В статье приводятся задачи теории вероятностей, в решении которых возникают классические константы π и e. Показана вероятностная интерпретация теоремы Дирихле-Вирзинга о приближении действительных чисел алгебраическими числами.
Ключевые слова: алгебраические числа, диофантовы приближения, распределениеалгебраических чисел, вероятность, числоπ, числоe.
Известны несколько вероятностных задач, в которых возникают классические константы, например 
и 
. Приведём примеры.
Пример 1. Задача Бюффона. На плоскости нарисованы параллельные прямые на одинаковом расстоянии 
друг от друга. На плоскость бросается игла длины 
(
). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.
Эта задача на геометрическую вероятность. Обозначим через 
расстояние от середины иглы до ближайшей параллельной прямой и через 
— угол между иглой и прямой (рисунок 1).
Рис. 1
Радианная мера угла меняется от 0 до π. Расстояние принимает значения от 0, если середина иголки попала на прямую, до 
. На плоскости с координатами 
эти ограничения задают прямоугольник (рисунок 2).
Рис. 2
Из рисунка 3 видно, что иголка пересекает хотя бы одну прямую, если x будет меньше проекции половины иголки на направление, перпендикулярное прямым.
Рис. 3
Условие пересечения имеет вид 
. Искомая вероятность равна отношению площади под синусоидой к площади всего прямоугольника (рисунок 4)
Рис. 4
Вероятность может быть найдена по формуле:
(1)
По закону больших чисел 
, где 
— частота, с которой происходит искомое событие. Отсюда (1) принимает вид 
и 
. Проделав эксперимент достаточно большое количество раз, мы можем вычислить 
. В известных нам экспериментах 
было равно 5000 и 
было определено с точностью до третьего знака после запятой.
Пример 2. Для выпечки 
булочек с изюмом было использовано 
изюминок. При каком значении 
в наудачу выбранной булочке окажется хотя бы одна изюминка?
Пусть 
— искомое событие. Тогда
,(2)
где 
— случайное событие, состоящее в том, что 
— я изюминка не попадет в данную булочку. Ясно, что 
.
Из (2) имеем
.
Если 
, то 
Осталось найти такое 
, что 
.Для этого достаточно взять 
, т. е. изюминок должно быть в 5 раз больше чем булочек.
Для решения задачи мы использовали равенство 
при малых значениях λ.
Покажем, как с помощью вероятных соображений можно интерпретировать классические теоремы в теории диофантовых приближений, например, теорему Дирихле-Вирзинга о приближении действительных чисел алгебраическими числами.
Пусть x — действительное число и α алгебраическое число степени n и высоты 
. Высота алгебраического числа равна модулю максимального коэффициента минимального многочлена алгебраического числа. Пусть 
— многочлен с целыми коэффициентами степени 
. Обозначим через высоту многочлена, равную модулю максимального коэффициента многочлена 
.
При 
рассмотрим класс многочленов
.
Какой величины должна быть длина интервала 
, чтобы с вероятностью сколь угодно близкой к единице действительное алгебраическое число 
попало в интервал 
.
Обозначим длину интервала 
. Нетрудно доказать, что количество алгебраических чисел 
таких, что
не менее 
. Занумеруем их 
. Пусть 
— искомое событие. Тогда 
, где 
— случайное событие, состоящее в том, что алгебраическое число 
не попало в интервал 
. Ясно, что 
.
Если 
и 
, то 
и 
. Следовательно, длина интервала 
.
Литература:
- Шмидт В. М. Диофантовы приближения. — М.: Мир, 1983. — 232 с.
- Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. — 213 с.
- V. Beresnevich, V. Bernik, D. Kleinbock, G. Margulis. Metric diophantine approximation: The Khintchine-Groshev theorem for nondegenerate manifolds // Mosc. Math. J.. — Moscow. — № 2. — С. 203–225.
