — № 6 (71). — С. 30–36.
10. Петров В. В. Решение нелинейных задач строительной механики методом наискорейшего спуска // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2017. Vol. 13, Issue 3. Pp. 103–111.
11. Математические модели деформирования ребристых оболочек при переменной высоте ребер. Карпов В. В., Москаленко Л. П. В сборнике: Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Вагер Б. Г. Межвузовский тематический сборник трудов. Под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. Б. Г. Вагера. Санкт-Петербург, 2010. С. 192–207.
12. Карпов В. В. Обоснование уравнения совместности деформаций для ребристых оболочек. Статья в сборнике трудов конференции. — 2016. — С. 22–27. / Архитектура-Строительство-Транспорт Санкт-Петербург, 05–07 октября 2016 г.
13. Асеев А. В., Макаров А. А., Семенов А. А. Визуализация напряженно-деформированного состояния тонкостенных ребристых оболочек//Вестник гражданских инженеров. 2013. № 38(3). С. 226–232.
14. Москаленко, Л. П. Эффективность подкрепления пологих оболочек ребрами переменной высоты/Л. П. Москаленко//Вестник гражданских инженеров. — 2011. — № 3 (28). — С. 46–50.
15. Карпов, В. В. Оболочки, подкрепленные ребрами, проходящими под углом к координатным линиям/В. В. Карпов//Вестник гражданских инженеров. — 2013. — № 2 (37). — С. 215–219.
16. Семенов, А. А. Компьютерное моделирование докритического и закритического поведения тонкостенных оболочек при разных способах закрепления контура/А. А. Семенов//Вестник гражданских инженеров. — 2012. — № 4 (33). — С. 246–251.
17. Влияние подкрепляющих пологие железобетонные оболочки ребер на величины допускаемых нагрузок Карпов В. В., Панин А. Н. Новые идеи нового века: материалы международной научной конференции ФАД ТОГУ. 2010. Т. 2. С. 38–42.
18. Панин А. Н. Алгоритмы исследования прочности пологих железобетонных ребристых оболочек при учете физической нелинейности//Вестник гражданских инженеров/СПбГАСУ. — СПб., 2009. –№ 1 (18). — С. 114–116.
19. Матвеев А. Д. Расчёт тонких пластин и оболочек с применением многосеточных конечных элементов со свободными границами // Вестник КрасГАУ. (2014).
20. Антоненко Э. В., Шульга Т. Э. Модели подкрепленного стыка двух тонкостенных цилиндров разной толщины // Известия Самарского научного центра Российской академии наук — 2014. — С. 303–307.
21. Виноградов Ю. И. Функции Коши-Крылова в расчётах на прочность пластин и оболочек // Известия высших учебных заведений. Машиностроение — 2013. — № 8 (641). — С. 15–19.
22. Антоненко Э. В., Шульга Т. Э. Модели подкрепленного стыка двух тонкостенных цилиндров разной толщины // Известия Самарского научного центра Российской академии наук — 2014. — С. 303–307.
23. Виноградов Ю. И. Механика деформирования цилиндрической оболочки радиальными силами // Известия высших учебных заведений. Машиностроении. 2013. № 10. С. 9–14.
24. Емельянов И. Г., Кузнецов А. В. Напряженное состояние оболочечных конструкций при локальных нагрузках // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. № 1. С. 53–59.
25. Емельянов И. Г., Кузнецов А. В. Определение напряженного состояния тонкостенных конструкций с использованием методов теории оболочек // Транспортные системы и технологии. 2017. Том 3, № 3. С. 64–78.
26. Назаренко С. Н. Блохина Н. С. / Конечный элемент для расчета складчатых призматических тонкостенных стержней и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений — 2018 — № 4 (479). — стр. 55–60.
27. Второв Е. А., Левин В. Д. / Расчет пластины в двойных тригонометрических рядах с помощью MATHSOFT MATHCAD. XVI Межвузовская научно-техническая конференция «Новые технологии в учебном процессе и производства» Рязань, 17–19 апреля 2018г.
28. Петров В. В. Нелинейная инкрементальная строительная механика // М.: Инфра-Инженерия. 2014. С. 480.
29. Моисеенко М. О., Попов О. Н. К расчету на собственные колебания системы подкреплённых пластин // В сборнике: Интеграция современных научных исследований в развитие общества Международная научно-практическая конференция: в 2-х томах. 2016. С. 287–290.
30. К вопросу о теории устойчивости многослойных ортотропных пологих тонкостенных строительных конструкций типа оболочек и пластин с неоднородными по толщине слоями. Нугужинов Ж. С., Боженов А. Ш., Курохтин А. Ю., Жакибеков М. Е., Пчельникова Ю. Н. // Промышленное и гражданское строительств. — 2016, № 1, стр. 62–67.