Вероятностный подход к доказательству классических теорем | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 7 ноября, печатный экземпляр отправим 11 ноября.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №48 (286) ноябрь 2019 г.

Дата публикации: 02.12.2019

Статья просмотрена: 38 раз

Библиографическое описание:

Ламчановский, А. Г. Вероятностный подход к доказательству классических теорем / А. Г. Ламчановский, Г. С. Игнатенко. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2019. — № 48 (286). — С. 4-8. — URL: https://moluch.ru/archive/286/64541/ (дата обращения: 26.10.2020).



В статье приводятся задачи теории вероятностей, в решении которых возникают классические константы π и e. Показана вероятностная интерпретация теоремы Дирихле-Вирзинга о приближении действительных чисел алгебраическими числами.

Ключевые слова: алгебраические числа, диофантовы приближения, распределениеалгебраических чисел, вероятность, числоπ, числоe.

Известны несколько вероятностных задач, в которых возникают классические константы, например и . Приведём примеры.

Пример 1. Задача Бюффона. На плоскости нарисованы параллельные прямые на одинаковом расстоянии друг от друга. На плоскость бросается игла длины (). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Эта задача на геометрическую вероятность. Обозначим через расстояние от середины иглы до ближайшей параллельной прямой и через — угол между иглой и прямой (рисунок 1).

до1ф

Рис. 1

Радианная мера угла меняется от 0 до π. Расстояние принимает значения от 0, если середина иголки попала на прямую, до . На плоскости с координатами эти ограничения задают прямоугольник (рисунок 2).

до2ф

Рис. 2

Из рисунка 3 видно, что иголка пересекает хотя бы одну прямую, если x будет меньше проекции половины иголки на направление, перпендикулярное прямым.

до3ф

Рис. 3

Условие пересечения имеет вид . Искомая вероятность равна отношению площади под синусоидой к площади всего прямоугольника (рисунок 4)

до4ф

Рис. 4

Вероятность может быть найдена по формуле:

(1)

По закону больших чисел , где — частота, с которой происходит искомое событие. Отсюда (1) принимает вид и . Проделав эксперимент достаточно большое количество раз, мы можем вычислить . В известных нам экспериментах было равно 5000 и было определено с точностью до третьего знака после запятой.

Пример 2. Для выпечки булочек с изюмом было использовано изюминок. При каком значении в наудачу выбранной булочке окажется хотя бы одна изюминка?

Пусть — искомое событие. Тогда

,(2)

где — случайное событие, состоящее в том, что я изюминка не попадет в данную булочку. Ясно, что .

Из (2) имеем

.

Если , то

Осталось найти такое , что .Для этого достаточно взять , т. е. изюминок должно быть в 5 раз больше чем булочек.

Для решения задачи мы использовали равенство при малых значениях λ.

Покажем, как с помощью вероятных соображений можно интерпретировать классические теоремы в теории диофантовых приближений, например, теорему Дирихле-Вирзинга о приближении действительных чисел алгебраическими числами.

Пусть x — действительное число и α алгебраическое число степени n и высоты . Высота алгебраического числа равна модулю максимального коэффициента минимального многочлена алгебраического числа. Пусть — многочлен с целыми коэффициентами степени . Обозначим через высоту многочлена, равную модулю максимального коэффициента многочлена .

При рассмотрим класс многочленов

.

Какой величины должна быть длина интервала , чтобы с вероятностью сколь угодно близкой к единице действительное алгебраическое число попало в интервал .

Обозначим длину интервала . Нетрудно доказать, что количество алгебраических чисел таких, что не менее . Занумеруем их . Пусть — искомое событие. Тогда , где — случайное событие, состоящее в том, что алгебраическое число не попало в интервал . Ясно, что .

Если и , то и . Следовательно, длина интервала .

Литература:

  1. Шмидт В. М. Диофантовы приближения. — М.: Мир, 1983. — 232 с.
  2. Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. — 213 с.
  3. V. Beresnevich, V. Bernik, D. Kleinbock, G. Margulis. Metric diophantine approximation: The Khintchine-Groshev theorem for nondegenerate manifolds // Mosc. Math. J.. — Moscow. — № 2. — С. 203–225.
Основные термины (генерируются автоматически): алгебраическое число, длина интервала, искомое событие, число, прямая, случайное событие.


Ключевые слова

вероятность, алгебраические числа, диофантовы приближения, распределение алгебраических чисел, число π, число e

Похожие статьи

Об использовании метода инварианта, основанного на идее...

К примеру, инвариантом может быть число, набор чисел, четность какого-либо числа и другое.

Здесь, прежде всего, основывается на определении четного и нечетного числа, абстрактного понятия четности, чисел, имеющих “разную четность”, а также на свойстве того...

Шаблон Excel для проверки законов распределения данных...

В статье рассматривается процедура создания шаблона Excel и опыт его применения для автоматического построения гистограмм и кривых Гаусса по результатам данных экспериментальных наблюдений с одновременной оценкой согласия по критерию Пирсона в...

Взаимосвязь теории вероятности и случайных событий

Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех возможных исходов N. тогда для определения вероятности можно использовать формулу Р (А) = М/N [3]. Я провела эксперимент: попробовала вытащить из 15 шариков, 2 из которых красные, остальные...

Методы генерации случайных чисел | Статья в журнале...

Случайные числа играют довольно важную роль для программистов разной направленности. Чаще всего случайные числа требуются в задачах моделирования, численного анализа, тестирования, криптографии и теории игр...

Анализ процедур генерации ключей криптографических алгоритмов.

в) Определяется количество случайных чисел, попавших в каждый интервал: n i , i = 1

Определив число классов для заданной численности выборки, находят классовый интервал .

С уменьшением скорости изменения параметра сокращается число интервалов разбиения, а...

К вопросу о классификации пространств с нечеткими мерами

Так, например, если рассмотреть число пассажиров, которые могут поместиться в обычном легковом автомобиле, то с каждым натуральным числом n можно связать число из интервала [0,1], которое содержательно будет соответствовать возможности размещения n пассажиров...

Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры

Количество стратегий. Различают конечные и бесконечные.

В данном случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. В таблице числа означают платежи игрокам, и их сумма в каждой клетке равна нулю.

Неравномерные оценки скорости сходимости в центральной...

В данной работе рассматриваются неравномерные оценки для последовательности симметрично зависимых случайных величин. В работе [1] изучены теоретико-вероятностные проблемы для вероятностных мер со значениями в пространствах измеримых функций.

Математические модели технических систем в условиях...

Дискретные линейные модели при постоянном временном интервале могут быть описаны следующей системой разностных уравнений состояния: , где и — номера интервалов времени. Вектор состояния в любой дискретный момент времени может быть определен в виде функции...

Похожие статьи

Об использовании метода инварианта, основанного на идее...

К примеру, инвариантом может быть число, набор чисел, четность какого-либо числа и другое.

Здесь, прежде всего, основывается на определении четного и нечетного числа, абстрактного понятия четности, чисел, имеющих “разную четность”, а также на свойстве того...

Шаблон Excel для проверки законов распределения данных...

В статье рассматривается процедура создания шаблона Excel и опыт его применения для автоматического построения гистограмм и кривых Гаусса по результатам данных экспериментальных наблюдений с одновременной оценкой согласия по критерию Пирсона в...

Взаимосвязь теории вероятности и случайных событий

Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех возможных исходов N. тогда для определения вероятности можно использовать формулу Р (А) = М/N [3]. Я провела эксперимент: попробовала вытащить из 15 шариков, 2 из которых красные, остальные...

Методы генерации случайных чисел | Статья в журнале...

Случайные числа играют довольно важную роль для программистов разной направленности. Чаще всего случайные числа требуются в задачах моделирования, численного анализа, тестирования, криптографии и теории игр...

Анализ процедур генерации ключей криптографических алгоритмов.

в) Определяется количество случайных чисел, попавших в каждый интервал: n i , i = 1

Определив число классов для заданной численности выборки, находят классовый интервал .

С уменьшением скорости изменения параметра сокращается число интервалов разбиения, а...

К вопросу о классификации пространств с нечеткими мерами

Так, например, если рассмотреть число пассажиров, которые могут поместиться в обычном легковом автомобиле, то с каждым натуральным числом n можно связать число из интервала [0,1], которое содержательно будет соответствовать возможности размещения n пассажиров...

Теория игр: основные понятия, типы игр, примеры

Количество стратегий. Различают конечные и бесконечные.

В данном случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. В таблице числа означают платежи игрокам, и их сумма в каждой клетке равна нулю.

Неравномерные оценки скорости сходимости в центральной...

В данной работе рассматриваются неравномерные оценки для последовательности симметрично зависимых случайных величин. В работе [1] изучены теоретико-вероятностные проблемы для вероятностных мер со значениями в пространствах измеримых функций.

Математические модели технических систем в условиях...

Дискретные линейные модели при постоянном временном интервале могут быть описаны следующей системой разностных уравнений состояния: , где и — номера интервалов времени. Вектор состояния в любой дискретный момент времени может быть определен в виде функции...

Задать вопрос